●洪昌強 陳淑麗

(臺州市第一中學(xué) 浙江臺州 318000)

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回眸浙江近5年高考理科函數(shù)綜合題*

●洪昌強 陳淑麗

(臺州市第一中學(xué) 浙江臺州 318000)

函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)的核心內(nèi)容，貫穿于整個數(shù)學(xué)，函數(shù)綜合題更能檢測各種數(shù)學(xué)素養(yǎng)和數(shù)學(xué)能力，因此,函數(shù)綜合題成了高考命題的重頭戲.回眸浙江省近5年數(shù)學(xué)高考理科函數(shù)綜合題，重點考查推理論證能力、運算求解能力和數(shù)形結(jié)合思想.

函數(shù)綜合題；推理論證;運算求解；函數(shù)圖像

1 試題特征

縱觀浙江省近5年數(shù)學(xué)高考理科函數(shù)綜合題，函數(shù)類型可歸結(jié)為f(x)=ax3+bx2+cx+d，函數(shù)表達式中含有1個或2個參變量，所研究的問題主要有：求閉區(qū)間上的最值或與最值有關(guān)的不等式證明；函數(shù)值限制在一個閉區(qū)間的條件下，求形如z=am+bn的取值范圍,其中a,b是參數(shù).試題注重主干知識的考查，涉及導(dǎo)數(shù)、單調(diào)性、最值、絕對值、不等式、線性規(guī)劃等基礎(chǔ)知識，思想方法有數(shù)形結(jié)合、分類討論、方程思想、化歸思想.試題通過在知識網(wǎng)絡(luò)交匯點設(shè)計問題,既堅持立足考通性、通法，又將知識和能力融為一體.前3年安排在試卷的最后一道，每題分值為14分；后2年調(diào)整到解答題中間位置，分值為15分.

2 能力立意

浙江省近5年高考函數(shù)綜合題所給的函數(shù)式蘊涵著豐富的創(chuàng)新素材，函數(shù)不僅均含有1～2個參數(shù)，而且涉及絕對值符號的處理，將函數(shù)處于動態(tài)之中，推理論證和數(shù)學(xué)運算、直觀想象達到深度融合，做到高考對推理論證能力、運算求解能力、幾何直觀與想象能力、綜合分析問題和解決問題能力與創(chuàng)新意識的考查落到實處.

2.1 推理論證能力

2.1.1 合情推理

(1)

的正負(fù)值，大部分學(xué)生到此做不下去了.若取a=0，不難發(fā)現(xiàn)

式(1)是含有a的因式，通過分子有理化得

又如2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第18題的第2)小題可以從以下2個方向思考:

思路1 從特殊點入手.因為M(a,b)≤2，所以

|f(-1)|≤2且|f(1)|≤2，

即

-3≤-a+b≤1, -3≤a+b≤1.

從而

|a|+|b|≤3.

下面只需驗證當(dāng)|a|+|b|=3時，能達到就行.

思路2 從局部入手，取其特殊部分.當(dāng)-2≤a≤0且b<0時，由M(a,b)≤2得

從高考答題情況來看，考生對合情推理掌握得不夠好，新課程下的高考更關(guān)注合情推理的考查.

2.1.2 演繹推理

數(shù)學(xué)是演繹性科學(xué)，數(shù)學(xué)結(jié)論的正確性必須證明，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)思維的特征，強調(diào)數(shù)學(xué)的科學(xué)性、嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性.高考對演繹推理的考查在函數(shù)綜合題中顯得十分突出，演繹推理常用的方法有分析法、綜合法、反證法等.如2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第18題的第1)小題中要證M(a,b)≥2,先看|f(x)|在何處達到最大值:當(dāng)|a|≥2時,|f(x)|在[-1，1]上是單調(diào)的，因此，M(a,b)必是|f(1)|或|f(-1)|.下面只需證|f(1)|和|f(-1)|的最大者不大于2就行.

思路1 分以下4種情形討論:1)a≥2且b≥-1;2)a≥2且b<-1；3)a≤-2且b≥-1;4)a≤-2且b<-1.

思路2 先平方后作差,再分類討論,達到化整為零的效果.

思路3 從整體考慮，因為

|f(1)|+|f(-1)|≥|f(1)+f(-1)|=2|a|≥4，

所以|f(1)|和|f(-1)|必有一個不小于2，從而M(a,b)≥2.

思路4 若|f(-1)|<2，則

|1+a+b|= |1-a+b+2a|≥

2|a|-|1-a+b|≥2,

即

|f(1)|≥2.

思路5 反證法.

由于各個考生積累的知識和理解能力不同，因此看問題的角度不一樣，對問題理解的深度不一樣，對問題的認(rèn)識廣度不一樣，對問題的情懷強弱不一樣，他們答題的思路也不一樣.此題入口較寬,讓不同的學(xué)生有展示自己思維的空間,獲得更多的成功機會,體現(xiàn)了高考命題尊重學(xué)生、重視個性選擇的新課程理念.這不僅檢測了考生用事實、實證、邏輯、推理和論證進行思維的能力，更是對學(xué)生綜合分析與理解能力的考查.

2.2 運算求解能力

運算能力是數(shù)學(xué)的基本能力，學(xué)好數(shù)學(xué)首先要學(xué)會算，運算能力直接影響其他能力的形成，運算能力在高考中有著舉足輕重的作用.代數(shù)式變換是解決函數(shù)問題的基石,通過有針對性的變換,使隱含在式子中的數(shù)量關(guān)系或圖形結(jié)構(gòu)關(guān)系為更明朗、更自然、更親近，進一步縮短條件與結(jié)論的邏輯距離.代數(shù)式常用的變換方式有：拆分、組合、換元、消元、估算.

2.2.1 拆分與組合

一個“好”的式子，能為解題提供有價值的信息.怎樣讓式子成為“好”式？需要解題者對式中變量的次數(shù)、各項系數(shù)以及整體結(jié)構(gòu)進行觀察和分析，尋找它們之間的內(nèi)在關(guān)系，抓住特征，根據(jù)需求進行拆分和重新組合，讓式子各項之間配合默契，達到整體和諧.如2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第18題，在確定F(x)時，對a≥3且x<1需要判斷x2-2ax+4a+2x-4的符號，這是本題關(guān)鍵的一步,也是解決此題的一道關(guān)卡.平常對二次型多項式的符號研究,往往是進行配方或因式分解變換.對各項采取不同的組合方式，常會產(chǎn)生不同的解題效果,如：

x2-2ax+4a+2x-4=(x+1)2+4a-2ax-5>0,或x2-2ax+4a+2x-4=(x-2)(x+4-2a)+4>0. 觀察力較強的考生,打破思維定勢,發(fā)現(xiàn)式中除了第1項x2后的4項恰好可以因式分解,無需對式子進行重新配方，即

x2-2ax+4a+2x-4=x2+(a-1)(4-2x)>0.

考試中也有一些考生把原式變形為：

x2-2ax+4a+2x-4=(x-2)(x-2a+2)+2x,或x2-2ax+4a+2x-4=(x-a+1)2-a2+6a-5.這樣對式子的符號判定帶來較大的麻煩.

一個成功的變換，既從整體上把握，又在局部上深入，透徹分析條件與結(jié)論之間的因果聯(lián)系.發(fā)掘問題本質(zhì)，是良好思維品質(zhì)的重要體現(xiàn),這也是高考重點考查的目標(biāo)之一.

2.2.2 換元

換元的目的是改善“差”的環(huán)境，提高過程與目標(biāo)的吻合度.如2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第22題的第1)小題:

思路 可轉(zhuǎn)化為求f(x)的最小值問題,特別是當(dāng)0

要證

只需證

此式不僅含有根號、分式、絕對值，而且出現(xiàn)的2個字母a,b與學(xué)生所認(rèn)識函數(shù)的自變量“x”存在一定的差異.問題的情境與函數(shù)聯(lián)系較遠，對于函數(shù)思想在新情境中應(yīng)用能力不足的考生，難以想到把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)進行處理.若從整體換元思想出發(fā)，上式可化為

接下去用函數(shù)處理就十分自然,通過整體換元將問題化繁為簡，化生為熟.命題的設(shè)計意圖是考查學(xué)生觀察、分析、判斷以及在實際情境下的知識遷移能力.通過分析式子的特征，結(jié)合求解目標(biāo)，破除思維定勢，重新調(diào)整式子結(jié)構(gòu)，合理選擇新主元，往往達到化繁為簡、化難為易之功效.這不僅考查了考生數(shù)學(xué)思維能力和想象能力，更是對高層次理性思維的檢測.

2.2.3 消元

當(dāng)代數(shù)式中含有多個變元時，常會產(chǎn)生“散”“雜”抓不住“主”的感覺，容易造成對式的變換方向迷失,若進行消元處理,則柳暗花明又一村.常見的消元方法有:代入消元、放縮消元.如2012年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第22題的第2)小題：

思路1 當(dāng)b≤2a時，

f(x)+|2a-b|+a=4ax3-2bx+2a；

當(dāng)b>2a時，

f(x)+|2a-b|+a=4ax3-2bx+2b-2a.

接下去如何證明在[0，1]上4ax3-2bx+2a≥0和4ax3-2bx+2b-2a≥0成立？若直接利用導(dǎo)數(shù)知識證明，不僅會出現(xiàn)重復(fù)運算，而且式子中含有2個字母，計算比較繁瑣，容易出錯.這也是本題得分偏低的主要原因之一.若先比較這2個式子的結(jié)構(gòu)特征，尋求它們之間的聯(lián)系，不難發(fā)現(xiàn)2個式子的各項系數(shù)不僅含有字母a或b且是1次,如何發(fā)揮條件b≤2a(或b>2a)的作用？能否對各式進行消元?當(dāng)b≤2a時，

4ax3-2bx+2a≥2a(2x3-2x+1)；

當(dāng)b>2a時，

4ax3-2bx+2b-2a= 4ax3+2b(1-x)-2a>

2a(2x3-2x+1).

這樣問題轉(zhuǎn)化為只需證明2x3-2x+1≥0,這是命題者的巧妙設(shè)計.放縮消元難度較大,靈活性較強,高考以此檢測考生思維的靈活性、批判性，這是創(chuàng)新性人才必須具有的思維品質(zhì).

2.2.4 估算

浙江省數(shù)學(xué)高考函數(shù)綜合題對運算能力的要求重在思維層次上，讓學(xué)生在“算中悟，在悟中求靈活，在靈活中求精準(zhǔn)”，將運算技能與思維能力交織在一起.從以上分析知，學(xué)生的代數(shù)式變換能力薄弱是導(dǎo)致函數(shù)綜合題得分低的主要原因之一.具體表現(xiàn)在學(xué)生運算求解推理時缺乏自我提問：要變嗎？變什么？怎么變？有無更好的變法？學(xué)會學(xué)習(xí)、學(xué)會提問是新課程所倡導(dǎo)教學(xué)理念，這也是高考對學(xué)生“獨立思考、探索和研究”思維習(xí)慣的檢測.

2.3 幾何直觀想象能力

函數(shù)圖像是函數(shù)的一種表示法.圖像具有直觀性，因此圖形是研究、探索函數(shù)性質(zhì)的常用工具.問題大多時候有其幾何背景，可用幾何意義來進行解釋.利用數(shù)形結(jié)合思想解題，更能支撐思維活動，幫助發(fā)現(xiàn)思路.借圖處理函數(shù)最值問題,關(guān)鍵要做好2步：第1步，構(gòu)建適用的函數(shù)；第2步，捕捉圖像的“穴點”.

2.3.1 構(gòu)建適用函數(shù)

“好”的圖形有助于問題解決，如何得到“好”的圖形，讓圖形的優(yōu)勢在解題中得到充分發(fā)揮.首先要構(gòu)建適用的函數(shù)，是直接選擇原來的函數(shù)還是重新構(gòu)建更好的函數(shù)；構(gòu)建1個還是2個函數(shù)；選哪個函數(shù)為靜態(tài)，哪個函數(shù)處于動態(tài).如2015年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第18題的第1)小題:可以直接作f(x)的圖像，也可以作|f(x)|圖像，還可以將|f(x)|=|x2+ax+b|視為曲線C:y=x2與直線l:y=-ax-b上相同橫坐標(biāo)下的2個點之間的距離.另外，此題得出M(a,b)取|1-a+b|或|1+a+b|后，在比較|1-a+b|和|1+a+b|與2的大小時，可以根據(jù)絕對值的幾何意義，將|1-a+b|和|1+a+b|分別視為數(shù)軸上動點P(1+b)到區(qū)間[-2，2]外點A(a)和A(-a)的距離.由數(shù)轉(zhuǎn)化為形是思維過程一個較大的跨越，而怎樣構(gòu)建合適的函數(shù)，是數(shù)形結(jié)合至關(guān)重要的一步，此時更能檢測考生分析、選擇和判斷的能力.

2.3.2 捕捉圖像“穴點”

揭示隱含在圖形中的數(shù)學(xué)邏輯結(jié)構(gòu)關(guān)系，是數(shù)形結(jié)合的重要環(huán)節(jié).函數(shù)最值常與圖形中界點、切點、極點、定點、交點等有著密切聯(lián)系.因此畫圖時要高度關(guān)注這些“穴點”的相對位置.如2014年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第22題的第1)小題：因為y1=x3+3x-3a的圖像單調(diào)上升,無極點，與y軸的交點為(0，-3a)；y2=x3-3x+3a與y軸的交點為C(0，3a)，極大點為A(-1,2+3a),極小點為B(1,-2+3a),且2個圖像的交點為D(a,a3),所以作f(x)的圖像只需抓住2個極點、2個端點、界點(交點)的位置關(guān)系，并分3種情形：1)a>1；2)-1≤a≤1;3)a<-1，分別作出對應(yīng)的圖像，結(jié)合圖像求出函數(shù)最大值、最小值.又如2016年浙江省數(shù)學(xué)高考理科第18題的第2)小題:只要抓住f(x)圖像中以下“穴點”:A(1,0),B(2,2),C(2a,4a-2),D(a,-a2+4a-2),E(0,2),其他問題就迎刃而解了.

定性引路和定量分析是數(shù)學(xué)思維的基本方式,數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)問題的重要工具.高考重視數(shù)形結(jié)合思想考查，主要是檢測考生對數(shù)學(xué)思想方法的掌握程度.從高考答題情況來看,盡管教師在平時教學(xué)中比較重視數(shù)形結(jié)合思想,但學(xué)生數(shù)形結(jié)合能力還是較弱，值得深思.

3 教學(xué)啟示

由以上分析知,浙江省高考函數(shù)綜合題的推理過程中的每一個重要步驟都需要深度思考，這不僅需要考生有扎實的數(shù)學(xué)基本知識，而且要具有較強的數(shù)學(xué)思維能力和良好的心理素質(zhì).因此在教學(xué)中，首先要求學(xué)生構(gòu)建良好的知識體系,深刻理解概念、定理、公式的來朧去脈.波利亞曾說過：貨源充足和組織良好的知識倉庫是一個解題者的重要資本．其次，掌握數(shù)學(xué)中各種常用的思維方法，如觀察、試驗、歸納、演繹、類比、猜想、分析、綜合等,靈活運用數(shù)學(xué)思想方法. 第三，培養(yǎng)學(xué)生一題多解、一題多變能力,善于總結(jié)分析,積累解題經(jīng)驗，有助于直覺性題感的形成,促進對解題成功的思路和問題的結(jié)果產(chǎn)生預(yù)感、預(yù)測、預(yù)見.

?2016-07-31；

2016-09-13

洪昌強(1963-),男,浙江臺州人,中學(xué)高級教師.研究方向:數(shù)學(xué)教育.

O122

A

1003-6407(2016)11-29-04