江西省余干二中 (335100)

章華鋒

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解中點(diǎn)弦問題的利器
——“點(diǎn)差法”

江西省余干二中 (335100)

章華鋒

分析：本題涉及到直線被橢圓截得弦的中點(diǎn)問題，采用點(diǎn)差法和中點(diǎn)坐標(biāo)公式，運(yùn)算會(huì)更為簡便．

點(diǎn)評(píng)：運(yùn)用點(diǎn)差法,可以求中點(diǎn)弦所在的直線方程.本題中，中點(diǎn)弦方程是明確存在的，如果結(jié)果是問中點(diǎn)弦方程是否存在，則還要把求出的直線方程與圓錐曲線方程聯(lián)解，看它的判別式是否大于零.

例2 已知拋物線y2=6x，求過點(diǎn)(0,1)直線被拋物線所截的弦的中點(diǎn)軌跡方程.

分析：可以假設(shè)出中點(diǎn)的坐標(biāo)，通過中點(diǎn)公式與斜率公式得出一個(gè)與中點(diǎn)坐標(biāo)有關(guān)的一個(gè)方程.

點(diǎn)評(píng)：用點(diǎn)差法，可以求出平行弦或過定點(diǎn)弦中點(diǎn)的軌跡問題.

分析:本題可以利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式與斜率公式的條件，列出方程，解方程組.

點(diǎn)評(píng)：在運(yùn)用點(diǎn)差法，求圓錐曲線的軌跡方程時(shí)，要充分運(yùn)用已知條件(中點(diǎn)坐標(biāo)公式、斜率公式)，列出方程，再運(yùn)用待定系數(shù)法求出圓錐曲線方程.

分析：本題中兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，是有關(guān)中點(diǎn)的問題，可以考慮使用點(diǎn)差法.

點(diǎn)評(píng)：解決這類問題有兩種思路：一是先求出直線斜率的變化范圍進(jìn)而求出參數(shù)的取值范圍；二是借助曲線方程中變量的取值范圍求出參數(shù)的取值范圍.

分析：本題中有“B是線段PQ的中點(diǎn)”可以考慮使用點(diǎn)差法．

點(diǎn)評(píng)：這是一個(gè)開放性命題，可以先假設(shè)k存在，再通過計(jì)算來確定k是否能存在．