黃凱,吳清太

(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,南京210095)

帶有一個(gè)無優(yōu)先權(quán)冷貯備部件的Birolini雙 部件系統(tǒng)可靠性分析

黃凱,吳清太

(南京農(nóng)業(yè)大學(xué)理學(xué)院,南京210095)

研究了兩個(gè)同型主部件組成的Birolini系統(tǒng),并帶有一個(gè)無優(yōu)先權(quán)的冷貯備備用部件組成的三部件可修系統(tǒng).假定部件的壽命服從指數(shù)分布、部件的修理時(shí)間服從一般連續(xù)型分布,通過補(bǔ)充變量法和廣義馬爾可夫過程方法,得到了系統(tǒng)可靠度的Lap lace變換、首次故障前平均時(shí)間、穩(wěn)態(tài)可用度與穩(wěn)態(tài)故障頻度等重要可靠性指標(biāo).

優(yōu)先權(quán);Birolini雙部件系統(tǒng);可靠度;廣義馬爾可夫過程

0 引言

現(xiàn)代機(jī)械設(shè)備越來越復(fù)雜,而且一旦發(fā)生故障所造成的損失以及對(duì)人類安全和環(huán)境的危害變得不再無足輕重,例如醫(yī)院或核電站的發(fā)電機(jī)發(fā)生故障其損失將難以估計(jì).因此人類社會(huì)更加關(guān)注機(jī)械設(shè)備的可靠性、安全性.而貯備系統(tǒng)對(duì)可修系統(tǒng)模型的可用度、可靠性以及系統(tǒng)的安全性有了很大的提升［1-3］.常用的一種貯備模型為冷貯備.冷貯備的概念為,一個(gè)貯備系統(tǒng)以零故障率被保持貯備直至可修復(fù)的運(yùn)行系統(tǒng)出現(xiàn)故障［4-7］.另一種常用的貯備模型為溫貯備.溫貯備的概念為,部件在貯備期的無故障時(shí)間隨機(jī)大于部件工作狀態(tài)時(shí)的無故障時(shí)間.如文獻(xiàn)［8］中分析的Birolini雙部件系統(tǒng)就由一個(gè)運(yùn)行部件、一個(gè)同型溫貯備部件及一個(gè)修理工組成,當(dāng)運(yùn)行部件失效則溫貯備部件立即轉(zhuǎn)到運(yùn)行狀態(tài),此時(shí)轉(zhuǎn)到運(yùn)行狀態(tài)的部件的失效率也由λw轉(zhuǎn)入部件運(yùn)行時(shí)的失效率λ,值得注意的是λw＜λ.Birolini雙部件系統(tǒng)是一個(gè)封閉式循環(huán)系統(tǒng),當(dāng)修理工空閑時(shí),任何部件的失效修理工都會(huì)馬上對(duì)失效部件進(jìn)行修理;當(dāng)失效部件修理完成后,若正在運(yùn)行的部件沒有失效則修好的部件進(jìn)入溫貯備狀態(tài),否則修理完成的部件直接進(jìn)入運(yùn)行狀態(tài).

貯備系統(tǒng)通常被賦予了優(yōu)先權(quán)規(guī)則,即主部件比貯備部件有優(yōu)先使用權(quán)或失效后有優(yōu)先修理權(quán).在實(shí)際生活中,這種帶優(yōu)先權(quán)的貯備系統(tǒng)也應(yīng)用廣泛.例如,在醫(yī)院的手術(shù)室內(nèi),在手術(shù)過程中,若國家電力供應(yīng)系統(tǒng)突然發(fā)生故障,若手術(shù)因此而不得不停止,這將對(duì)躺在手術(shù)臺(tái)上的病人造成非常嚴(yán)重的后果,故手術(shù)室內(nèi)通常都會(huì)有備用供電系統(tǒng)以保證手術(shù)順利進(jìn)行.由于國家電力供應(yīng)系統(tǒng)無論是在安全性方面還是在費(fèi)用方面都比本地備用供電系統(tǒng)更值得使用,所以國家電力供應(yīng)系統(tǒng)就比備用供電系統(tǒng)有優(yōu)先使用權(quán),一旦國家電力供應(yīng)系統(tǒng)恢復(fù)正常,備用系統(tǒng)就將不再使用而進(jìn)入貯備狀態(tài).近些年來帶有優(yōu)先權(quán)的可修貯備系統(tǒng)得到了很多關(guān)注［9-10］.

基于以上文獻(xiàn)研究的兩部件系統(tǒng),本文研究了兩同型主部件組成的Birolini系統(tǒng),并附有一個(gè)無優(yōu)先權(quán)的備用部件組成的三部件系統(tǒng),且主部件對(duì)備用部件有優(yōu)先使用權(quán).系統(tǒng)開始運(yùn)行時(shí),主部件運(yùn)行,同型主部件處于溫貯備狀態(tài),備用部件處于冷貯備狀態(tài).本文假定部件工作時(shí)間服從指數(shù)分布、修理時(shí)間服從一般連續(xù)分布,利用馬爾可夫過程理論和Laplace變換的方法,求出了系統(tǒng)可靠度的Lap lace變換式和首次故障前平均時(shí)間的表達(dá)式,以及系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度和穩(wěn)態(tài)故障頻度等可靠性指標(biāo).此外,還通過數(shù)值模擬分析了系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響.

1 模型假設(shè)

假設(shè)1系統(tǒng)由兩個(gè)同型主部件的Birolini系統(tǒng)及一個(gè)備用部件組成的三部件運(yùn)行,且有一個(gè)修理工.

假設(shè)2系統(tǒng)工作時(shí),主部件運(yùn)行,另一主部件處于溫貯備狀態(tài),而備用部件處于冷貯備狀態(tài).

假設(shè)3設(shè)主部件的運(yùn)行的失效率為λ,主部件溫貯備的失效率為λw,備用部件運(yùn)行的失效率為λs.

假設(shè)4當(dāng)主部件運(yùn)行失效,若處于溫貯備狀態(tài)的主部件沒有失效,則立刻加以替換,失效率由λw轉(zhuǎn)換成λ,同時(shí)修理工立即對(duì)失效主部件進(jìn)行維修,且修復(fù)如新;否則備用部件立刻運(yùn)行,失效主部件等待維修.部件間的轉(zhuǎn)換是瞬時(shí)完成的.

假設(shè)5當(dāng)主部件維修完成,若另一主部件正在運(yùn)行,則完成維修的主部件進(jìn)入溫貯備狀態(tài);否則修復(fù)好的主部件立刻運(yùn)行,備用部件進(jìn)入冷貯備狀態(tài).

假設(shè)6備用部件僅在兩主部件都失效時(shí)才運(yùn)行,而且主部件對(duì)備用部件有優(yōu)先使用權(quán)和維修權(quán);若在維修備用部件時(shí)主部件失效,則修理工立即停止修理備用部件,轉(zhuǎn)入主部件修理.

假設(shè)7主部件運(yùn)行失效維修時(shí)間X、主部件溫貯備失效維修時(shí)間Y、備用部件失效維修時(shí)間U均服從一般連續(xù)分布,其分布函數(shù)分別為

假設(shè)8上述隨機(jī)變量相互獨(dú)立,當(dāng)兩個(gè)主部件與備用部件都發(fā)生故障時(shí),系統(tǒng)故障和部件能修復(fù)如新.

假設(shè)9初始時(shí)刻兩主部件與備用部件都是新的,主部件運(yùn)行,另一主部件處于溫儲(chǔ)備狀態(tài),備用部件處于冷儲(chǔ)備狀態(tài).

2 模型分析

定義1 S(t)表示系統(tǒng)在時(shí)刻t的狀態(tài),則系統(tǒng)在時(shí)刻t可能處于如下狀態(tài).

狀態(tài)0:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行,另一主部件溫貯備,備用部件冷貯備,系統(tǒng)正常.

狀態(tài)1:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行,另一主部件溫貯備失效維修,備用部件冷貯備,系統(tǒng)正常.

狀態(tài)2:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行,另一主部件運(yùn)行失效維修,備用部件冷貯備,系統(tǒng)正常.

狀態(tài)3:時(shí)刻t,系統(tǒng)備用部件運(yùn)行,主部件溫貯備失效維修,另一主部件運(yùn)行失效等待維修,系統(tǒng)正常.

狀態(tài)4:時(shí)刻t,系統(tǒng)備用部件運(yùn)行,主部件運(yùn)行失效維修,另一主部件運(yùn)行失效等待維修,系統(tǒng)正常.

狀態(tài)5:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件溫貯備失效維修,另一主部件運(yùn)行失效等待維修,備用部件失效等待維修,系統(tǒng)失效.此狀態(tài)時(shí),在修理主部件之前備用部件還未開始修理.

狀態(tài)6:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件溫貯備失效維修,另一主部件運(yùn)行失效等待維修,備用部件失效等待維修,系統(tǒng)失效.此狀態(tài)時(shí),在修理主部件之前備用部件已被修理過一段時(shí)間.

狀態(tài)7:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行失效維修,另一主部件運(yùn)行失效等待維修,備用部件失效等待維修,系統(tǒng)失效.此狀態(tài)時(shí),在修理主部件之前備用部件還未開始修理.

狀態(tài)8:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行失效維修,另一主部件運(yùn)行失效等待維修,備用部件失效等待維修,系統(tǒng)失效.此狀態(tài)時(shí),在修理主部件之前備用部件已被修理過一段時(shí)間.

狀態(tài)9:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行,另一主部件運(yùn)行失效維修,備用部件失效等待維修,系統(tǒng)正常.此狀態(tài)時(shí),在修理主部件之前備用部件還未開始修理.

狀態(tài)10:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行,另一主部件運(yùn)行失效維修,備用部件失效等待維修,系統(tǒng)正常.此狀態(tài)時(shí),在修理主部件之前備用部件已被修理過一段時(shí)間.

狀態(tài)11:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行,另一主部件溫貯備,備用部件失效維修,系統(tǒng)正常.

狀態(tài)12:時(shí)刻t,系統(tǒng)主部件運(yùn)行,另一主部件溫貯備失效維修,備用部件失效等待維修,系統(tǒng)正常.此狀態(tài)時(shí),在修理主部件之前備用部件已被修理過一段時(shí)間.

系統(tǒng)的狀態(tài)空間為Ω={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12},其中系統(tǒng)的運(yùn)行狀態(tài)為W= {0,1,2,3,4,9,10,11,12},失效狀態(tài)為F={5,6,7,8}.由于維修時(shí)間服從一般連續(xù)分布,則{S(t),t≥0}不是馬爾可夫過程,為此我們引進(jìn)補(bǔ)充變量

·X(t):當(dāng)S(t)=2,4,7,8,9,10時(shí),X(t)表示時(shí)刻t修理主部件運(yùn)行失效已用去的時(shí)間.

·Y(t):當(dāng)S(t)=1,3,5,6,12時(shí),Y(t)表示時(shí)刻t修理主部件溫貯備失效已用去的時(shí)間.

·U(t):當(dāng)S(t)=6,8,10,11,12時(shí),U(t)表示時(shí)刻t修理備用部件運(yùn)行失效已用去的時(shí)間.則{S(t),X(t),Y(t),U(t),t≥0}構(gòu)成一個(gè)廣義馬爾可夫過程,其狀態(tài)空間為Ω*={0,［1,y］,［2,x］,［3,y］,［4,x］,［5,y］,［6,y,u］,［7,x］,［8,x,u］,［9,x］,［10,x,u］,［11,u］,［12,y,u］},其中x,y,u分別代表X(t),Y(t),U(t)的值.定義此廣義馬爾可夫過程的狀態(tài)概率是

由總概率公式可得

(當(dāng)i=1,3,5,6,12時(shí)m為y,當(dāng)i=2,4,7,8,9,10時(shí)m為x,當(dāng)i=11時(shí)m為u)初始條件為

3 系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)指標(biāo)

定理1系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

證明引入Lap lace變換表達(dá)式

根據(jù)系統(tǒng)正常工作時(shí)的穩(wěn)態(tài)概率,可求得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為

由此可得定理1.證畢.

定理2系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度為

證明根據(jù)文獻(xiàn)［11］中的計(jì)算方法,系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度為

由定理1證明中已計(jì)算出的p3,p4,p9,p10,p12,代入上式即可得系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)故障頻度.證畢.

4 系統(tǒng)的可靠度與首次故障前的平均時(shí)間

定理3系統(tǒng)的可靠度R(t)的Lap lace變換式為

證明為求系統(tǒng)的可靠度R(t),只需將狀態(tài)5與狀態(tài)7看成是吸收狀態(tài),則狀態(tài)6、狀態(tài)8至狀態(tài)12系統(tǒng)都無法達(dá)到.因此得到一個(gè)有吸收狀態(tài)的、連續(xù)時(shí)間的、新的廣義馬爾可夫過程.令

由此建立系統(tǒng)各狀態(tài)概率的微分方程組

邊界條件為

初始條件為

對(duì)方程(43)-(50)取Lap lace變換并結(jié)合初始條件可解得以上方程組

系統(tǒng)的可靠度為

系統(tǒng)的可靠度R(t)的Laplace變換式為

將我們已計(jì)算得的結(jié)果帶入上式中即可得定理3.證畢.

推論1系統(tǒng)的首次故障前的平均時(shí)間

5 數(shù)值模撥分析

在這一節(jié)我們通過數(shù)值模擬來分析一些系統(tǒng)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響.

首先我們考慮溫貯備失效率λw變化對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響.假設(shè)部件的維修時(shí)間服從指數(shù)分布,令α(x)=0.7,β(y)=0.8,μ(u)=0.75,再令λ=0.3,λs=0.4.由于0＜λw＜λ,所以λw的取值范圍為0.01-0.29.圖1與圖2分別描繪了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A以及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度M關(guān)于主部件溫貯備失效率λw變化的曲線圖.由圖1與圖2可以看出,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A隨著主部件溫貯備的失效率λw增大而減小,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度M隨主部件溫貯備的失效率λw增大而增大.

圖1 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A關(guān)于失效率λw而變化Fig.1 Steady-state availability of the system A With failure rateλwchanges

圖2 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度M關(guān)于失效率λw而變化Fig.2 Steady-state failure frequency of the system M With failure rateλwchanges

我們接著考慮主部件運(yùn)行失效的修復(fù)率α(x)變化對(duì)系統(tǒng)可靠性的影響.同樣假設(shè)部件的維修時(shí)間服從指數(shù)分布,令β(y)=0.9,μ(u)=0.7,再令λ=0.25,λw=0.15,λs=0.35. α(x)的取值范圍為0.5-0.9.圖3與圖4分別描繪了系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A以及系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度M關(guān)于主部件運(yùn)行失效的修復(fù)率α(x)變化的曲線圖.由圖3與圖4可以看出,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A隨著主部件運(yùn)行失效的修復(fù)率α(x)增大而增大,系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度M隨主部件運(yùn)行失效的修復(fù)率α(x)增大而減小.

6 結(jié)論

在實(shí)際情況中,增加貯備系統(tǒng)能大大提高系統(tǒng)的可靠性及安全性,而且貯備部件的無優(yōu)先權(quán)可以節(jié)省系統(tǒng)開支,這從經(jīng)濟(jì)角度是有實(shí)際意義的.本文推導(dǎo)了Birolini雙部件系統(tǒng)及一個(gè)無優(yōu)先權(quán)的冷貯備備用部件組成的三部件可修系統(tǒng)的可靠性相關(guān)指標(biāo),并通過數(shù)值模擬比較分析了系統(tǒng)相關(guān)參數(shù)對(duì)系統(tǒng)可靠性指標(biāo)的影響.

圖3 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)可用度A關(guān)于修復(fù)率α(χ)而變化Fig.3 Steady-state availability of the system A With repair rateα(χ)changes

圖4 系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)故障頻度M關(guān)于修復(fù)率α(χ)而變化Fig.4 Steady-state failure frequency of the system M With repair rateα(χ)changes

［1］吳清太,唐加山.泊松沖擊下冷貯備可修系統(tǒng)的可靠性分析［J］.數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2012,31(1):149-156.

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(責(zé)任編輯 李 藝)

Reliability analysis of Birolini’s duplex system sustained by a non-priority unit in cold standby

HUANG Kai,WU Qing-tai
(College of Science,Nanjing Agricultural University,Nanjing 210095,China)

This paper deals With Birolini’s duplex system sustained by a non-priority unit in cold standby.It is assumed that the life of the unit is exponential distribution,and the repair time of the unit is general continuous distribution.Then by using supplementary variables approach and generalized Markov process method,the Lap lace transform of the reliability and the mean time to first failure are attained.Meanwhile,the availability and the failure frequency of the system are obtained.

priority rule;Birolini’s duplex system;reliability;generalized Markov process

O 213.2

A

10.3969/j.issn.1000-5641.2016.01.009

1000-5641(2016)01-0069-12

2014-12

中央高校基本科研業(yè)務(wù)費(fèi)自主創(chuàng)新重點(diǎn)研究項(xiàng)目(KYZ201424)

黃凱,男,碩士研究生,研究方向?yàn)楦怕式y(tǒng)計(jì)與可靠性分析.E-m ail:huangkai29@126.com.

吳清太,男,副教授,研究方向?yàn)橄到y(tǒng)可靠性分析與風(fēng)險(xiǎn)估計(jì). E-mail:wuqingtai@njau.edu.cn.