劉安東，李 佳

(浙江工業(yè)大學 信息工程學院，浙江 杭州 310023)

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城市路網(wǎng)的分布式魯棒預測控制

劉安東，李 佳

(浙江工業(yè)大學 信息工程學院，浙江 杭州 310023)

針對具有模型不確定的城市路網(wǎng)系統(tǒng)，研究了使閉環(huán)系統(tǒng)漸近穩(wěn)定的分布式魯棒預測狀態(tài)反饋控制器設計問題.首先，將由“存儲與向前”路段線性模型擴展得到的城市路網(wǎng)拓撲模型分解為分布式模型.同時考慮實際情況中路況變化、測量誤差等因素引起的飽和流量、車輛數(shù)的不確定性對城市路網(wǎng)系統(tǒng)的影響，得到了具有不確定參數(shù)的城市路網(wǎng)分布式模型.然后，提出了一種合作式的分布式魯棒預測控制算法，并利用線性矩陣不等式(linear matrix inequality,LMI)處理方法在線求解多個凸優(yōu)化問題，給出了子系統(tǒng)控制器求解方法.最后通過Matlab仿真驗證了分布式魯棒預測控制是一種能有效緩解城市交通擁堵和優(yōu)化信號燈的控制策略.

分布式魯棒預測控制；路網(wǎng)分布式模型；不確定性參數(shù)；線性矩陣不等式

近幾十年來，隨著車輛數(shù)的增加，交通擁堵已經(jīng)成為阻礙社會經(jīng)濟發(fā)展的重要因素.在城市路網(wǎng)系統(tǒng)中，由于交通流的時段性及交通基礎設施的不可擴展性，擁堵問題尤為嚴重[1-2].因此，迫切需要一種有效的控制策略來緩解城市交通擁堵和優(yōu)化路口信號燈.在已有的控制策略中，實時控制策略具有對當前變化的交通狀況做出及時調(diào)整的優(yōu)點，從而比定時控制策略具有更廣闊的發(fā)展前景[3].實時控制可分為基于實時交通流和基于狀態(tài)空間模型的實時控制[4-5]，其中基于模型的控制方法能更好地運用現(xiàn)代控制理論方法，故近年來得到了較快地發(fā)展與應用，并成為當前的一個研究熱點[6].實時控制可分為集中式控制、分散式控制和分布式控制.由于城市路網(wǎng)系統(tǒng)中含有大量耦合性較強的相鄰路口，故分散式控制不能通過信號燈時間的調(diào)整來有效地協(xié)調(diào)路口之間的交通狀況[7].集中式控制是目前城市路網(wǎng)系統(tǒng)中應用較廣的控制策略：文獻[8]中Diakaki等使用基于“存儲與向前”路段模型的路網(wǎng)系統(tǒng)模型，采用LQR方法求解綠燈相位時間的反饋控制律，雖然該方法簡單方便，但無法處理帶有約束的最優(yōu)化問題；模型預測控制是一種能有效處理約束的先進算法[9]，文獻[10]中K. Aboudolas等基于改進的“存儲與向前”非線性模型使用模型預測控制方法求解了帶有約束的最優(yōu)化問題，但是該非線性模型建模復雜，求解優(yōu)化問題計算量大.雖然集中式控制方法算法簡單，實施便捷，但是系統(tǒng)通信量大、故障率高，所以近年來學者們對分布式控制策略進行了研究：文獻[11]中作者提出了一種基于多智能體的分布式交通信號控制方法，通過相鄰路口信號控制智能體的信息交互和協(xié)調(diào)，使相鄰路口駛來的車隊不停車地通過路口；文獻[12]中Eduardo Camponogara等使用DMPC(Ditributed model predictive control)解決了帶有相位時間和車隊長度約束的全局優(yōu)化問題；文獻[13]中X. Zhou等使用分布式控制策略解決了帶有相位時間約束的合作式鄰域優(yōu)化問題.然而，以上文獻采用的分布式模型均為精確模型，而實際情況中路況變化、測量誤差等因素引起的飽和流量、車輛數(shù)的不確定性會導致“存儲與向前”模型的參數(shù)不確定，因此基于精確模型的算法在具有不確定因素影響下無法獲得很好的控制效果.

針對實際情況中路況變化、測量誤差等因素引起的飽和流量、車輛數(shù)的不確定性所導致的“存儲與向前”線性模型的參數(shù)不確定，筆者采用合作式的分布式魯棒預測控制方法設計各子系統(tǒng)的狀態(tài)反饋控制器用于調(diào)節(jié)子系統(tǒng)中路口的綠燈相位時間.首先將傳統(tǒng)的“存儲與向前”模型分解為分布式模型，同時考慮參數(shù)不確定性和綠燈時間約束，得到了帶有參數(shù)不確定的路網(wǎng)系統(tǒng)分布式模型；然后提出一種合作式的分布式魯棒預測控制算法，并利用LMI處理方法解決多個具有約束的凸優(yōu)化問題，給出了子系統(tǒng)控制器的求解方法；最后，通過仿真驗證魯棒預測控制策略能通過協(xié)調(diào)各子系統(tǒng)中的路口信號燈的相位時間來有效緩解城市交通的擁堵狀況.

1 城市路網(wǎng)系統(tǒng)建模

1.1 “存儲與向前”模型

“存儲與向前”路段模型由兩個相鄰路口(M，N)及連接兩個路口的一條道路z組成，且z∈OM，z∈IN，其中，OM表示路口M的下游路段，IN表示路口N的上游路段，如圖1所示.

圖1 “存儲與向前”路段模型Fig.1 “Store and forward” segment model

根據(jù)圖1建立路段模型為

xz(k+1)=xz(k)+T[qz(k)-sz(k)+ dz(k)-uz(k)]

(1)

式中：T為采樣周期；xz(k)為kT時刻路段z中的車輛數(shù)；qz(k)為[kT,(k+1)T)時間段內(nèi)從上游路段通過路口M進入下游路段z的平均流量；sz(k)為[kT,(k+1)T)時間段內(nèi)從路段z中途駛離的平均流量；dz(k)為[kT,(k+1)T)時間段內(nèi)從路段z中途駛?cè)氲钠骄髁?；uz(k)為[kT,(k+1)T)時間段內(nèi)從上游路段z通過路口N進入下游路段的平均流量.其中：

(2)

X(k+1)=X(k)+BU(k)+d(k)

(3)

在實際交通系統(tǒng)中，每個相位時間必須大于最短綠燈時間且小于最長綠燈時間，故控制變量U(k)的約束條件為

uz,min≤uz(k)≤uz,max

(4)

式中uz,min，uz,max分別為路段z中車輛有權(quán)通過路口的最短、最長相位時間占信號周期的百分比，uz,min可以為零，表示相應的相位的綠燈時間為零，即出現(xiàn)全紅相位.另外，路口j的各相位綠燈時間百分比之和應滿足：

(5)

式中：Lj為路口j的黃燈時間之和；Cj為路口j的信號周期；Pj為路口j的相位數(shù).

1.2 帶有不確定的分布式模型

為了使得路網(wǎng)控制系統(tǒng)的控制效果達到一個穩(wěn)態(tài)點，從而協(xié)調(diào)路網(wǎng)系統(tǒng)中的各路段的交通狀況，首先給出定義為

ΔX=X-XN,ΔU=U-UN,Δd=d-dN

(6)

式中：XN為狀態(tài)量X的穩(wěn)態(tài)值，即各路段的期望車隊長度；UN為系統(tǒng)達到穩(wěn)定時的控制量；dN為d的統(tǒng)計意義上的平均值，由文獻[14]知可以令Δd=0.由XN(k+1)=XN(k)得穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)為

XN(k)=XN(k)+BUN+dN

(7)

由式(7)可知：

BUN+dN=0

(8)

從而求解UN轉(zhuǎn)化為求可行解問題：

(9)

結(jié)合式(3，7)可得集中式狀態(tài)空間模型為

ΔX(k+1)=ΔX(k)+BΔU(k)

(10)

在分布式控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)中，采用協(xié)調(diào)控制策略，考慮子系統(tǒng)控制器之間的通信，將式(10)中的控制變量ΔU(k)按路口進行分解，得到城市路網(wǎng)系統(tǒng)中子系統(tǒng)i(i=1,2,…,m)的模型：

在實際交通狀況中，由于測量誤差、飽和流量的浮動等多種外界因素對交通流量的影響，將會導致交通模型具有不確定性，為此引入不確定矩陣，則式(11)可以轉(zhuǎn)換為

(12)

式中：ΔAi(k)ΔXi(k)為車輛數(shù)的測量誤差；ΔBii(k)和ΔBij為飽和流量的浮動誤差，且ΔAi，ΔBii，ΔBij滿足：

(13)

ΔBii(k)=EbiiΔbi(k)Fbii,ΔBij(k)=EbijΔbi(k)Fbij

(14)

式中：‖Δai(k)‖≤1；‖Δbi(k)‖≤1；Fai，Ebii，F(xiàn)bii，Ebij，F(xiàn)bij為適當維數(shù)的矩陣.

2 分布式魯棒預測控制

針對具有不確定參數(shù)的城市路網(wǎng)分布式模型式(12)，本節(jié)采用基于LMI的分布式魯棒預測控制方法，為每個子系統(tǒng)設計一個狀態(tài)反饋控制器調(diào)節(jié)路口的各相位的綠燈時間，從而解決城市路網(wǎng)系統(tǒng)擁堵問題.在給出主要定理前，首先引入引理.

引理[15]設W，M，N，G為具有適當維數(shù)的實矩陣，其中G滿足GTG≤I，W為對稱矩陣，那么

W+NTGTMT+MGN<0

當且僅當存在常數(shù)ε>0，使得

W+ε-1NTN+εMMT<0

2.1 無窮時域“極小-極大”問題

首先無窮時域性能指標定義為

(15)

式中：Si和Ri為給定的對稱正定加權(quán)矩陣；ΔXi(k)=ΔXi(k|k)為kT時刻子系統(tǒng)i的狀態(tài)測量值；ΔXi(k+n|k)為kT時刻對(k+n)T時刻的狀態(tài)預測值；ΔUi(k+n|k)為kT時刻求得的子系統(tǒng)i的(k+n)T時刻的最優(yōu)控制輸入；ΔUj(k+n|k)為kT時刻求得的子系統(tǒng)j的(k+n)T時刻的最優(yōu)控制輸入.

筆者的目的是設計一個無記憶狀態(tài)反饋控制律為

ΔUi(k+n|k)=Ki(k)ΔXi(k+n|k)

(16)

(17)

穩(wěn)定.

定理1對于閉環(huán)系統(tǒng)式(17)，如果存在矩陣Qi(k),Yi(k)，以及常數(shù)ξi1(k)，ξi2(k)，γi(k)，使得優(yōu)化問題

(18)

(19)

(20)

Vi(k+n+1|k)-Vi(k+n|k)≤

ΔUiT(k+n|k)RiΔUi(k+n|k)]

(21)

成立，則式(21)滿足Lyapunov穩(wěn)定條件：

Vi(k+n+1|k)-Vi(k+n|k)≤0

(22)

從而可知閉環(huán)系統(tǒng)式(17)漸近穩(wěn)定.

將閉環(huán)系統(tǒng)式(17)代入不等式(21)得到

(23)

對式(23)應用Schur補引理可得

(24)

依次應用引理和Schur補引理可知：式(24)成立當且僅當存在常數(shù)εi1>0和εi2>0滿足

(25)

式中：

將式(21)兩邊從n=0到n=∞求和可得

Ji(k)≤Vi(k)

(26)

令Lyapunov函數(shù)的上界為γi(k)，則由式(26)可得

Ji(k)≤Vi(k)≤γi(k)

(27)

即求解性能指標Ji(k)的上界可轉(zhuǎn)化為求Vi(k)的上界.由式(27)可得

Vi(k)=ΔXiT(k)Pi(k)ΔXi(k)≤γi(k)

(28)

對式(28)應用Schur補定理即可得到不等式(19).

2.2 約束處理

為了使用線性矩陣不等式處理方法處理魯棒模型預測控制，需要對約束式(4，5)進行必要的處理.

首先，根據(jù)問題式(9)求得UN后，式(4，5)的左右兩邊分別減去UN，并令uz,min為零，每個路口的信號周期均為C，則式(4，5)可轉(zhuǎn)換為

(29)

(30)

式中w為單位列向量.

首先，對約束式(29)處理為

(31)

其中

(32)

進而將式(32)轉(zhuǎn)換為線性矩陣不等式

(33)

同理，可將約束式(30)轉(zhuǎn)換為

(34)

由式(34)可得線性矩陣不等式

(35)

2.3 分布式預測控制算法

對大規(guī)模的城市路網(wǎng)采用分布式魯棒控制策略，能有效處理由測量誤差、飽和流量的浮動等引起的交通狀態(tài)的不確定性，且能降低系統(tǒng)的計算量.筆者提出的基于合作式的分布式魯棒預測控制算法步驟具體如下：

Step 1在控制算法迭代初始時刻，設k=0,Ki=0.

Step 4求解得到控制量ΔUi(k)=Ki(k)ΔXi(k).

Step 5進入下一采樣時刻，令k=k+1，返回Step 2.

3 控制仿真與實現(xiàn)

如圖2所示，在仿真與實現(xiàn)中，考慮采用包含兩個路口的系統(tǒng).

圖2 仿真結(jié)構(gòu)圖Fig.2 The structure of simulation

圖2中共包含14條車道{L1,L2,…,L14},但是受控的車道只有{L5,L8}.各車道的轉(zhuǎn)彎率如下：

t1,8=0.8,t3,8=0.2,t6,8=0.2,t9,5=0.2,t11,5=0.7,t13,5=0.2.定義p=ST，且p1=40,p3=50,p5=50,p6=50,p8=45,p9=50,p11=50,p13=50.

每個路口的信號燈周期均為C=60 s，其中，黃燈損失時間為L1=L2=16 s，每個周期含有四個相位，如圖3所示.

圖3 路口的相位示意圖Fig.3 Phase diagram of intersection

穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的XN和dN分別為

XN=[45,45,45,40,40,45,45,40]T

dN=[10,9,0,8,0,8,9,10]T

根據(jù)筆者所提的分布式魯棒預測控制算法，在kT時刻在線求解優(yōu)化問題式(18～20，33，35)，可求得每個采樣時刻的控制輸入量Ui(k)，現(xiàn)選取路口1作為分析對象，其控制輸入如圖4所示.

圖4 路口J1的控制輸入Fig.4 Control input of intersection J1

圖5 路口J1的狀態(tài)軌跡Fig.5 State trajectory of J1

綜合圖4，5可知：采用筆者提出的具有輸入約束的狀態(tài)反饋控制器作用下，在第一個信號周期內(nèi)，J1路口各相位時間所占信號周期百分比變化較大，L5中的車隊長度在該周期內(nèi)迅速減?。辉诘诙€信號周期內(nèi)，各相位時間繼續(xù)進行調(diào)整，從而使L5中的車隊長度保持在穩(wěn)態(tài)值.綜上所述，在分布式魯棒預測控制器的作用下，合理的紅綠燈相位調(diào)配能防止擁堵狀況的惡化，有效緩解路口的擁堵狀況.

4 結(jié) 論

通將“存儲與向前”模型改進為具有不確定性的

分布式路網(wǎng)系統(tǒng)模型，并且使得輸入量滿足一定的約束條件，采用分布式魯棒預測控制方法解決了帶有約束的凸優(yōu)化問題.仿真研究表明：系統(tǒng)滿足約束條件，具有較強的魯棒性，能有效協(xié)調(diào)路網(wǎng)系統(tǒng)中的交通狀況.

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(責任編輯：陳石平)

Distributed robust model predictive control for urban road network

LIU Andong, LI Jia

(College of Information Engineering, Zhejiang University of Technology, Hangzhou 310023, China)

The distributed robust predictive state feedback controller design problem is investigated in this paper for an urban road network with model uncertainty. Firstly, the urban road network topology model obtained from the extending of the “store and forward” linear model is divided into a distributed model. Considering the influence of uncertainty on urban road network systemun from road conditions change and the error of measurement, the distributed model with parameter uncertainty is derived for the urban road network system. Furthermore, a cooperative distributed robust predictive control algorithm is proposed, where the state feedback controller is designed by solving convex optimization problems online with LMIs. Finally, an example is given to demonstrate the effectiveness of the proposed method to alleviate the urban traffic congestion and optimize the light split.

distributed robust model predictive control; distributed model of the road network; uncertain parameters; LMI

2016-03-05

國家自然科學基金資助項目(61273117,61403344)

劉安東(1985—)，男，浙江衢州人，講師，研究方向為網(wǎng)絡化系統(tǒng)、模型預測控制等，E-mail：lad@zjut.edu.cn.

TP273

A

1006-4303(2016)06-0633-06