重慶市榮昌大成中學(xué) (402460)

熊福州

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換元讓問題進入方程(組)，消元使問題在一個方程中

重慶市榮昌大成中學(xué) (402460)

熊福州

文[1] 文[2]根據(jù)著名數(shù)學(xué)大師笛卡兒的方程理論(一切問題都可數(shù)學(xué)化,化歸為數(shù)學(xué)問題,一切數(shù)學(xué)問題都可化歸為代數(shù)問題,一切代數(shù)問題都可化歸為方程問題,有了方程理論就可解決一切問題)研究后指出：數(shù)學(xué)問題的根基本質(zhì)是方程的解集，最基本的數(shù)學(xué)思想方法是方程思想，換元(消元)法，即換元(設(shè)未知數(shù),即用字母代數(shù)或式)產(chǎn)生方程(組),問題就自然進入方程、不等式(組),消元使問題在一個方程(不等式)中，求方程(不等式)的解集(在坐標系上就是圖像)就自然解決問題(可解的話),因此，換元，消元是最基本的解題思路和方法.一切代數(shù)問題一般都應(yīng)考慮列、解方程(或由方程產(chǎn)生的不等式(組))解決.下面以文[3]的某些例和高考題說明.

例1 求方程2x2-2xy+5y2-10x-4y+17=0的所有實數(shù)解.

解:令2a+b+c=k,得方程組

例3是2006年全國高考重慶卷理10,有相當(dāng)?shù)碾y度,參考解答對代數(shù)式變形能力要求較高,有技巧,卻不易想到,換元為方程就好想了,解法也多了.

注:作差比較法證明不等式實質(zhì)是求差函數(shù)(代數(shù)式)的值域(解集),換元為方程后就是方程(組)中求取值范圍(解集).一般地,未知數(shù)的個數(shù)與方程個數(shù)相同,求取值(有限解集), 未知數(shù)的個數(shù)多于方程個數(shù),求取值范圍(無限解集).表示實數(shù)的字母(未知數(shù)，即元)進入方程(組), 取值范圍(解集)就確定了(現(xiàn)在比較流行的說法叫“隱含條件”),消元后最終得到多個未知數(shù)的一個方程,再解出一個未知數(shù)得顯函數(shù)(在高中，多為求一元顯函數(shù)),求顯函數(shù)的定義域和值域就自然得到了，因此，“換元讓問題進入方程(組)，消元使問題在一個方程中”是最基本的解題思路.

[1]熊福州,張龍躍.數(shù)學(xué)問題的根基本質(zhì)是方程的解集[J].中學(xué)數(shù)學(xué)研究(江西),2015,8.

[2]熊福州.最基本的數(shù)學(xué)思想方法——方程思想，換元法[J].河北理科教學(xué)研究,2000,4.

[3]羅增儒.數(shù)學(xué)解題引論[M].陜西師大出版社，1997,6.