唐鋒

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

因材施教在克拉默法則教學(xué)中的體現(xiàn)

唐鋒

（常熟理工學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院，江蘇 常熟 215500）

針對不同專業(yè)以及不同層次的學(xué)生，給出不同的證明方法講授克拉默法則，充分調(diào)動學(xué)生對學(xué)習(xí)線性代數(shù)的興趣。本文主要介紹三種證明方法：行列式方法；矩陣方法；幾何方法。

克拉默法則；矩陣；因材施教

一、引言

克拉默法則是行列式性質(zhì)的一個典型應(yīng)用。內(nèi)容如下：

定理（克拉默法則）如果線性方程組

教師在講解克拉默法則時一般都是直接給出定理，接著按照教材［1］的證明順序首先證明方程解的存在性，再證明唯一性。這很不符合一般本科一年級學(xué)生的思維習(xí)慣，學(xué)生在中學(xué)學(xué)習(xí)解方程總是先求解再驗證解的正確性；再者，學(xué)生從心底里不愿意接受直接將解代入方程驗證，因為他們沒有弄清楚這個解是怎么得到的；最后，在教材證明中求和符號“∑”大量使用，純推理，沒有直觀感受的大多數(shù)學(xué)生不感興趣。時間長了，多數(shù)學(xué)生就會對這門課程產(chǎn)生抵觸情緒，從而使教學(xué)過程陷入惡性循環(huán)。

筆者所在單位是一所省屬一般理工類院校，所授學(xué)生有屬于數(shù)學(xué)專業(yè)、對數(shù)學(xué)要求較高的信息及電子工程等專業(yè)，還有對理論推導(dǎo)要求不高的經(jīng)濟(jì)管理專業(yè)等。在多年的教學(xué)中，筆者嘗試根據(jù)不同類型的學(xué)生設(shè)計不同的講授，既讓學(xué)生拓寬了視野，又學(xué)到了比較新穎的知識，還增加了對這門課的興趣，同時也不讓學(xué)生“閑著”，充分調(diào)動學(xué)生積極思考，動員部分班級學(xué)生查閱各種資料，促進(jìn)學(xué)生主動學(xué)習(xí)。

在引入克拉默法則時，首先應(yīng)該說明：我們已經(jīng)完成了行列式性質(zhì)的學(xué)習(xí)，清楚了行列式的多種計算方法，但是行列式的應(yīng)用在哪里呢？本節(jié)就介紹行列式的一個應(yīng)用：線性方程組的求解。然后引導(dǎo)學(xué)生回憶行列式是如何引進(jìn)的，學(xué)生回答：行列式是通過中學(xué)求解二元和三元一次方程組，看出解中分母的規(guī)律而引出定義的。此時引導(dǎo)學(xué)生往另外一個方向思考：我們已經(jīng)知道二元和三元一次方程組的解形式都有一種很強(qiáng)的規(guī)律，那么將方程組的未知數(shù)變量增加到n個，方程的個數(shù)也增加到n，此時該線性方程組如何求解呢？這就是本節(jié)所要解決的主要內(nèi)容。

二、行列式證明方法

分析定理中包含了三個結(jié)論：1.方程組有解；2.方程組解唯一；3.方程組的解可通過定理中的形式給出。

對于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，要求加強(qiáng)培養(yǎng)其推理能力，為此給出三種行列式的證明方法。

這樣的證明并沒有起到簡化作用，但是延承了學(xué)生的思維習(xí)慣，所以學(xué)生較容易接受。

證法2對于1≤j≤n，因為

上述行列式的第k列乘(-xk)（k=1,…,j-1,j+1,…,n）加到第j列，得到

可以發(fā)現(xiàn)，證法2比證法1要優(yōu)越很多。證明題的思路經(jīng)常是要從結(jié)論中尋找線索，這符合學(xué)生的思維方式，數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生也比較喜歡這樣的理論推理。而且證明過程很簡短，關(guān)鍵是還用到了行列式的性質(zhì)，很好地體現(xiàn)了學(xué)以致用、學(xué)有所用的教學(xué)要求。

教材［2］提供了克拉默法則的另外一種行列式的證明，為體現(xiàn)完整性，在此一并給出。

證法3考察有兩行相同的n+1階行列式

顯然D′=0。D′的第一行中aij的代數(shù)余子式為

D′按照第一行展開，于是得到0=D′=biD-ai1D1-…-ainDn，即

注意證法3只給出了定理中解的存在性證明，但沒給出唯一性的證明，所以證明是不完整的。學(xué)生比較很容易發(fā)現(xiàn)：證法2在三種證明中是最好的。

三、矩陣證明方法

對于非數(shù)學(xué)專業(yè)但又對數(shù)學(xué)要求較高的學(xué)生，筆者嘗試用矩陣證明的方法講授給學(xué)生，介紹如下。

證法4首先按照教材［3］在第二章的證明方法講授。線性方程組（1）可以用矩陣形式表示為

其中A=(aij)n×n,X=(x1,x2,…,xn)T,β=(b1,b2,…,bn)T。

這是很多線性代數(shù)教材中的證法，筆者不因循守舊，為拓寬學(xué)生的視野及思路，介紹如下的證明方法。

一是構(gòu)建事業(yè)平臺。智庫要有事情做，有研究的問題、項目、課題等，要有相關(guān)的科學(xué)有效的理論、方法、信息、手段等的支持，也要有專業(yè)、有水平團(tuán)隊支撐；

對于非數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，這樣的證明已經(jīng)足夠，工科學(xué)生一般是要學(xué)會應(yīng)用，理論推導(dǎo)應(yīng)該少講，但也不能完全不講，證法5非常適合這類專業(yè)的學(xué)生。另外，證法5也是很多國外教材使用的方法，筆者介紹給學(xué)生也是為了使學(xué)生了解國外教材的經(jīng)典方法，從而拓寬其視野。對于經(jīng)濟(jì)管理類的學(xué)生因為學(xué)時較少，理論基本可以不講，只需要證法4就能完全滿足學(xué)生的需要，其他的方法可以講義的形式發(fā)給學(xué)生閱讀，或者布置為作業(yè)，讓學(xué)生查閱資料。

四、幾何證明方法

目前很多大專院校已經(jīng)將線性代數(shù)與解析幾何合并為一門課程，但是部分教材只是代數(shù)與幾何內(nèi)容機(jī)械的穿插，并沒有很好結(jié)合。為使我校統(tǒng)計專業(yè)的學(xué)生能真正體會到代數(shù)與幾何的有機(jī)結(jié)合，筆者介紹用幾何方法證明克拉默法則。

首先讓學(xué)生理解行列式的幾何意義（以下的介紹可見文獻(xiàn)［5］）。

當(dāng)n=1時，一階行列式就是一個實數(shù)a，它在數(shù)軸上表示以原點(diǎn)為起點(diǎn)，實數(shù)a為標(biāo)點(diǎn)的終點(diǎn)的有向線段的有向長度，顯然a＞0時，該有向長度為正；a＜0時，該有向長度為負(fù)；a=0時，該有向長度為零。

當(dāng)n=3時，行列式是“平行六面體的有向體積”，可參看教材［4］，這里不再贅述。

證法6[5]為方便敘述，僅就n=2時給出證明。此時方程組（1）變?yōu)?/p>

圖1

圖2

圖3

可以看出，證法6完全依靠幾何的直觀理解就可證明，并且此直觀理解可推廣到一般n維空間的形式。作為練習(xí)，可請學(xué)生板演x2的求解，作為思考題，可布置學(xué)生用幾何圖形證明n=3的情形。一個完全是代數(shù)的問題在n=2或n=3時可以用純幾何的方法證明，這很好體現(xiàn)了線性代數(shù)與解析幾何的有機(jī)結(jié)合，達(dá)到了教學(xué)目的。

五、結(jié)語

克拉默法則還有許多的證明方法，例如用矩陣的初等變換證明［6］等，這里不再敘述。另外還應(yīng)指出的是，克拉默法則只是解決了一類特殊的線性方程組的求解問題，對于更一般的線性方程組求解并沒有解決，這為后續(xù)內(nèi)容打下了很好的伏筆。

這些不同的嘗試，對于本節(jié)知識的掌握乃至提高學(xué)生對這門課的學(xué)習(xí)興趣產(chǎn)生了良好的效果。總之，因材施教需要教師鉆研教材，善于了解熟悉學(xué)生的學(xué)習(xí)能力，更需要課后閱讀大量的文獻(xiàn)資料，這樣才能真正提高教學(xué)水平，讓學(xué)生學(xué)到更多更好的知識。

［1］北京大學(xué)數(shù)學(xué)系代數(shù)小組.高等代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2003：83-86.

［2］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.3版.北京：高等教育出版社，2004：22-26.

［3］同濟(jì)大學(xué)數(shù)學(xué)系.線性代數(shù)［M］.5版.北京：高等教育出版社，2007：53-54.

［4］呂林根，許子道.解析幾何［M］.4版.北京：高等教育出版社，2006：53-58.

［5］謝琳，張靜.從幾何直觀理解行列式與Cramer法則［J］.高等數(shù)學(xué)研究，2009（1）：12.

［6］孫伯奎.克萊姆法則的一個新證明［J］.山東大學(xué)學(xué)報（理學(xué)版），2003（2）：38.

Teaching Students in Accordance with Their Aptitude Embodying Cramer Rule in Teaching

TANG Feng
(School of Mathematics and Statistics,Changshu Institute of Technology,Changshu 215500,China)

According to different majors and different levels of the students,this paper gives several ways to prove Cramer rule,which can fully mobilize students'interest in learning linear algebra.The paper mainly introduces three methods to prove the determinant method,matrix method and geometric method.

Cramer Rule;Matrix;teaching students in accordance with their aptitude

O151.2；G424.21

A

1008-2794（2016）06-0102-04

2015-10-14

唐鋒（1973—），男，江蘇泰興人，副教授，碩士，主要研究方向為有限群。