牛亞群

太原學(xué)院基礎(chǔ)部(太原 030032)

基于分形的自然景物模擬及仿真

牛亞群

太原學(xué)院基礎(chǔ)部(太原 030032)

介紹了分形理論的發(fā)展過程，闡述了迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)的基本原理。利用IFS隨機迭代算法，采用Matlab軟件仿真，較好的模擬了自然景物，驗證了分形幾何理論。

分形理論；迭代函數(shù)系統(tǒng)；Matlab軟件仿真；自然景物模擬

分形理論是一種數(shù)學(xué)抽象，是自然界和社會的生活生產(chǎn)過程中的不完全規(guī)則事物高度概括。20世紀(jì)70年代，分形理論被首次提出，隨著周邊學(xué)科如計算機技術(shù)、網(wǎng)絡(luò)技術(shù)、計算機圖形學(xué)的成熟，已經(jīng)成為一門重要的新學(xué)科，在很多應(yīng)用領(lǐng)域得到很好的驗證和推廣，成為當(dāng)今國際上許多學(xué)科的前沿研究課題之一。

分形理論在很多的基礎(chǔ)學(xué)科和交叉學(xué)科領(lǐng)域有了很重大的突破，對促進整體科學(xué)技術(shù)的推進和發(fā)展，促進學(xué)科融合起著重要的作用。

隨著計算機軟硬件技術(shù)的提升，分形理論很好的應(yīng)用到了計算機對現(xiàn)實世界的模擬，尤其在不規(guī)則事物模擬上有了很大的突破。過去很多受到計算機內(nèi)存、CPU和顯卡條件限制的分形理論實驗隨著計算機軟硬件設(shè)備的不斷攀登和發(fā)展均得到了長足進展。因此，本文以自然景物模擬為切入點，開展分形理論的實驗研究。

1 分形理論

1975年，美籍法國數(shù)學(xué)家Mandelbrot最先創(chuàng)用了分形理論。他通過這個詞來描述一大類復(fù)雜不規(guī)則的幾何對象。分形(fractal)一詞源于拉丁文fractus，本意是指“破碎的”、“產(chǎn)生不規(guī)則碎片”、“分?jǐn)?shù)”等。分形理論目前還沒有嚴(yán)格的數(shù)學(xué)定義，只能給出描述性的概念。粗略的說，分形是沒有明確特征標(biāo)度大自然本身描繪的曲線，其自相似性是統(tǒng)計數(shù)據(jù)抽象得來，并且，自相似性只存在于“無標(biāo)度區(qū)間”[1]。

1904年，VonKoch通過初等方法構(gòu)造了Von Koch曲線。該曲線的性質(zhì)的最主要特征是處處不可微，該曲線是第一個發(fā)現(xiàn)的人為構(gòu)造的局部與整體相似結(jié)構(gòu)的曲線[2]。

得到Von Koch曲線的步驟如下：

設(shè)B0是平面A上的單位線段，將B0三等分。利用中間的1/3線段做出正三角形，新生成其他兩個邊。此時得到一個由4個長度為1/3的邊所組成的連續(xù)折線，稱此折線為B1，并稱B1是由B0繁衍生成的.

分別對B1的每一條邊都進行步驟1定義的規(guī)則變化，變化完成后可以得到由42個長度為1/32的邊組成的連續(xù)折線，記其為B2。

按照規(guī)則逐次迭代，可以從折線序列B0,B1,B2,...,Bn,得到有限精度的極限曲線，即為Von Koch曲線。

如下圖1所示即為Von Koch曲線的迭代過程。

圖1 逐步迭代的Von Koch曲線

2 線性IFS隨機迭代算法

迭代函數(shù)系統(tǒng)又稱為線性迭代表達式，函數(shù)系統(tǒng)中的每個迭代函數(shù)表達式都是線性的。在線性迭代函數(shù)的迭代中，采用如下的迭代算法：

(1)設(shè)定一個起始點(x0，y0)及總的迭代步數(shù);

(2)以概率pk(k=1,2,3,…,N)選取仿射變換Wk,Wk形式為:

(3)以Wk作用點(x0,y0),得到新坐標(biāo)(x1,y1);

(5)在屏幕上打出(x0,y0);

(6)重返第(2)步,進行下一次的迭代,直到迭代次數(shù)大于總步數(shù)為止.

在迭代算法中,Wk(k=1,2,3,…,N)是一組收縮仿射變換,式(2)稱為線性IFS迭代表達式.

3 基于MATLAB的自然景物中樹的模擬

由于分形幾何的特點，使其理論在自然景物的模擬方面具有很好的模擬效果。云、山、水、樹等自然景物通過計算機程序能夠較好的模擬，見圖2所示。

圖2 樹的模擬

通過對自然景物模擬問題算法的分析和求解,利用MATLAB矩陣工具中的模型語言算法去解決自然景物模擬過程中中的模擬和收斂問題[3]。MATLAB矩陣工具作為通用計算和模型求解的的良好平臺，有著強大的數(shù)學(xué)計算能力和豐富的編程接口，對自然景物模擬求解問題有著很好的解決手段，對分形理論的應(yīng)用和改進有著重要的科學(xué)價值。因此，MATLAB工具已經(jīng)在分形理論自然物仿真模擬領(lǐng)域中選擇為標(biāo)準(zhǔn)的問題求解軟件工具之一。

MATLAB是強大的矩陣工具，在自然景物模擬領(lǐng)域中的問題求解中有著廣泛的應(yīng)用，其特點是對復(fù)雜的模型問題可以很好的分解、輸入、分析和求解，程序執(zhí)行速度快。MATLAB矩陣生成器提供了模型庫，用戶只需要很好的建立問題模型的相關(guān)數(shù)值和約束條件，利用此工具的演算，就可以得到問題的最優(yōu)解。開發(fā)者只需通過建立的約束或目標(biāo)函數(shù)，鍵入相應(yīng)的數(shù)值，就可以對問題進行求解。MATLAB矩陣工具作為通用計算和線性求解的的基礎(chǔ)平臺，工具有著強大的數(shù)學(xué)計算能力和豐富的編程接口，還提供了科學(xué)算法的開發(fā)語言-M語言。掌握MATLAB矩陣工具，使用其中的M語言是可以使較大規(guī)模問題的輸入過程和求解過程得到簡化[4]。

利用MATLAB進行模型算法的優(yōu)化設(shè)計可以很好的對自然景物模擬問題進行求解。優(yōu)化求解的過程，計算方法簡單,避免了人工輸入大量的變量和約束條件,降低了時間復(fù)雜度，從而大大提高計算的準(zhǔn)確性和程序執(zhí)行速度[5]。

模擬初始數(shù)據(jù)如表1所示。

由此可見，利用Matlab對自然景物進行編程和分形模擬，具有一些優(yōu)勢。其條件設(shè)置簡單、容易實現(xiàn)，而且，在相同硬件設(shè)置條件下比其他的程序語言具有更好的收斂速度和更快的生成速度.

表1 模擬初始數(shù)據(jù)

4 結(jié)語

采用計算機技術(shù)對自然景物進行建模與仿真，可以在人類的生產(chǎn)生活中提供很多的便利，為物質(zhì)財富的增加和精神世界的豐富提供了更多的實現(xiàn)手段。對自然景觀進行模擬，可以促進一部分傳統(tǒng)產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，特別是在互聯(lián)網(wǎng)服務(wù)提供商、醫(yī)療、旅游、教育和學(xué)習(xí)領(lǐng)域，自然景物模擬都能發(fā)揮重要的作用。因此，在基于分形的自然景物模擬和仿真在研究領(lǐng)域具有深入挖掘的價值。

通過分形理論相關(guān)文獻的研究和對迭代函數(shù)系統(tǒng)(IFS)的基本原理的闡述解讀，采用IFS隨機迭代算法，利用Matlab軟件進行編程和仿真,較好的模擬了自然景物中樹的構(gòu)造和圖像圖形，驗證了分形幾何理論，具有一定的實用價值。

[1]李彤,夏張莉,宿偉玲.求解丟番圖方程的模擬植物生長算法[J].中國管理科學(xué).2012,(S1).

[2]唐衛(wèi)東,李金忠,劉昌鑫,胡雪華,李萍萍,盧章平.虛擬植物模型及其構(gòu)建方法研究綜述[J].計算機應(yīng)用研究.2012,(09).

[3]劉穎,羅岱,黃心淵.基于OSG的Speedtree植物模型繪制研究[J].計算機工程與設(shè)計.2012,(06).

(責(zé)任編輯：文婷)

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10.19469/j.cnki.1003-3319.2016.04.0013