新疆巴州庫(kù)爾勒市第四中學(xué)　　郭建花

分類雖好規(guī)避為妙

新疆巴州庫(kù)爾勒市第四中學(xué)郭建花

在中學(xué)教學(xué)解題中，通過(guò)借助函數(shù)性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合，反面考慮和運(yùn)用變換主元法等策略可以避免分類討論，提高解題效率.

分類討論數(shù)學(xué)函數(shù)

分類討論思想是中學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要數(shù)學(xué)思想方法和解題策略，在數(shù)學(xué)研究和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要的應(yīng)用價(jià)值是毋庸置疑的.但在解題時(shí)我們還要有求簡(jiǎn)意識(shí)，不能一味地一見(jiàn)參數(shù)就討論，若能認(rèn)真地挖掘一下題目?jī)?nèi)在的特殊性，靈活地運(yùn)用解題策略和方法，有時(shí)可簡(jiǎn)化或避免分類討論，使解題過(guò)程簡(jiǎn)捷且降低了問(wèn)題難度，提高了解題的效率和質(zhì)量.下面舉例說(shuō)明避免分類討論的幾種優(yōu)化策略.

一、借助函數(shù)性質(zhì)，避免分類討論

巧用函數(shù)的性質(zhì)，有時(shí)可以避免討論。

例1設(shè)定義在[-2，2]上的偶函數(shù)在區(qū)間[0，2]上單調(diào)遞減，若f（1-m）〈f（m），求實(shí)數(shù)m的取值范圍.

解析由函數(shù)的定義域知（1-m）∈[-2，2]，m∈[-2，2]，但是1-m與m到底是在［-2，2］的哪個(gè)區(qū)域內(nèi)，不十分清楚，若就此討論，將十分復(fù)雜，如果注意到性質(zhì)“如果是偶函數(shù)，那么f（-x）=f（x）=f，問(wèn)題解答就簡(jiǎn)潔多了.

∵f（x）是偶函數(shù)，

二、數(shù)形結(jié)合，避免討論

利用函數(shù)圖像、幾何圖形的直觀性和對(duì)稱特點(diǎn)有時(shí)可簡(jiǎn)化甚至避開(kāi)討論.

解析解含有絕對(duì)值符號(hào)不等式的常規(guī)解法是零點(diǎn)分段法.若能數(shù)形結(jié)合，發(fā)散思維，則可有效地規(guī)避分類討論.

三、反面考慮，簡(jiǎn)化討論

有些問(wèn)題如果能夠從反面考慮，利用補(bǔ)集思想，就可避免分類討論.

例3如果二次函數(shù)y=mx2+(m-3)x +1的圖像與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)右側(cè)，試求m的取值范圍.

解析若從正面求解，需要分四種情況討論，運(yùn)算量很大.此時(shí)若從反面考慮，即考慮交點(diǎn)都在原點(diǎn)左側(cè)時(shí)m的取值范圍，則由一元二次方程mx2+(m-3)x+1=0有兩負(fù)根得：

解得m≥9，其反面為m〈9.

再考慮△≥0與m≠0的條件，可得m≤1且m≠0.

例4某校從8名教師中選派4名教師同時(shí)去4個(gè)邊遠(yuǎn)地區(qū)支教（每地1人），其中甲和乙不同去，則不同的選派方案共有多少種（用數(shù)字作答）？

解析如果直接解分三類：

四、運(yùn)用變換主元法，避免分類討論

解析函數(shù)式變形為：

由已知得y－m≠0，

即：y2－(m+n)y+(mn-12)≤0，①

不等式①的解集為[-1，7]，則－1、7是方程y2－(m+n)y+(mn－12)＝0的兩根，代入兩根得：

此題也可由解集[-1，7]而設(shè)(y+1)· (y-7)≤0，即y2－6y－7≤0，然后與不等式①比較系數(shù)得

，解出m、n而求得函數(shù)式y(tǒng).

解析若根據(jù)二次不等式恒成立的條件列式計(jì)算，不可避免地要進(jìn)行分類討論。如果變換視角，把a(bǔ)視為主元，反客為主，把不等式變形為：

由此可見(jiàn)，我們?cè)谥匾暦诸愑懻摰乃枷敕椒☉?yīng)用的基礎(chǔ)上，也要注意克服“遇參數(shù)就討論”的思維定式，對(duì)于蘊(yùn)含著分類討論因素的數(shù)學(xué)問(wèn)題，應(yīng)當(dāng)首先作一番深入的考查，善于發(fā)現(xiàn)題目所要求的目標(biāo)核心，充分挖掘數(shù)學(xué)問(wèn)題中潛在的特殊性和簡(jiǎn)單性，盡力打破常規(guī)，盡量簡(jiǎn)化或避免不必要的討論，從而提高解題速度.