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高三數(shù)學(xué)綜合測試

一、填空題(本大題共14小題，每小題5分，共70分) 1.設(shè)集合A={-1,0,1},B={0,1,2,3},則A∩B=______.

4.過點(diǎn)(1,2)與直線2x-y-10=0垂直的直線(一般式)方程為______.

7.若雙曲線x2-y2=a2(a>0)的右焦點(diǎn)與拋物線y2=4x的焦點(diǎn)重合,則a=______.

9.設(shè)f(x)=4x3+mx2+(m-3)x+n(m, n∈R)是R上的單調(diào)增函數(shù),則m的值為______.

10.已知函數(shù)f(x)=|2x-2|(x∈(-1,2)),則函數(shù)y=f(x-1)的值域?yàn)開_____.

13.已知點(diǎn)A(0,2)是圓M:x2+y2-2ax-2ay=0(a>0)外一點(diǎn),圓M上存在點(diǎn)T使得∠MAT=45°,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是______.

14.已知函數(shù)y=f(x)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù),當(dāng)x≥0時(shí),

二、解答題(本大題共6小題,共計(jì)90分. 解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)

15.(本小題滿分14分)已知命題p:方程x2+mx+1=0有兩個(gè)不相等的負(fù)實(shí)根,命題q:方程4x2+2(m-2)x+1=0無實(shí)根.

(1)求B;

17.(本小題滿分15分)如圖,某生態(tài)園將一三角形地塊ABC的一角APQ開辟為水果園種植桃樹.已知角A為120°,AB,AC的長度均大于200米,現(xiàn)在邊界AP,AQ處建圍墻,在PQ處圍竹籬笆.

(1)若圍墻AP,AQ總長度為200米,如何圍可使得三角形地塊APQ的面積最大?

(2)已知AP段圍墻高1米,AQ段圍墻高1.5米,造價(jià)均為每平方米100元.若圍圍墻用了20 000元,問如何圍可使竹籬笆用料最省?

18.(本小題滿分15分)已知圓M:x2+(y-4)2=4,點(diǎn)P是直線l:x-2y=0上的一動點(diǎn),過點(diǎn)P作圓M的切線PA、PB,切點(diǎn)為A、B.

(2)若?PAM的外接圓為圓N,試問:當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動時(shí),圓N是否過定點(diǎn)?若過定點(diǎn),求出所有的定點(diǎn)的坐標(biāo);若不過定點(diǎn),說明理由.

(3)求線段AB長度的最小值.

(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程;

20.(本小題滿分16分)已知函數(shù)f(x)=ex,g(x)=mx+n.

(1)設(shè)h(x)=f(x)-g(x).

① 若函數(shù)h(x)在x=0處的切線過點(diǎn)(1,0),求m+n的值;

② 當(dāng)n=0時(shí),若函數(shù)h(x)在(-1,+∞)上沒有零點(diǎn),求m的取值范圍.

參考答案

一、填空題

1.{0,1}; 2.-1; 3.充分不必要;

4.x+2y-5=0; 5.8;

二、解答題

15.由命題p,可以得到

∴ m>2.

由命題q,可以得到

Δ=[2(m-2)]2-16<0,

∴ 0

∴p為假,q為真,

17.設(shè)AP=x米，AQ=y米.

(1)x+y=200,?APQ的面積

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=100時(shí)取等號.

(2)由題意，得

100×(1·x+1.5·y)=20 000,

即 x+1.5y=200.

要使竹籬笆用料最省,只需其長度PQ最短,所以

18.(1)由題可知,圓M的半徑r=2,設(shè)P(2b,b).

因?yàn)镻A是圓M的一條切線,所以∠MAP=90°，

(2)設(shè)P(2b,b),因?yàn)椤螹AP=90°,所以經(jīng)過A、P、M三點(diǎn)的圓N以MP為直徑,

其方程為

即 (2x+y-4)b-(x2+y2-4y)=0.

(3)圓N方程為

即 x2+y2-2bx-(b+4)y+4b=0;

①

圓M:x2+(y-4)2=4,

即 x2+y2-8y+12=0.

②

②-①，得圓M方程與圓N相交弦AB所在直線方程為

2bx+(b-4)y+12-4b=0.

點(diǎn)M到直線AB的距離

相交弦長為

19.(1)由題設(shè),得

從而b2=a2-c2=3,

所以,滿足題意的定直線l2只能是x=4.

下面證明點(diǎn)P恒在直線x=4上.

設(shè)A(x1, y1),B(x2, y2),由于PA垂直于y軸,所以點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為y1,從而只要證明P(4, y1)在直線BD上.

(4+3m2)y2+6my-9=0.

∵Δ=144(1+m2)>0,

①

① 式代入上式,得

kDB-kDP=0,所以kDB=kDP.

∴點(diǎn)P(4, y1)恒在直線BD上,從而直線l1、直線BD與直線l2:x=4三線恒過同一點(diǎn)P,所以存在一條定直線l2:x=4使得點(diǎn)P恒在直線l2上.

20.(1)① 由題意,得

h′(x)=(f(x)-g(x))′

=(ex-mx-n)′

=ex-m,

所以,函數(shù)h(x)在x=0處的切線斜率k=1-m.

又h(0)=1-n,所以函數(shù)h(x)在x=0處的切線方程為

y-(1-n)=(1-m)x.

將點(diǎn)(1,0)代入,得m+n=2.

② 方法1:當(dāng)n=0,可得

h′(x)=(ex-mx)′=ex-m,

當(dāng)x∈(-1,ln m)時(shí),h′(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(ln m,+∞)時(shí),h′(x)>0,h(x)單調(diào)遞增，所以函數(shù)h(x)在(-1,+∞)上有最小值為h(ln m)=m-mln m.

令m-mln m>0,解得m

方法2:當(dāng)n=0,ex=mx.

①x=0時(shí),顯然不成立;

(2)由題意,

ex(3x-4)+x+4≥0.

令F(x)=ex(3x-4)+x+4,則

F(0)=0,

且 F′(x)=ex(3x-1)+1,

F′(0)=0.

令G(x)=F′(x),則

G′(x)=ex(3x+2).

因x≥0, 所以G′(x)>0,

所以導(dǎo)數(shù)F′(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,于是F′(x)≥F′(0)=0,

從而函數(shù)F(x)在[0,+∞)上單調(diào)遞增,即F(x)≥F(0)=0.