高建成

摘 要：從一位農(nóng)村學(xué)生觀察到蔬菜栽植問(wèn)題開(kāi)始，到全體學(xué)生對(duì)蔬菜栽植方式進(jìn)行建模、解模、用模的探究，師生很好地經(jīng)歷了一次用數(shù)學(xué)解決農(nóng)業(yè)問(wèn)題的拓展過(guò)程.農(nóng)村數(shù)學(xué)拓展性課程實(shí)施就是要將“農(nóng)村性”和“數(shù)學(xué)性”有機(jī)地結(jié)合起來(lái).

關(guān)鍵詞：拓展性課程；農(nóng)村性；數(shù)學(xué)性

一、 來(lái)自農(nóng)村學(xué)生的問(wèn)題

農(nóng)村學(xué)校的學(xué)生，放學(xué)后、節(jié)假日總會(huì)幫助父母做一些農(nóng)活，挖挖地、拔拔草、種種菜等等.有一天，一位細(xì)心的學(xué)生來(lái)問(wèn)筆者：我在田地里種菜時(shí)發(fā)現(xiàn)，村子里的大伯、大媽在種菜時(shí)，經(jīng)常會(huì)有這樣兩種種植方式（如圖1）.為什么大多會(huì)出現(xiàn)這兩種方式呢？這兩種方式中誰(shuí)又好一些呢？

筆者看了看他畫(huà)的圖，想了想，一時(shí)也不能回答.但還是首先肯定了這位學(xué)生對(duì)蔬菜栽植方式進(jìn)行抽象、分析的合理性.接著說(shuō)，能不能在蔬菜田地里多拍些照片，以便于我們研究得更全面，更合理？能不能再深入調(diào)查一下，農(nóng)民選擇用這兩種種植方式，究竟是有意識(shí)的，還是無(wú)意識(shí)？目的是什么呢？這時(shí)，班里有幾個(gè)學(xué)生湊了過(guò)來(lái)，有的說(shuō)是為了美觀，有的說(shuō)是農(nóng)民各自的習(xí)慣，有的說(shuō)是讓菜長(zhǎng)得更大些，還有的說(shuō)為了盡可能大地利用土地……一石激起千層浪，農(nóng)村學(xué)生的話匣子打開(kāi)了，精氣神來(lái)了.

看見(jiàn)學(xué)生來(lái)勁了，又一時(shí)沒(méi)有結(jié)果，筆者順勢(shì)說(shuō)：“今天這位同學(xué)的問(wèn)題，就是農(nóng)業(yè)給數(shù)學(xué)提出的一個(gè)問(wèn)題——比較兩種蔬菜的種植方式，哪種更好？為什么？請(qǐng)同學(xué)們回去后先進(jìn)行田間調(diào)查，再問(wèn)一問(wèn)父母、左鄰右舍，兩個(gè)星期后，我們大家一起來(lái)進(jìn)行分析、歸納、總結(jié)，給出一個(gè)合理的解釋.”

二、對(duì)蔬菜種植方式的探究

兩個(gè)星期后的課堂上，學(xué)生分別展示了自己在田間拍攝的照片，分組進(jìn)行了討論、交流，最后請(qǐng)學(xué)生進(jìn)行了展示.

生1：我們調(diào)查發(fā)現(xiàn)，父母在栽培農(nóng)作物時(shí)，為了充分利用土地，同時(shí)既要根據(jù)歷年來(lái)作物的生長(zhǎng)情況恰當(dāng)安排種植密度，又要選取合適的栽植方式，歸納起來(lái)，在種蔬菜時(shí)，有如下栽植法，我況且稱為菱形法（圖2）和正方形法（圖3）.

圖2中，A、B、C、D四株順次連接成一個(gè)使BD=AB的菱形；圖3中A1、B1、C1、D1四株順次連接成一個(gè)正方形.這兩者在株距相同的條件下，究竟哪種栽植法好呢？要判斷哪種種植方法好，就要看看哪種方法能充分利用土地.

師：生1分析、抽象得精當(dāng)、簡(jiǎn)練，她從那么復(fù)雜的種植圖形中抽象出了基本圖形——菱形與正方形，并給出了種植方式好與不好的標(biāo)準(zhǔn)——就是能否充分利用有限的土地.大家有沒(méi)有要補(bǔ)充的？

生2：我非常認(rèn)同生1這種調(diào)查結(jié)果，針對(duì)她畫(huà)的圖，在這里還要補(bǔ)充兩個(gè)與農(nóng)業(yè)有關(guān)的概念，一個(gè)是行距，一個(gè)是株距.所謂行距是農(nóng)作物栽成一行行時(shí)，行與行的距離；株距是指行內(nèi)或行間每一株之間的距離，比如B與D之間、A與B之間、A1與 D1之間等等的距離.

生1：生2補(bǔ)充得很好，在株、行距相同的情況下，我的做法就是要看看哪種方法能充分利用土地.也就是要看兩種栽植中作物所占的土地面積大.

因?yàn)锳B=BD，則△ABD為正三角形，于是菱形ABCD的面積為：

即圖1中菱形ABCD的面積，相當(dāng)于圖2中正方形A1B1C1D1面積的86.6%.這樣看，顯然菱形的種植方式占地少，土地的種用率要高.

師：生1同學(xué)直接計(jì)算出兩種種植方式所占面積大小，比較土地利用率的高低，得出了結(jié)論，給出了一個(gè)很好的解釋.還有沒(méi)有其他的解釋？

生3：受生1啟發(fā)，我認(rèn)為只要從行距就可以比較出兩種種植方式的土地利用率大小.

從它們的行距來(lái)看，圖2中菱形種植法的行距為（注：它們的株距都相等）：AO=■AB=■A1B1≈0.866A1B1；圖3中正方形種植法的行距為A1B1，顯然有A1B1-AO=0.134A1B1.即圖2中的菱形種植法較圖3中的正方形種植法每行小0.134倍，亦即圖3中正方形種植7行的距離，按圖2中菱形種植法可種8行，顯然，菱形的種植法土地利用率高.

師：生3從行距這一角度又給出了一個(gè)直觀又接地氣的回答，還有其他的解釋嗎？

生4：我是用間接的方式算出，菱形種植法好，土地的空置少的，相應(yīng)的土地利用率就高.

我是這樣看的：從菜生長(zhǎng)以后的空隙面積來(lái)看，由于菜生長(zhǎng)以后，它們的葉子把一棵的周?chē)鷩梢唤茍A形.

即用菱形種植法，四株菜形成圖4的形狀，其中⊙A、⊙B、⊙D均兩兩外切，⊙B、⊙C、⊙D均兩兩外切；用正方形種植法，則四株菜形成圖5的形狀，其中以每相鄰兩頂點(diǎn)為圓心的圓外切.圖4、圖5中陰影部分的面積是菜長(zhǎng)大后的空隙面積，由于它們的株距相等，所以這些圓的半徑也相等.

設(shè)它們的半徑為R，則AB=BD=B1C1=2R.從圖4中可以看出：從菱形ABCD的面積中減去一個(gè)圓的面積，恰等于空隙地（陰影部分）的面積；而菱形ABCD的面積

在圖5中，從正方形面積中減去一個(gè)圓的面積，恰等于空隙地的面積（陰影部分），即（2R）2-πR2=4R2-πR2=（4-π）R2.

即在圖5正方形種植法中，空隙地的面積相當(dāng)于圖4菱形種植法的兩倍多.顯然，正方形的空地多，這樣土地的利用率不高；這也就間接證明了菱形種植法的土地利用率高.

師：生4從空隙地的角度，也得出了正方形種植法空地多，菱形種植法空地少，土地利用率高的結(jié)論，這種思考問(wèn)題的方法在數(shù)學(xué)上就是間接法，今天在這里得到了很好的運(yùn)用.大家還有沒(méi)有其他解釋？

（停一會(huì)兒，學(xué)生沒(méi)再發(fā)言，教師繼續(xù)總結(jié)）大家從數(shù)學(xué)的角度對(duì)蔬菜栽植方式進(jìn)行了抽象，模擬、運(yùn)算，最后得出結(jié)論：菱形種植法比正方形種植法的栽法要好，原因是：在株距相等的條件下，菱形種植法空地少，能充分利用土地，挖掘增產(chǎn)潛力.你們可以將這一結(jié)論告訴父母，讓他們有意識(shí)地利用菱形種植法，充分利用土地，獲得最大產(chǎn)量.

但同學(xué)們也要知道，在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中，農(nóng)作物要獲得最大產(chǎn)量，除了土地利用率要高的同時(shí)，還要綜合考慮陽(yáng)光、肥力、空氣等因素的影響.也就是說(shuō)，我們用數(shù)學(xué)模型解決農(nóng)業(yè)問(wèn)題的時(shí)候，要考慮到農(nóng)業(yè)的實(shí)際.

其實(shí)，在我們生活的農(nóng)村，數(shù)學(xué)有很大的用武之地，我們要像本次探討一樣，用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法去解決農(nóng)業(yè)中的問(wèn)題，拓展數(shù)學(xué)視野.

三、對(duì)農(nóng)村學(xué)校開(kāi)展數(shù)學(xué)拓展性課程的啟示

2015年浙江省教育廳在《關(guān)于深化義務(wù)教育課程改革的指導(dǎo)意見(jiàn)》中指出，拓展性課程是指學(xué)校提供給學(xué)生自主選擇的學(xué)習(xí)內(nèi)容，同時(shí)明確要求，各地和學(xué)校要積極探索拓展課程的開(kāi)發(fā)、實(shí)施、評(píng)價(jià)和共享機(jī)制，體現(xiàn)地域和學(xué)校特色，突破拓展性課程的興趣性、活動(dòng)性、層次性和選擇性，滿足學(xué)生的個(gè)性化學(xué)習(xí)需求，初中數(shù)學(xué)拓展性課程肩負(fù)著實(shí)現(xiàn)素質(zhì)教育的責(zé)任和義務(wù)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)向數(shù)學(xué)教育轉(zhuǎn)變的重要途徑之一[1].

但農(nóng)村學(xué)校數(shù)學(xué)教師對(duì)“數(shù)學(xué)拓展課程”認(rèn)識(shí)上還存在很大的偏差和誤解.例如“數(shù)學(xué)拓展課程”目的是加大學(xué)生解題訓(xùn)練，提高中考分?jǐn)?shù)；“數(shù)學(xué)拓展課程”是專為數(shù)學(xué)的優(yōu)秀生而開(kāi)發(fā)出來(lái)，提高他們的競(jìng)賽成績(jī)；“數(shù)學(xué)拓展課程”拓展的內(nèi)容不僅在中考范圍內(nèi)，還要超過(guò)新課標(biāo)；數(shù)學(xué)拓展課程就是“難題+趣題”等等.出現(xiàn)這些偏差和誤解的原因，是農(nóng)村教師未能很好地領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)拓展性課程的精神實(shí)質(zhì)，未能深入地了解農(nóng)村實(shí)際，未能很好地找到“農(nóng)村”與“數(shù)學(xué)”的有機(jī)結(jié)合點(diǎn).本次對(duì)蔬菜栽植方式的探究為農(nóng)村學(xué)校開(kāi)展數(shù)學(xué)拓展性課程提供了一個(gè)思路和方向.

筆者認(rèn)為，農(nóng)村學(xué)校的數(shù)學(xué)拓展性課程就要體現(xiàn)“農(nóng)村性”和“數(shù)學(xué)性”這兩點(diǎn).“農(nóng)村性”就要引導(dǎo)學(xué)生從自己生活的農(nóng)村生活中，從父母農(nóng)業(yè)生產(chǎn)活動(dòng)中去發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、思考問(wèn)題、解決問(wèn)題，這才是農(nóng)村學(xué)校拓展性課程的源頭活水，才能激發(fā)農(nóng)村學(xué)生的探究興趣.例如本次對(duì)蔬菜種植方式的探究，就來(lái)自于學(xué)生的農(nóng)村生活和田間觀察，學(xué)生感覺(jué)到拓展充滿樂(lè)趣，拓展的成功又讓學(xué)生自信滿滿.其實(shí)，細(xì)心觀察一下，農(nóng)村中這樣的問(wèn)題還很多，例如：谷倉(cāng)設(shè)計(jì)問(wèn)題；種子發(fā)芽率問(wèn)題；水資源利用問(wèn)題；家畜的估重問(wèn)題；干旱對(duì)小麥的株數(shù)、穗數(shù)、粒數(shù)影響的估算問(wèn)題；農(nóng)產(chǎn)品包裝盒的設(shè)計(jì)問(wèn)題等.這些農(nóng)村問(wèn)題對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)鮮活而有意義，是農(nóng)村學(xué)校很好的拓展性課程內(nèi)容.這種立足于農(nóng)村、自然生發(fā)出的數(shù)學(xué)問(wèn)題，追根溯源，培養(yǎng)學(xué)生勇于質(zhì)疑、探究的理性精神；也讓學(xué)生通過(guò)田間勞作，學(xué)會(huì)思考，領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法.

“數(shù)學(xué)性”就是農(nóng)村學(xué)校的數(shù)學(xué)拓展性課程中要有“數(shù)學(xué)味”，要能很好地利用數(shù)學(xué)的知識(shí)、方法、思想來(lái)思考或解決農(nóng)村生活中的問(wèn)題.本次對(duì)蔬菜種植方式的探究，實(shí)際上是一個(gè)建立數(shù)學(xué)模型（將蔬菜種植方式抽象成菱形與正方形），解這個(gè)模型（計(jì)算菱形和正方形面積或空隙地的面積），應(yīng)用這個(gè)模型（推廣菱形種植法）的過(guò)程，在這個(gè)過(guò)程中又很好地用到了兩種數(shù)學(xué)方法——直接法與間接法.其實(shí)，數(shù)學(xué)拓展性課程就是要在活動(dòng)中體現(xiàn)出抽象化、符號(hào)化的過(guò)程，脫離學(xué)生實(shí)際的抽象化、符號(hào)化就會(huì)讓學(xué)生難以理解與深入.因此，在拓展性課程中，強(qiáng)調(diào)學(xué)習(xí)者的現(xiàn)實(shí)生活世界，強(qiáng)調(diào)真實(shí)的學(xué)習(xí)情境，從生活實(shí)際出發(fā)來(lái)引入數(shù)學(xué)，隱含的一個(gè)原理就是在大量的生活經(jīng)驗(yàn)的支持下，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)會(huì)更具體、更真實(shí)、更容易理解.主體認(rèn)知受制于現(xiàn)實(shí)真實(shí)[2].沒(méi)有現(xiàn)實(shí)、真實(shí)的支撐，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)就變得非常機(jī)械、死板和教條，這也是長(zhǎng)期以來(lái)我國(guó)農(nóng)村數(shù)學(xué)課程中存在的問(wèn)題：農(nóng)村數(shù)學(xué)課程脫離農(nóng)村生活實(shí)際，與農(nóng)村現(xiàn)實(shí)生活的關(guān)系不密切，學(xué)生理解時(shí)缺乏生活經(jīng)驗(yàn)的支持，導(dǎo)致農(nóng)村學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難，失去數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣，造成許多農(nóng)村學(xué)生最終放棄數(shù)學(xué)學(xué)習(xí).

數(shù)學(xué)拓展課程作為基礎(chǔ)教育的補(bǔ)充，在發(fā)展和完善人中，在形成人們認(rèn)識(shí)世界的態(tài)度和方法上，在滿足差異化、個(gè)性化的發(fā)展中起著重要的作用.學(xué)生因?yàn)檎n程而生發(fā)，教師因課程的開(kāi)設(shè)而成長(zhǎng)，開(kāi)設(shè)拓展性課程也是開(kāi)創(chuàng)我們的未來(lái).

參考文獻(xiàn)：

[1]義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書(shū)數(shù)學(xué)（七年級(jí)上冊(cè)）[M].北京：人民教育出版社，2012：23.

[2]涂榮豹，等.新編數(shù)學(xué)教學(xué)論[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2006：65.