梁昌金

(安徽省壽縣第一中學(xué),232200)

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利用奇函數(shù)的一組性質(zhì)求解競賽試題

梁昌金

(安徽省壽縣第一中學(xué),232200)

函數(shù)的奇偶性是競賽的重點(diǎn)內(nèi)容之一,考查內(nèi)容靈活多樣，特別是與函數(shù)其他性質(zhì)的綜合應(yīng)用更加突出.這類問題從通性通法的角度來處理,顯得較為繁瑣，若能靈活利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì),常能達(dá)到化難為易、事半功倍的效果.筆者擷取近年來的數(shù)學(xué)競賽試題為例,歸納出奇函數(shù)的一組性質(zhì)及其應(yīng)用.

性質(zhì)1 若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),且g(x)=f(x)+c,則必有g(shù)(-x)+g(x)=2c.

簡證 由于函數(shù)f(x)是奇函數(shù),所以f(-x)=-f(x),所以

g(-x)+g(x)

=f(-x)+c+f(x)+c=2c.

解 可以驗(yàn)證f(-x)+f(x)=0,故函數(shù)f(x)為奇函數(shù).所以，函數(shù)f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值的和為0.

例3 (2013年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽貴州省預(yù)賽)設(shè)函數(shù)

的最大值為M,最小值為m,則M+m=______.

因g(x)max+g(x)min=0,而M=g(x)max+1,N=g(x)min+1,所以M+N=2.

評注 從上述三個例題可知,這類問題的求解關(guān)鍵在于觀察函數(shù)的結(jié)構(gòu),構(gòu)造出一個奇函數(shù).有些問題是直觀型的,直接應(yīng)用即可,但有些問題是復(fù)雜型的,需要變形才能成功.

說明 類似地,可以求解如下競賽試題:

性質(zhì)2 若f(x)是單調(diào)的奇函數(shù),則f(x1)+f(x2)=0?x1+x2=0.

略證 f(x1)+f(x2)=0?f(x1)=-f(x2)=f(-x2)?x1=-x2?x1+x2=0.

例4 (2015年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽新疆預(yù)賽)設(shè)x、y是實(shí)數(shù),且滿足

則x+y=______.

解 設(shè)f(x)=x3+2 015x,則f(x)是單調(diào)遞增的奇函數(shù),且f(x-1)+f(y-1)=0.

所以x-1+y-1=0,故x+y=2.

例5 (2015年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽四川省預(yù)賽)設(shè)x+sin xcos x-1=0,2cos y-2y+π+4=0,則sin(2x-y)=______.

解 由x+sin xcos x-1=0,得2x+sin 2x=2,由2cos y-2y+π+4=0,得

所以sin(2x-y)=-1.

評注 這類問題求解的關(guān)鍵是觀察所給函數(shù)式,對系數(shù)進(jìn)行合理的變形,使之滿足共同的函數(shù)特征,然后構(gòu)造出單調(diào)的奇函數(shù).

說明 類似地,可以求解如下競賽試題:

性質(zhì)3 已知函數(shù)f(x)是區(qū)間I上的奇函數(shù).

① 若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,且x1,x2∈I,則f(x1)+f(x2)>0?x1+x2>0;

② 若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,且x1,x2∈I,則f(x1)+f(x2)>0?x1+x2<0;

③ 若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞增,且x1,x2∈I,則f(x1)+f(x2)<0?x1+x2<0;

④ 若f(x)在區(qū)間I上單調(diào)遞減,且x1,x2∈I,則f(x1)+f(x2)<0?x1+x2>0.

略證 ① f(x1)+f(x2)>0?f(x1)>-f(x2)=f(-x2)?x1>-x2?x1+x2>0.

② ③ ④ 類似可證.

解 令g(x)=f(x)-2,則函數(shù)g(x)為奇函數(shù)且在實(shí)數(shù)R上為單調(diào)遞增函數(shù).

解 原不等式可變形為

設(shè)f(x)=x3+5x,則易知f(x)在R上單調(diào)遞增,當(dāng)x≠-1時，原不等式可化為

評注 此類問題相對來說較復(fù)雜一些,對觀察和變形能力要求較高.

性質(zhì)4 若函數(shù)f(x)是奇函數(shù),則函數(shù)g(x)=f(x-a)+h的圖象關(guān)于點(diǎn)(a,h)對稱.

略證 函數(shù)g(x)=f(x-a)+h的圖象可由f(x)的圖象平移得到.不難知結(jié)論成立.

例8 (2016年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽山東省預(yù)賽)設(shè)α,β分別滿足方程α3-3α2+5α-4=0,β3-3β2+5β-2=0,則α+β=______.

解 設(shè)g(x)=x3+2x,則g(x)是R上的單調(diào)遞增的奇函數(shù).

設(shè)f(x)=x3-3x2+5x,則f(x)=g(x-1)+3,故f(x)關(guān)于點(diǎn)(1,3)中心對稱.

觀察題目條件α3-3α2+5α-4=0,β3-3β2+5β-2=0,知f(α)=4,f(β)=2，

所以f(α)+f(β)=6,則點(diǎn)(α,4)與點(diǎn)(β,2)關(guān)于點(diǎn)(1,3)對稱,故α+β=2.

說明:類似地,可以求解如下競賽試題:

(2008年全國數(shù)學(xué)聯(lián)賽湖南省預(yù)賽)設(shè)函數(shù)f(x)=x3+3x2+6x+14,且f(a)=1,f(b)=19,則a+b=( )

(A)2 (B)1 (C)0 (D)-2

答案:D.

評注 此類問題求解的關(guān)鍵是從所給函數(shù)式中分離(或變形)出奇函數(shù),進(jìn)而得出對稱中心,然后利用對稱性實(shí)現(xiàn)問題的求解.