肖 濤，張麗娜，鄭亞勤

(河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河北 保定 071001)

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工科專業(yè)“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)改革探討

肖 濤，張麗娜，鄭亞勤

(河北農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，河北 保定 071001)

“復(fù)變函數(shù)與積分變換”是工科學(xué)生學(xué)習(xí)后繼相關(guān)專業(yè)課的必備工具，能否學(xué)好這門課對學(xué)生的發(fā)展尤為重要。從分析河北農(nóng)業(yè)大學(xué)“復(fù)變函數(shù)與積分變換”教學(xué)中存在的問題入手，根據(jù)河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院學(xué)生的基礎(chǔ)，結(jié)合現(xiàn)有的教學(xué)條件，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力為導(dǎo)向，從轉(zhuǎn)變教學(xué)理念、合理組織教學(xué)內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)方法等方面對我校“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)模式的改革與創(chuàng)新給出了若干建議，以期優(yōu)化該課程的教學(xué)效率。

復(fù)變函數(shù)與積分變換；教學(xué)改革；教學(xué)方法；學(xué)習(xí)興趣

DOI號：10.13320/j.cnki.jauhe.2016.0139

“復(fù)變函數(shù)與積分變換”是河北農(nóng)業(yè)大學(xué)電氣工程及其自動化、農(nóng)業(yè)電氣化及其自動化、電子信息工程、自動化等工科專業(yè)學(xué)生必學(xué)的專業(yè)基礎(chǔ)課。這門課分為復(fù)變函數(shù)與積分變換兩部分。其中，復(fù)變函數(shù)是將實(shí)函數(shù)的理論從實(shí)數(shù)域擴(kuò)充到復(fù)數(shù)域而形成的一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支；以復(fù)變函數(shù)理論為基礎(chǔ)的積分變換，是通過積分的形式把關(guān)于一個(gè)變量的函數(shù)轉(zhuǎn)化成關(guān)于另一個(gè)變量的函數(shù)的方法，可以達(dá)到化繁為簡的目的。在很多相關(guān)專業(yè)課中都有廣泛應(yīng)用。通過學(xué)習(xí)本課程，可以掌握復(fù)變函數(shù)與積分變換的基本理論和方法，為學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)相關(guān)專業(yè)課奠定理論基礎(chǔ)，同時(shí)也可以培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合應(yīng)用知識的能力。能否學(xué)好這門課對學(xué)生今后的發(fā)展尤為重要。

對于“復(fù)變函數(shù)與積分變換”這門課，工科專業(yè)學(xué)生普遍認(rèn)為難度較高，學(xué)習(xí)缺乏積極主動性；且多數(shù)教師不能正確認(rèn)識本課程的性質(zhì)，授課的時(shí)間大部分都用在那些復(fù)雜的定理和結(jié)論的證明，忽視了學(xué)生學(xué)這門課的目的。重理論、輕應(yīng)用。另外，教師授課時(shí)往往采用單一的講授式教學(xué)方法，這種填鴨式的教學(xué)會讓學(xué)生感到該課程枯燥無味，失去學(xué)習(xí)興趣。這些問題是“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程教學(xué)中普遍存在的，北京航天航空大學(xué)、河南理工大學(xué)、中原工學(xué)院等學(xué)校的該課程教學(xué)中，也或多或少存在著類似的問題。針對這些問題，很多高校教師也從各個(gè)角度提出了自己的看法和建議。滕巖梅等主要從完善教材、采用類比教學(xué)法和形象教學(xué)法以及通過借助MATLAB求解復(fù)雜問題來提高學(xué)生的動手能力等方面進(jìn)行研究[1]。王洪濤主要圍繞增加緒論課、營造良好課堂氛圍和增加拓展閱讀與課下實(shí)驗(yàn)作出研究[2]。李士生等主要針對提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力、改革考試方式進(jìn)行研究[3]。下面將根據(jù)河北農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院學(xué)生的基礎(chǔ)，結(jié)合現(xiàn)有的教學(xué)條件，以激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和積極性、提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率、培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力為導(dǎo)向，從轉(zhuǎn)變教學(xué)理念、合理組織教學(xué)內(nèi)容、優(yōu)化教學(xué)方法等方面對“復(fù)變函數(shù)與積分變換”課程的教學(xué)模式的改革與創(chuàng)新給出了若干建議，以期能改變學(xué)生對該課程的認(rèn)識，優(yōu)化這門課程的教學(xué)效率，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)成績。

一、轉(zhuǎn)變重理論輕應(yīng)用的教學(xué)理念，加強(qiáng)應(yīng)用性教學(xué)

(一) 轉(zhuǎn)變重理論輕應(yīng)用的教學(xué)理念

教師首先應(yīng)明確“復(fù)變函數(shù)與積分變換”是工科學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課的“工具”。工科學(xué)生學(xué)習(xí)這門課不同于數(shù)學(xué)專業(yè)的學(xué)生，他們學(xué)習(xí)這門課不是為了純粹的去證明那些復(fù)雜的定理和結(jié)論，而是利用這些定理和結(jié)論去解決專業(yè)課中相關(guān)的問題。因此，教師在課堂上應(yīng)盡量避免對定理嚴(yán)格證明，可以簡單介紹證明方法及思路，避免學(xué)生產(chǎn)生厭學(xué)情緒。教學(xué)時(shí)，應(yīng)側(cè)重于通俗化地解釋概念、定理，幫助學(xué)生快速理解并學(xué)會如何應(yīng)用這些知識。比如，單位脈沖函數(shù)的嚴(yán)格定義對工科學(xué)生來說是很難理解的，所以教師在授課時(shí)就應(yīng)該避開純粹的數(shù)學(xué)理論，通過介紹當(dāng)時(shí)英國數(shù)學(xué)家狄拉克定義這個(gè)函數(shù)的背景——“在電流為零的電路中，某一時(shí)刻突然進(jìn)入一單位的電量，如何求此時(shí)電路上的電流？”[4]以及生活中的實(shí)例來引入單位脈沖函數(shù)的概念，并分析它的本質(zhì)為一個(gè)時(shí)間極短但取值極大的函數(shù)模型，再給出單位脈沖函數(shù)的簡化定義和性質(zhì)，指出它和階躍函數(shù)互為導(dǎo)數(shù)的關(guān)系。最后告訴學(xué)生，在工程中大部分信號都可分解為脈沖函數(shù)和階躍函數(shù)的和。讓學(xué)生了解它的實(shí)際應(yīng)用。這樣，學(xué)生就不再覺得晦澀難懂，反而增加了趣味性，增強(qiáng)了學(xué)習(xí)這門課的積極性。

(二)加強(qiáng)應(yīng)用性教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力

教師不僅在第一次課就應(yīng)向?qū)W生簡單介紹復(fù)變函數(shù)與積分變換的由來及應(yīng)用范圍[5]，讓學(xué)生明確學(xué)習(xí)這門課的重要性，而且要在教學(xué)過程中結(jié)合具體的教學(xué)內(nèi)容，滲透其應(yīng)用。例如：在講“復(fù)數(shù)的幾何意義”時(shí)，可以介紹復(fù)數(shù)并不是虛無縹緲的，是看得見的，它對應(yīng)著復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)或一個(gè)向量。打消學(xué)生對復(fù)數(shù)真實(shí)性的懷疑。在講復(fù)數(shù)的幅角定義時(shí)，可以通過普通相機(jī)和數(shù)碼像機(jī)的例子來說明：普通照像機(jī)照出來的照片沒有立體感，數(shù)碼相機(jī)照出來的照片栩栩如生，比普通照像機(jī)照出來的照片更有有立體感，原因就在于數(shù)碼相機(jī)除了反映復(fù)數(shù)的距離(模)之外，還能反映出每個(gè)點(diǎn)的位置(幅角)。講解析函數(shù)時(shí)，可以滲透解析函數(shù)在電場的電位和電通研究中的作用。在講柯西積分公式時(shí)，可以問學(xué)生“如何測得地心的溫度”這一問題。講洛朗級數(shù)時(shí)，要告訴學(xué)生借助洛朗級數(shù)可以直接寫出離散數(shù)字信號的Z變換，這是以后學(xué)專業(yè)課時(shí)要用到的[6]。在講留數(shù)時(shí)，可以介紹留數(shù)理論是后面的積分變換的理論基礎(chǔ)。在講共形映射，可以向?qū)W生介紹俄國的茹科夫斯基在設(shè)計(jì)飛機(jī)時(shí)，如何通過共形映射研究機(jī)翼外部的繞流問題，計(jì)算出飛機(jī)機(jī)翼剖面壓力，從而解決了機(jī)翼的造型的例子。只要教師能在教學(xué)中緊密結(jié)合應(yīng)用背景講授抽象知識，就會使課堂變得生動有趣,真正讓學(xué)生看到學(xué)以致用的魅力，從而增強(qiáng)學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的積極性，同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的綜合應(yīng)用能力。

講積分變換時(shí)可以向?qū)W生介紹傅氏變換能實(shí)現(xiàn)時(shí)域與頻域之間的轉(zhuǎn)化，多應(yīng)用于信號分析，比如信號處理中的信號消噪過程；拉氏變換可以實(shí)現(xiàn)時(shí)域與復(fù)頻域間的轉(zhuǎn)化，則常見于分析系統(tǒng)，主要講解它在求解微積分方程中的應(yīng)用。這樣，教學(xué)與實(shí)際相結(jié)合，切實(shí)解決了理論與專業(yè)相脫節(jié)的問題，幫助學(xué)生建立明確的學(xué)習(xí)目標(biāo)，增強(qiáng)他們學(xué)好這門課的信心。

二、正確處理課堂內(nèi)容和教材的關(guān)系，合理組織教學(xué)內(nèi)容

由于不同層次的學(xué)生對數(shù)學(xué)知識的接受能力、聽課效率、學(xué)習(xí)方法、學(xué)習(xí)興趣、鉆研精神和努力程度都存在差異，且不能分層教學(xué)，這就要求教師處理好課堂內(nèi)容與教材內(nèi)容的關(guān)系，把握好講課內(nèi)容的難易程度，合理組織教學(xué)內(nèi)容。目前，我校采用的教材是由高等教育出版社出版、西安交通大學(xué)王綿森教授主編的《復(fù)變函數(shù)》及東南大學(xué)數(shù)學(xué)系主編的《積分變換》。但是教師在備課時(shí)不能拘泥于教材上的內(nèi)容，要在熟悉各種同類教材編寫特點(diǎn)的基礎(chǔ)上，盡可能多的吸收該課程最新研究的精華，對教材內(nèi)容進(jìn)行加工，以便于不同層次的學(xué)生掌握知識，提高課堂學(xué)習(xí)效率。這一過程就類似于將小說改編成電影或電視劇，教師集“編”、“導(dǎo)”、“演”于一身，呈現(xiàn)給學(xué)生的內(nèi)容源于教材、緊扣大綱，但又不是教材的翻版。

比如，《復(fù)變函數(shù)》的第二章是解析函數(shù)，第三章復(fù)變函數(shù)積分的最后一節(jié)是解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，第二章剛講完時(shí)，學(xué)生對解析函數(shù)還非常熟悉，如果這時(shí)講解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系，只需給出調(diào)和函數(shù)的定義即可，但如果等到第三章講完再講這一節(jié)，學(xué)生可能已忘記什么是解析函數(shù)，還要浪費(fèi)學(xué)時(shí)復(fù)習(xí)解析函數(shù)?？紤]到第三章最后一節(jié)的內(nèi)容與第三章前面各節(jié)的內(nèi)容聯(lián)系不緊密，只用到這一章的一個(gè)結(jié)論，因此，筆者在教學(xué)時(shí)會先講第三章的最后一節(jié)，然后再接著講復(fù)變函數(shù)的積分。既節(jié)約課時(shí)，又提高了學(xué)生的學(xué)習(xí)效率。

另外，筆者根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對于“柯西古薩定理”、“閉路變形原理”和“復(fù)合閉路定理”接受起來有困難，因此在講第三章時(shí)，將教材中的第二節(jié)“柯西古薩定理”、第三節(jié)“閉路變形原理”和“復(fù)合閉路定理”、第四節(jié)“積分與路徑無關(guān)”的內(nèi)容打亂后重新組合，在講第一節(jié)時(shí)就設(shè)下伏筆引出“復(fù)變函數(shù)積分與路徑無關(guān)”的概念，第二節(jié)引導(dǎo)學(xué)生分析“積分與路徑無關(guān)”(閉曲線上積分為零)的條件，從而得出柯西-古薩基本定理(單連通區(qū)域內(nèi)解析)。作為推論給出積分與路徑無關(guān)的條件及計(jì)算方法，之后緊接著討論復(fù)連通域內(nèi)解析的情況，給出“復(fù)合閉路定理”，證明這一定理的過程中同時(shí)又可得出閉路變形原理。實(shí)踐證明，按照這種思路講授，學(xué)生更容易接受，極大地提高了學(xué)生的課堂學(xué)習(xí)效率與效果。

三、優(yōu)化教學(xué)方法，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和潛能

改變“滿堂灌”的單一教學(xué)方式，教學(xué)時(shí)針對不同的內(nèi)容采用不同的教學(xué)方法，如：啟發(fā)式教學(xué)、創(chuàng)設(shè)情景、類比教學(xué)法和互動式等多種教學(xué)方法。不僅能夠激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，有效調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，實(shí)現(xiàn)知識的有效遷移[7]，還可以培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，更重要的是多種教學(xué)方法結(jié)合使用，會讓學(xué)生覺得數(shù)學(xué)課堂不再枯燥乏味，能夠幫助學(xué)生建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心，享受學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的快樂。

(一)采用類比式教學(xué)法

考慮到復(fù)變函數(shù)是高等數(shù)學(xué)的后繼課，其中的很多概念和定理在高等數(shù)學(xué)中都有類似體現(xiàn)，因此在教學(xué)過程中，可以采用類比教學(xué)法[8]。通過在高等數(shù)學(xué)中已學(xué)到的實(shí)函數(shù)的知識，引出新的處理復(fù)變函數(shù)的方法，再通過分析比較復(fù)變函數(shù)與實(shí)變函數(shù)的不同之處，讓學(xué)生更好地掌握新知識，激發(fā)他們對新知識的認(rèn)知積極性。在講復(fù)變函數(shù)中的函數(shù)、極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、積分以及級數(shù)等概念時(shí)，都可以采用類比教學(xué)法，并進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)出多個(gè)復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)中的“一對二”的關(guān)系。

(二)采用情景教學(xué)法和啟發(fā)式教學(xué)法

(三)恰當(dāng)使用互動式教學(xué)法

傳統(tǒng)的“滿堂灌”的講授會使學(xué)生覺得上課似乎與自己無關(guān)，無法整節(jié)課都集中精力聽課，在教學(xué)中，教師發(fā)揮主導(dǎo)作用的同時(shí)，還需引導(dǎo)學(xué)生積極參與到教學(xué)過程中來。充分互動才能改變課堂上死氣沉沉的氣氛，取得好的教學(xué)效果。教師在課堂上可以采取提問式講解，在一問一答中讓學(xué)生的思維動起來，鼓勵學(xué)生隨時(shí)提問。課堂上，教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容和時(shí)間，盡量留給學(xué)生自己思考的機(jī)會。例題不貪多，選取典型題講精講透，再留相同類型的題讓學(xué)生練習(xí)，并抽取一些學(xué)生去黑板上作答，這樣不僅可以調(diào)動學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性，還能便于教師及時(shí)發(fā)現(xiàn)存在的問題，了解學(xué)生的知識掌握情況。講評時(shí)，要善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點(diǎn)，多鼓勵表揚(yáng)，讓學(xué)生從中產(chǎn)生成就感。

(四)教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)史，加強(qiáng)人文教育和情感教育

考慮到“復(fù)變函數(shù)與積分變換”這門課公式、定理多而繁，學(xué)生易有畏難情緒。教師在教學(xué)中要不斷的對學(xué)生進(jìn)行精神鼓勵。要注意尋找適當(dāng)?shù)那腥朦c(diǎn)，通過介紹復(fù)變函數(shù)的發(fā)展史以及一些數(shù)學(xué)家的生平事跡，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)興趣和主觀能動性，活躍課堂氣氛。例如在講“復(fù)數(shù)的幾何意義”時(shí)，可以介紹其產(chǎn)生背景——它并不是由柯西、歐拉這樣的大數(shù)學(xué)家首次提出的，而是與兩位名不見經(jīng)傳的業(yè)余數(shù)學(xué)愛好者(搞測繪的挪威人與搞會計(jì)的法國人)有關(guān)。通過這個(gè)例子使學(xué)生明白只要有興趣，肯下功夫，非數(shù)學(xué)專業(yè)的人都有可能在數(shù)學(xué)領(lǐng)域有成就，幫助學(xué)生建立學(xué)好這門課程的信心。在講“指數(shù)函數(shù)”時(shí)可以向?qū)W生介紹歐拉的生平事跡，培養(yǎng)學(xué)生不畏困難、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。在講“傅里葉積分變換”前可以介紹數(shù)學(xué)家傅里葉以及傅里葉變換的產(chǎn)生背景等等。另外在課前、課間、課后要多與學(xué)生交流，讓學(xué)生感覺到老師的真誠，感覺到老師在關(guān)心自己，這樣學(xué)生才愿意與老師做朋友。良好的師生關(guān)系不僅方便教師掌握學(xué)生的學(xué)習(xí)情況，及時(shí)發(fā)現(xiàn)他們在學(xué)習(xí)過程中遇到的各種問題，在一定程度上也能調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)這門課的積極性。

四、結(jié)束語

復(fù)變函數(shù)與積分變換對于工科專業(yè)的學(xué)生來說是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課，是他們后續(xù)學(xué)習(xí)專業(yè)課程的必備工具。教師在教學(xué)中通過轉(zhuǎn)變重理論輕應(yīng)用的教學(xué)理念，合理組織教學(xué)內(nèi)容和優(yōu)化教學(xué)方法后，我?！皬?fù)變函數(shù)與積分變換”的課堂逐漸變得生動有趣，學(xué)生對這門課產(chǎn)生了濃厚的學(xué)習(xí)興趣，改變了過去機(jī)械學(xué)習(xí)的狀態(tài)，能夠積極主動的學(xué)習(xí)該課程，大部分學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成了善于思考、積極提問的好習(xí)慣。實(shí)施教學(xué)改革后，平均分比之前提高5～8分，及格率比之前至少提高10%。除此之外，基礎(chǔ)較好的學(xué)生還能在教師的引導(dǎo)下查閱一些復(fù)變函數(shù)與積分變換在相關(guān)專業(yè)課中的應(yīng)用的文獻(xiàn)。不僅提高了學(xué)生的綜合應(yīng)用能力，而且為學(xué)習(xí)后繼專業(yè)課程打下扎實(shí)的基礎(chǔ)。教學(xué)改革是一項(xiàng)長期而艱巨的任務(wù)，需要師生堅(jiān)持不懈的繼續(xù)努力，不斷更新教學(xué)理念，堅(jiān)持理論與實(shí)踐相結(jié)合的原則，不斷提高教學(xué)質(zhì)量。

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(編輯：劉偉霄)

2016-05-30

肖 濤(1979-)，女，河北昌黎人，碩士，講師，從事數(shù)學(xué)教學(xué)工作。

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