安徽省靈璧黃灣中學(xué)　華　峰

例析帶電體的圓周運動問題

安徽省靈璧黃灣中學(xué)華峰

圓周運動是高中物理中的重要內(nèi)容，對同學(xué)們來說屬于有一定難度的知識，若將圓周運動與帶電物體結(jié)合起來，對同學(xué)們來說難度更大。為了幫助同學(xué)們解難釋疑，下面舉例分析此類問題。

例1兩個粒子帶電量相等，在同一勻強磁場中只受洛倫茲力的作用而做勻速圓周運動，則（）。

A.若速率相等，則半徑必相等 B.若質(zhì)量相等，則周期必相等

C.若動量相等，則半徑必相等 D.若動能相等，則周期必相等

例2如圖1所示，質(zhì)量均為m、形狀完全相同的小球A、B置于光滑絕緣的水平面上，光滑水平面接光滑絕緣的圓弧面。B球帶電量為-q，在半圓面內(nèi)存在著豎直向下的勻強電場E。小球A不帶電且絕緣，以某一初速度v0沿水平向右的方向與靜止的B球發(fā)生無機械能損失的碰撞（小球B靜止在勻強電場外），已知圓弧的半徑為R。求：

（1）若mg＞qE，碰后小球B恰能通過圓弧，初速度v0為多少？

（2）若mg＜qE，碰后小球B恰能通過圓弧，初速度v0為多少？

解析A、B小球碰撞，由動量守恒得mv0=mvA+mvB，

圖1

聯(lián)立以上兩式可解得vA=0，vB=v0。

例3在水平方向上的勻強電場中，一不可伸長的不導(dǎo)電細(xì)線的一端連著一個質(zhì)量為m的帶電小球，另一端固定于O點，把小球拉至A點（細(xì)線水平），然后無初速度釋放。已知小球只能擺到最低點的另一側(cè)C點，此時線與豎直方向的夾角為θ，如圖2所示。求小球經(jīng)過最低點B時細(xì)線對小球拉力的大小。

解析對帶電小球從開始釋放到擺到C點的全過程運用動能定理，有mglcosθ-qEl（1+sinθ）=0-0；

圖2

在最低點，根據(jù)牛頓第二定律，繩的拉力與小球重力的合力作為小球做圓周運動的向心力，有。

例4如圖3所示，在光滑絕緣水平桌面上，固定放置一條光滑絕緣的擋板ABCD，AB段為直線，BCD段是半徑為R的圓弧，擋板處于場強為E的勻強電場中，電場方向與圓直徑MN平行?，F(xiàn)使一帶電量為+q、質(zhì)量為m的小球由靜止從斜擋板內(nèi)側(cè)上某點釋放，為使小球沿?fù)醢鍍?nèi)側(cè)運動并從D點拋出，求：

（1）小球從釋放點到N點沿電場方向的最小距離s。

（2）在（1）問中，小球經(jīng)過N點時對擋板的壓力FN大小。

圖3

解析（1）小球做勻加速直線運動，由B點進(jìn)入圓軌道，若恰能做圓周運動，則小球在M點的速度最小，此時，電場力提供向心力，即；再由動能定理得。由以上兩式可解得。

由牛頓第三定律可知，小球?qū)醢宓膲毫N大小為6qE。

例5在豎直平面內(nèi)有一水平向右的勻強電場，帶正電的小球質(zhì)量為m，其所受電場力等于重力。用輕繩系住小球，小球位于最低點A，若給小球一水平向右的初速度v0，要使小球能夠完成豎直平面內(nèi)的圓周運動，求：

（1）繩的最大長度。

（2）小球運動中相應(yīng)的最大速率。

圖4

從圖4中可以看出，球的“最低點”與“最高點”分別是圖中的B點、C點，于是根據(jù)能量關(guān)系，

在“最高點”C處，向心力由等效重力提供（輕繩模型），則有。

例6一條長為L的細(xì)繩上端固定在O點，下端系一個質(zhì)量為m的帶電小球，將它置于一個很大的勻強電場中，電場強度為E，方向水平向右，已知小球在B點時平衡，細(xì)繩與豎直方向的夾角為θ，如圖5所示。當(dāng)細(xì)繩與豎直方向成θ角時，至少要給小球一個多大的沖量，才能使小球在豎直平面內(nèi)做圓周運動？

圖5

解析小球在重力場中豎直平面內(nèi)恰好做圓周運動時，在最高點的臨界速度vmin可由求得，

帶電小球在復(fù)合場中運動，受到向下的重力，向右的電場力，如圖5所示。其合力即等效場力為，則等效重力加速度為。

繩系小球在復(fù)合場中做圓周運動的臨界條件與在單一重力場中類似，只不過其等效最高點為D，最低點為B，等效重力加速度為，如圖6所示。

圖6

對帶電小球從B運動到D應(yīng)用動能定理，

例7在豎直平面內(nèi)有水平向右、場強為E=1×104N/C的勻強電場，在勻強電場中有一根長L=2 m的絕緣細(xì)線，一端固定在O點，另一端系一質(zhì)量為0.04 kg的帶電小球。靜止時懸線與豎直方向成37°角，如圖7所示。若小球恰能繞O點在豎直平面內(nèi)做圓周運動，求：

（1）小球的帶電量q。

（2）小球動能的最小值。

（3）小球機械能的最小值。（取小球在靜止時的位置為重力勢能零點，cos37°=0.8，g=10 m/s2）

圖7

（3）小球由B點運動到圓的最左端C點，電場力做負(fù)功，小球在C點電勢能最大。由能量守恒可判斷，小球在C點機械能最小。小球在B點的機械能為：

EB=Ek+mg·2Lcos37°=0.5 J+0.04×10×2×2×0.8 J=1.78 J。

小球在C點的機械能最小值為：EC=EB-qE（L-Lsin37°）=1.78 J-3×10-5×1×104×（2-2×0.6）J= 1.54 J。

求解此類問題，首先應(yīng)確定物體的平衡位置，物體恰能做圓周運動的最小速度所對應(yīng)的向心力由非接觸力的合力提供，其最小速度的位置與平衡位置關(guān)于圓心對稱。

例8如圖8所示，在x＜0與x＞0的區(qū)域中，存在磁感應(yīng)強度大小分別為B1和B2的勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，且B1＞B2。一個帶負(fù)電荷的粒子從坐標(biāo)原點O處以速度v沿x軸負(fù)方向射出，要使該粒子經(jīng)過一段時間后又經(jīng)過O點，B1與B2的比值應(yīng)滿足什么條件？

圖8

解析粒子在整個運動過程中的速度大小恒為v，交替地在xOy平面內(nèi)B1和B2磁場區(qū)域中做勻速圓周運動，軌道都是半個圓周。

設(shè)粒子的質(zhì)量與電荷量的大小分別為m與q，在兩磁場中做圓周運動的半徑分別為r1和r2，則有

現(xiàn)分析粒子的運動軌跡，如圖9所示。在xOy平面內(nèi)，粒子先沿半徑為r1的半圓C1運動至y軸上方離O點距離為2r1的A點，接著沿半徑為r2的半圓D1運動至y軸上的O1點，OO1的距離d=2（r2-r1）③。

此后粒子每經(jīng)歷一次“回旋”（即從y軸出發(fā)沿半徑為r1的半圓和半徑為r2的半圓回到原點下方的y軸），粒子的y坐標(biāo)就減小d。

設(shè)粒子經(jīng)過n次回旋后與y軸交于On點，若OOn，即nd滿足

圖9

nd=2r1④，

則粒子再經(jīng)過半圓Cn+1就能夠經(jīng)過原點，式中n=1，2，3，…為回旋次數(shù)。

聯(lián)立①、②、⑤式可解得B1、B2應(yīng)滿足的條件為（n=1，2，3，…）。