浙江省寧波市第二中學(xué) (315010)

孫 鋆

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二元函數(shù)最值問題的常用策略

浙江省寧波市第二中學(xué) (315010)

孫 鋆

形如z=f(x,y)含有兩個自變量的函數(shù)我們稱為二元函數(shù)，其最值問題常常是高中函數(shù)問題中的熱點和難點問題,而這類方法有時常常根植于解析幾何、向量等諸多高中數(shù)學(xué)重要知識，同時考查轉(zhuǎn)化化歸、分類討論等數(shù)學(xué)思想.根據(jù)自變量x,y的關(guān)系二元函數(shù)主要可以分為兩種基本類型，其一是x,y之間沒有聯(lián)系，其二是x,y之間存在聯(lián)系，這種聯(lián)系常表現(xiàn)為方程或不等式(組)關(guān)系.求解二元函數(shù)最值核心思想是化二元函數(shù)為一元函數(shù)即將復(fù)雜陌生問題化歸為簡單熟悉的函數(shù)模型，當(dāng)然利用柯西不等式可以直接處理二元最值問題.以下我們談?wù)勄蠼舛瘮?shù)最值問題的常用策略和方法.

1.基本不等式法

例1 已知x,y>0且x+4y+xy=5，求x+4y的最小值

例2 若x,y>0且x+3y=5xy，求3x+4y的最小值.

評注:利用基本不等式求二元最值注意”一正二定三相等”,即不等式運(yùn)用的前提是正數(shù),構(gòu)造定值和取等號的條件.學(xué)生常常忽略等號成立的條件產(chǎn)生誤解(特別利用多次不等關(guān)系),此時往往需要轉(zhuǎn)為相關(guān)函數(shù)模型的單調(diào)性加以解決.同時更要善于尋找目標(biāo)和條件間的關(guān)系,熟悉湊配和1的代換等技巧.

2.消元法

事實上如上的例1和例2都可用消元法加以求解.不妨以例2加以說明.

評注:用條件加以消元從而把二元函數(shù)一元化,在利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性求最值,值得指出的是要關(guān)注函數(shù)的定義域,示例中即由x>0及y>0求出變量x的范圍,學(xué)生常常會忽略變量y對x的限制作用而導(dǎo)致定義域范圍擴(kuò)大.

3.整體代入法

評注:利用已知條件加以消元有時函數(shù)模型較難解決，遇到了“疑無路”；充分認(rèn)識代數(shù)式的結(jié)構(gòu)特點而采用整體代入的方法往往可以“又一村”.

4.換元法

4.1 分式齊次換元

例4 若實數(shù)x,y滿足x2-xy+y2=1，求x2+2y2的最小值.

評注:利用1的代換構(gòu)造分式齊次函數(shù)是一類常見的函數(shù)模型,通過換元劃歸為一元分式函數(shù),其核心需要熟練掌握二次分式函數(shù)中的最值模型.

4.2 三角換元

例5 設(shè)x,y∈R,且2x2+2xy+y2=2,求2x+y的最值.

例6 (2015,浙江學(xué)業(yè)考試選擇題25)若實數(shù)數(shù)列{an}(n∈N*)是等差數(shù)列,且a1+a2=1,則a2+a3的取值范圍是( ).

評注:要善于發(fā)現(xiàn)平方和的結(jié)構(gòu)特點，如2x2+2xy+y2=2，a21+a22=1等，靈活運(yùn)用三角換元使二元函數(shù)一元化，最后化歸為三角函數(shù)模型求解最值.這類問題有時也可以用判別式法加以求解如例5,但是對于例6卻無能為力.

5.幾何法

5.1 線性規(guī)劃法

評注:變量x,y間的關(guān)系由不等式組給出往往可以轉(zhuǎn)化為可行域,關(guān)鍵尋找目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,常見的如截距與斜率等,為了增加目標(biāo)函數(shù)的難度,有時候目標(biāo)函數(shù)并不一定就是斜率而是轉(zhuǎn)化為斜率k的函數(shù)即f(k).

5.2 構(gòu)造法

評注:當(dāng)代數(shù)方法較難解決時常常抓住結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造函數(shù)的幾何意義,利用幾何性質(zhì)或解析法求解問題.由此必須熟悉兩點距離,點線距離等結(jié)構(gòu),適時轉(zhuǎn)化為幾何問題.

6 直接法

評注:當(dāng)兩變量x,y沒有相互限制時往往可以考慮直接法,其策略是先看成某一變量的函數(shù)如z=f(x,y)=F(x),然后再看作另一變量如y的函數(shù).由此必須熟悉常見的求函數(shù)最值的方法靈活選擇運(yùn)用.

[1]孫鋆.唇亡齒寒兩相依，變量關(guān)系要明晰[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2010,5.