孫朝仁

摘要：現(xiàn)代數(shù)學(xué)觀的發(fā)展，已由靜態(tài)的絕對主義的數(shù)學(xué)觀向動態(tài)的擬經(jīng)驗主義的數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)化，數(shù)學(xué)實驗觀則屬于動態(tài)的數(shù)學(xué)觀范疇。基于對417名初中生的問卷調(diào)查和訪談，結(jié)合課堂觀察，了解數(shù)學(xué)實驗觀的5個梯級現(xiàn)狀水平，發(fā)現(xiàn)初中生數(shù)學(xué)實驗觀念系統(tǒng)尚未真正形成。建議采取注重問題設(shè)計方案的實驗性、重視教材中實驗素材的使用性、強化問題解決實驗的價值性等實踐性舉措，以促進初中生數(shù)學(xué)實驗觀的形成。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)實驗觀；調(diào)查；教學(xué)建議

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)志碼：A 文章編號：1673-9094（2016）10A-0048-05

數(shù)學(xué)觀的現(xiàn)代發(fā)展，已由靜態(tài)的絕對主義的數(shù)學(xué)觀向動態(tài)的擬經(jīng)驗主義的數(shù)學(xué)觀轉(zhuǎn)化。[1]前者認(rèn)為數(shù)學(xué)是數(shù)學(xué)知識的簡單匯聚，后者則認(rèn)為數(shù)學(xué)是人類的一種創(chuàng)造性活動，它是一個由數(shù)學(xué)理論、數(shù)學(xué)方法、數(shù)學(xué)問題和數(shù)學(xué)特有的符號語言等多種成分所組成的復(fù)合體。這種復(fù)合體是人類創(chuàng)造性活動的產(chǎn)物。著名的哲學(xué)家Lakatos認(rèn)為，數(shù)學(xué)是既含有經(jīng)驗成分又含有理性成分的一種非封閉的演繹系統(tǒng)即擬經(jīng)驗的體系。就數(shù)學(xué)的研究過程、數(shù)學(xué)與其他科學(xué)的關(guān)系層面而言，數(shù)學(xué)具有形象性、似真性、擬經(jīng)驗性、可證偽性的特點，對這些特點的強調(diào)就是為突出觀察、實驗、分析、比較、歸納、聯(lián)想、想象等思維過程的重要性。而數(shù)學(xué)實驗恰好是反映這些具有創(chuàng)造性思維成分的重要載體，符合初中生知覺思維水平、抽象思維尚待完善的特點，因此探討初中生數(shù)學(xué)實驗觀對初中數(shù)學(xué)教育意義重大。

同時，皮亞杰的認(rèn)知發(fā)展理論與建構(gòu)主義思想、弗賴登塔爾的“再創(chuàng)造”理論、迪恩思的四個學(xué)習(xí)原則（活動原則、結(jié)構(gòu)原則、數(shù)學(xué)化原則、知覺變化原則）和學(xué)習(xí)過程的六個階段理論、比格斯的“實驗室法”、施瓦布“探究性學(xué)習(xí)法”、杜威的“做中學(xué)”理論等為“數(shù)學(xué)實驗觀”的形成提供了豐富的理論依據(jù)，因此研究以“做”為表征的初中生數(shù)學(xué)實驗觀，其價值毋庸置疑。

一、數(shù)學(xué)實驗觀的認(rèn)識

“數(shù)學(xué)實驗觀”屬于動態(tài)的數(shù)學(xué)觀，是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過程中建立起來的自覺“做”數(shù)學(xué)的習(xí)慣化意識水平，是關(guān)于數(shù)學(xué)實驗內(nèi)涵、思想方法及其應(yīng)用價值的綜合性認(rèn)識。荷蘭范希爾（VanHiele）夫婦把幾何思維劃分為5個水平；水平1：直觀（visuality）；水平2：分析（analysis）；水平3：非形式化的演繹（informaldeduction）；水平4：形式的演繹（formaldeduction）；水平5：嚴(yán)密性（rigior）。把這“5維劃分法”借用到數(shù)學(xué)實驗認(rèn)識論領(lǐng)域，則反映數(shù)學(xué)實驗觀水平的5個梯級層次。水平1：面對實驗素材有“做”實驗?zāi)铑^，但沒有意識到數(shù)學(xué)實驗的直觀作用；水平2：意識到數(shù)學(xué)實驗的直觀作用，但仍流于任務(wù)性分析水平；水平3：習(xí)慣于單一實驗方法并進行非形式化拓展，但沒有意識到同一模型可以有多種實驗方法；水平4：面對棘手問題，有借助實驗發(fā)現(xiàn)問題解決突破口的意識，在直觀發(fā)現(xiàn)的基礎(chǔ)上進行多種形式化運演；水平5：面對困難問題組，有借助實驗直覺性發(fā)現(xiàn)問題解決的思維慣習(xí)，自覺優(yōu)化解題方案和隱性變式。

二、現(xiàn)狀調(diào)查與分析

為把握學(xué)生數(shù)學(xué)實驗觀念水平，促進基本活動經(jīng)驗積累的指向性教學(xué)水平，針對初中學(xué)生數(shù)學(xué)實驗觀的現(xiàn)狀，采用問卷、課堂觀察和結(jié)構(gòu)性訪談相結(jié)合的方式進行調(diào)查分析?；谝陨?層次水平劃分法分析，在查閱文獻的基礎(chǔ)上編制初始問卷，經(jīng)歷試測并修改完善，研制出“初中學(xué)生數(shù)學(xué)實驗實驗觀的調(diào)查問卷”。以某市部分初中學(xué)校共426名學(xué)生作為研究對象（電腦隨機確認(rèn)），于2015年1月，在不同層次4所中學(xué)進行問卷調(diào)查，共發(fā)放問卷426份，收回有效卷417份，有效回收率98%。問卷回收后，采用SPSS Statistics13.0軟件進行統(tǒng)計分析。

（一）初中階段學(xué)生數(shù)學(xué)實驗觀的基本概況

初中階段學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗觀的現(xiàn)狀調(diào)查與分析（如表1）。

從表1可以看出，學(xué)生對數(shù)學(xué)實驗幫助學(xué)習(xí)的看法中，認(rèn)為“幫助很大”的占33.8%，“有些幫助”的占51.1%。因此，可以確認(rèn)初中學(xué)生基本認(rèn)同數(shù)學(xué)實驗對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的幫助。換句話說，數(shù)學(xué)實驗是初中學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不可或缺的一種方式，對數(shù)學(xué)思維發(fā)展起一種直觀的補助作用。對于“是否愿意用數(shù)學(xué)實驗方式進行學(xué)習(xí)”的問題，選擇“不太愿意”和“不愿意”的共占5.2%，這就從反面說明絕大多數(shù)初中學(xué)生喜歡用數(shù)學(xué)實驗的這種蘊含天性的學(xué)習(xí)方式進行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，這與數(shù)學(xué)實驗先期調(diào)查數(shù)據(jù)有明顯的差異：先期調(diào)查數(shù)據(jù)顯示“愿意”以上的學(xué)生占89%，而本次調(diào)查高達94.8%，這說明數(shù)學(xué)實驗觀念漸次深入人心。對于“用數(shù)學(xué)實驗解決問題的實踐”這一問題，選擇“經(jīng)常”的只有9.6%，選擇“偶爾遇過”的學(xué)生占61.1%。這表明僅有不到1成的學(xué)生經(jīng)常借助數(shù)學(xué)實驗解決問題，9成以上的學(xué)生數(shù)學(xué)實驗的觀念不強，數(shù)據(jù)的背后反映了數(shù)學(xué)實驗觀念系統(tǒng)尚未真正形成，由“愿望”到“行動”還有很長的距離；另一個側(cè)面說明，傳統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)化學(xué)習(xí)方式依然根深蒂固。在訪談中也了解到學(xué)生（尤其是學(xué)優(yōu)生）認(rèn)為數(shù)學(xué)實驗的“過程性”，會耽誤好多時間，盡管“經(jīng)歷”能變遷為“客觀經(jīng)驗”，在“作業(yè)”壓倒一切的學(xué)習(xí)時代，數(shù)學(xué)實驗觀念具有政策和教育指向的局限性。

（二）初中階段學(xué)生對不同“知識類型”實驗的看法

初中階段學(xué)生對不同“知識類型”的認(rèn)識調(diào)查與分析（如表2）。

從表2可以看出，對于“概念性知識”用數(shù)學(xué)實驗方式處理的僅占9.5%，說明不到1成的學(xué)生意識到概念發(fā)生、發(fā)展和形成過程的重要性。這在很大層面上源于概念的“規(guī)定性”認(rèn)識觀念根深蒂固，這與裴光亞先生所說的數(shù)學(xué)不允許有“前概念”是一脈相承的，忽略了數(shù)學(xué)教育是可以有“前概念”的說法。這有悖于裴光亞先生的“最好的老師是發(fā)現(xiàn)真理，最差的老師奉送真理，介于兩者之間的是闡釋真理”的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育觀的主張。對于“程序性知識”用數(shù)學(xué)實驗方式處理的只占9.3%，說明也只有不到1成的學(xué)生意識到原理（公式、法則）發(fā)現(xiàn)的重要性，也與傳統(tǒng)的“記憶+模仿”的原理課慣習(xí)分不開的。而“闡釋真理+創(chuàng)造模仿”具有數(shù)學(xué)實驗的傾向性占67.2%，說明數(shù)學(xué)實驗觀形成形態(tài)良好，而“創(chuàng)造模仿”意味著變式化傾向明顯，這就從另一個層面說明，中國傳統(tǒng)變式教育的優(yōu)良傳統(tǒng)對中國數(shù)學(xué)教育的巨大貢獻。對“過程性知識”用數(shù)學(xué)實驗處理的方式即重視過程性占47.8%，這表明重視知識產(chǎn)生過程的比例呈上升趨勢，改變了傳統(tǒng)的“唯結(jié)果”的教育觀，這與“課標(biāo)”倡導(dǎo)“課程內(nèi)容組織要重視過程，處理好過程與結(jié)果的關(guān)系”的精神是一致的?！斑^程大于結(jié)果”“過程與結(jié)果并重”是數(shù)學(xué)實驗教學(xué)的終極目標(biāo)，實驗更重視過程，唯有直觀的過程方能產(chǎn)生突如其來直覺的創(chuàng)造性，因此過程性知識需要過程成就，要重視過程意義豐富的數(shù)學(xué)實驗觀培養(yǎng)。endprint

（三）初中階段學(xué)生對不同“課型”數(shù)學(xué)實驗方法的看法

初中階段學(xué)生對不同“課型”的實驗方法的看法調(diào)查與分析（如表3）。

數(shù)學(xué)課堂通常分為若干模塊，其中概念課、原理課（也叫規(guī)則課）、習(xí)題課是教學(xué)的主體。從表3可以看出，對于“概念課”，采用“再發(fā)現(xiàn)過程法”即實驗法的高達78.1%，即有近8成的學(xué)生能自覺借助數(shù)學(xué)實驗理解概念，這說明數(shù)學(xué)實驗在概念的形成和理解層面為學(xué)生提供了很大的幫助。就概念形成的心理過程而言，抽象和概括是掌握概念的前提和基礎(chǔ)，而數(shù)學(xué)實驗為抽象、概括提供了直觀可行的抓手，因此數(shù)學(xué)實驗是學(xué)生理解概念的有效工具。對“原理課”，采用幾何背景意義法即學(xué)生借助實驗活動法來理解規(guī)則的比例高達67.9%，也就是說有近7成的學(xué)生能主動借助實驗的直觀性理解抽象的數(shù)學(xué)原理，這說明數(shù)學(xué)實驗?zāi)転槌橄笤淼恼J(rèn)知理解提供幾何直觀。比如“因式分解”的抽象性，借助符合條件的長方形面積與邊長的關(guān)系就能直白的顯化，化隱為明、化抽象為具體，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)實驗觀確立的本質(zhì)初衷。對于“習(xí)題課”，采用內(nèi)源變式思維法的學(xué)生有79.1%，多維建模法的有20.9%，也就是說有8成學(xué)生習(xí)慣變式思維，這和“智慧技能學(xué)習(xí)的唯一有效方法就是建立在理解基礎(chǔ)上的變式練習(xí)”的學(xué)習(xí)傳統(tǒng)是分不開的。先期數(shù)學(xué)實驗“揭示三角形內(nèi)角和定理本質(zhì)”的調(diào)查數(shù)據(jù)顯示：有52.1%的同學(xué)能用變式實驗法把握原理內(nèi)涵。這些變式思想和高級意識都是學(xué)生的創(chuàng)造潛能得以發(fā)展的地氣，因此培養(yǎng)“課型”實驗觀至關(guān)重要。

（四）初中階段學(xué)生對數(shù)學(xué)實驗內(nèi)源作用的看法

初中階段學(xué)生對數(shù)學(xué)實驗內(nèi)源作用的看法訪談分析（如表4）。

S.Pirie和T.Kieren的超回歸數(shù)學(xué)理解模型。[2]超回歸數(shù)學(xué)理解模型由8個不同理解水平組成，即：原始認(rèn)識、產(chǎn)生表象、形成表象、性質(zhì)認(rèn)知、形式化、觀察評述、構(gòu)造化、發(fā)明創(chuàng)造。這8個理解水平包括了人們理解某一數(shù)學(xué)知識（概念、公式、原理等）所經(jīng)歷的全過程。從表4可以看出，“原始認(rèn)識”水平占98.3%，說明數(shù)學(xué)實驗幾乎能喚醒每一位同學(xué)已有認(rèn)知經(jīng)驗；遷移水平占9.3%，說明數(shù)學(xué)實驗作用傾向于高級思維認(rèn)識，本源性遷移作用不明顯，要強化學(xué)生的“后臺經(jīng)驗”圖式，使其轉(zhuǎn)化為“緩存經(jīng)驗”，便于支取，方能提升由“知”到“識”能力遷移的水平，“打通”問題的突破口?！靶纬杀硐蟆彼秸?4.5%，表象是人腦對客觀事物的印象，這說明在數(shù)學(xué)實驗的幫助下大多數(shù)學(xué)生的思維水平都能達到現(xiàn)有知覺水平，而遷移賦值僅為27.9%，說明表象對內(nèi)源思維建構(gòu)的遷移作用不明顯，數(shù)學(xué)實驗在這一思維層面應(yīng)該滲透功能性培育意識。“形式化”水平占40.1%，也就是說數(shù)學(xué)實驗幫助學(xué)生形成“一般化”產(chǎn)生式系統(tǒng)的能力比較強；遷移水平占47.5%，說明有近一半學(xué)生的思維圖式經(jīng)驗的躍遷來自于數(shù)學(xué)實驗內(nèi)源建構(gòu)思維的作用。從數(shù)學(xué)教育視角證明，學(xué)生運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題能力和創(chuàng)造力并不呈正態(tài)分布?！皠?chuàng)造發(fā)明”水平占比例是7.8%，這說明不到十分之一的學(xué)生在數(shù)學(xué)實驗的幫助下能產(chǎn)生創(chuàng)造的直覺思維；遷移水平卻高達84.8%，說明數(shù)學(xué)實驗對學(xué)生經(jīng)驗遷移能力作用顯著，這與“每個學(xué)生都擁有運用數(shù)學(xué)知識解決實際問題和創(chuàng)造力的潛能”研究結(jié)論是一致的。[3]

從訪談顯示的數(shù)據(jù)來看，數(shù)學(xué)實驗“5層級水平觀”建立意義重大，無論是創(chuàng)造潛能還是簡單化思想都是“上位”的行事觀，直接影響人生能力和生命質(zhì)量。

三、教學(xué)建議

積累活動經(jīng)驗是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的“關(guān)鍵性標(biāo)志”，是數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的重要目標(biāo)。數(shù)學(xué)實驗作為理解數(shù)學(xué)的特殊工具，本身帶有積累活動經(jīng)驗的個性特征，因此，讓學(xué)生形成自動化實驗觀念意義重大。而實驗觀念產(chǎn)生、形成、發(fā)展需要教師的實踐性引領(lǐng)，方能讓行動成就觀念，讓觀念反哺行動，進而落實課程教育素養(yǎng)性目標(biāo)。

（一）注重問題設(shè)計方案的實驗性

調(diào)查數(shù)據(jù)表明，對于“用數(shù)學(xué)實驗解決問題的實踐”這一問題，選擇“經(jīng)?！钡闹挥?.6%。這說明大部分學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗觀念系統(tǒng)尚未形成，這就要求教師要加強教學(xué)引領(lǐng)，關(guān)注問題設(shè)計實驗傾向的研究和示范，凸顯實驗性，方能在實驗意識的滲透中形成穩(wěn)定的實驗心理特征，進而初步形成實驗觀念。比如，蘇科版七年級上冊《豐富的圖形世界》教學(xué)，可以通過制作幾何體、認(rèn)識幾何體（摸幾何體和說幾何體面、棱、頂點的特征）、設(shè)計幾何體方案三模塊學(xué)習(xí)。讓學(xué)生通過動手操作，理解從平面到空間的轉(zhuǎn)換過程，認(rèn)識簡單幾何體的基本特征。設(shè)計這種實驗傾向的問題串意義不止于理解知識，更在于形而上素養(yǎng)積累，落實課程生命觀。

（二）重視教材中實驗素材的使用性

用數(shù)學(xué)實驗方式理解“過程性知識”的學(xué)生占47.8%，這說明有近一半的學(xué)生意識到，數(shù)學(xué)實驗對過程性知識理解起著不可替代的作用。為引領(lǐng)更多學(xué)生參與實驗理解“過程性”“程序性”知識，建議重視實驗素材的可使用性。換句話說，就是對課本呈現(xiàn)的實驗素材進行全角發(fā)掘其實驗功能，讓學(xué)生在實驗組織系統(tǒng)樣板實踐中，不自覺形成實驗的依賴性，進而養(yǎng)成“每一個學(xué)生”的實驗觀。比如，蘇科版七年級第105頁數(shù)學(xué)實驗室《月歷游戲》可全角拓展設(shè)計流程：猜數(shù)游戲、算數(shù)游戲、設(shè)計游戲、拓展游戲，以月歷為工具，通過游戲的形式展開實驗過程，在游戲中揭示月歷的排列規(guī)律，進而形成用列一元一次方程來解決問題的意識。這種由“猜想”到“實踐”到“創(chuàng)編”的命題實驗意識，使得學(xué)生形成模塊性實驗系統(tǒng)，有利于實驗觀的定性養(yǎng)成，提升實驗的知覺水平，落實課程教育發(fā)展觀。

（三）強化問題解決實驗的價值性

對于“概念課”，采用實驗發(fā)現(xiàn)法的學(xué)生占78.1%，說明學(xué)生的數(shù)學(xué)實驗觀念在概念理解領(lǐng)域初步形成；學(xué)生實驗超模型的“形式化”思維水平占40.1%，說明一部分學(xué)生意識到借助實驗有利于“一般化”圖式產(chǎn)生，而“形式化思維”標(biāo)準(zhǔn)下的學(xué)生的遷移水平占47.5%，說明數(shù)學(xué)實驗內(nèi)源建構(gòu)思維的作用比較顯著。為拓展學(xué)生現(xiàn)有實驗觀念意識區(qū)，建議強化提升問題解決實驗傾向的水平，體現(xiàn)實驗的價值性，讓學(xué)生在初級實驗觀念的指導(dǎo)下，由原初實驗觀上升為結(jié)構(gòu)實驗觀，進而形成帶有鮮明個性的數(shù)學(xué)實驗慣習(xí)。比如，無理數(shù)概念的建立，可以通過兩組實驗來深化認(rèn)識。實驗1：在數(shù)軸上表示面積為2的正方形的邊長 所對應(yīng)的點（實物操作、計算機模擬）；實驗2：在數(shù)軸上表示圓周率 所對應(yīng)的點（實物操作、計算機模擬）。這樣設(shè)計問題傾向有利于學(xué)生直觀理解“無理數(shù)也可以用數(shù)軸上的點表示”。這種在變異理論指導(dǎo)下的實驗傾向，有利于把握概念的本體價值，使得抽象因具體而抽象，具體因抽象而具體，反映數(shù)學(xué)實驗的本源價值，落實人文素養(yǎng)課程觀。

“問題設(shè)計方案的實驗性”側(cè)重于“做”實驗的念頭和實驗“直觀”性認(rèn)識水平；“實驗素材的使用性”意味著多維度地解釋同一模型；而“問題解決實驗的價值性”則反映實驗“突破”意識和直覺的“從天而降”的創(chuàng)造價值，這些基于“理解數(shù)學(xué)”的實驗意識觀與數(shù)學(xué)認(rèn)知過程包括感知覺、注意、表象、記憶、數(shù)學(xué)語言、數(shù)學(xué)思維與意識等過程性形態(tài)意識是一脈相通的，強調(diào)了數(shù)學(xué)實驗觀建立的發(fā)展性意義。

參考文獻：

[1]喻平，董林偉，魏玉華.數(shù)學(xué)實驗教學(xué)：靜態(tài)數(shù)學(xué)觀與動態(tài)數(shù)學(xué)觀的融通[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2015（2）：26-28.

[2]李淑文，張同君.“超回歸”數(shù)學(xué)理解模型[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2002（2）：21-23.

[3]王延文，王光明.數(shù)學(xué)能力研究導(dǎo)論[M].天津：天津教育出版社，1999.

責(zé)任編輯：徐瑞泰endprint