安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華興恒

磁場中導(dǎo)體棒運動問題例析

安徽省靈璧黃灣中學(xué) 華興恒

磁場中導(dǎo)體棒運動問題是我們學(xué)習(xí)磁場知識后經(jīng)常遇到的問題，歸納起來主要有兩種類型：一種是單棒問題，另一種是雙棒問題。下面我們舉例分析。

一、單棒問題

基本題型 如圖1所示，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒可以無摩擦地在水平面內(nèi)放置的平行金屬導(dǎo)軌上滑行，兩軌間距為L，導(dǎo)軌與電阻R連接，放在豎直向上的勻強磁場中，磁感應(yīng)強度為B，導(dǎo)體棒的電阻為r，導(dǎo)軌的電阻不計，導(dǎo)體棒初速度為v0（與導(dǎo)軌平行），始終與導(dǎo)軌保持垂直且接觸良好。試求導(dǎo)體棒停下來時滑行的距離、通過的電量及產(chǎn)生的熱量。

分析 該題中導(dǎo)體棒的運動過程為加速度變小的減速運動，而我們僅熟悉勻變速直線運動的規(guī)律，乍一看似乎無從下手。下面給出兩種解法，供同學(xué)們參考。

解 設(shè)導(dǎo)體棒滑行的距離為x，將這段距離分割成許多小段，記為Δx1，Δx2，…，Δxn；由于距離Δx很小，可認(rèn)為在每一小段內(nèi)棒的加速度是不變的，每一小段內(nèi)棒的速度變化量為Δv1，Δv2，…，Δvn，時間間隔為Δt1，Δt2，…，Δtn。

圖1

拓展1 如圖2所示，在基本題型的條件下，若導(dǎo)體棒在恒力F（與導(dǎo)軌平行）的作用下由靜止開始運動，設(shè)在棒從開始到剛穩(wěn)定運行的過程中，通過橫截面的電量為q，則最大速度vm、從開始到剛穩(wěn)定運行的時間t和產(chǎn)生的熱量Q各是多少？

圖2

解析 導(dǎo)體棒做加速度減小的加速運動，當(dāng)F=F安時速度最大，

拓展2 如圖3所示，在同一水平面內(nèi)的光滑平行金屬導(dǎo)軌間距為L，一端連有一電容器，整個導(dǎo)軌處豎直向上的勻強磁場中，磁場強度為B。不考慮任何電阻，導(dǎo)體棒在恒力F（與導(dǎo)軌平行）的作用下由靜止開始運動，設(shè)電容器的電容為C，電容器的擊穿電壓為U0，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終保持垂直且接觸良好。試分析電容器被擊穿前導(dǎo)體棒的運動情況。

圖3

解析 設(shè)在任意時刻t，導(dǎo)體棒的速度為v，取極短時間段Δt，可認(rèn)為Δt時間段內(nèi)棒的加速度不變，設(shè)加速度為a，

則在這段時間內(nèi)，電容器的電壓由BLv變?yōu)锽L（v+aΔt），

由牛頓第二定律可知：F-BIL=F-B（CBLa）·L=ma，

加速度是一個恒量，可見電容器被擊穿前導(dǎo)體棒做勻加速直線運動。

拓展3 如圖4所示，在同一水平面內(nèi)的平行金屬導(dǎo)軌相距L=0.25 m，電阻不計，電池的電動勢E=6 V，內(nèi)阻不計，R=5 Ω，勻強磁場的磁感應(yīng)強度大小為B，方向豎直向下，開關(guān)S閉合后，橫放在導(dǎo)軌上的導(dǎo)體棒（電阻可以忽略不計）在磁場力的作用下由靜止開始向右運動，導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌間的滑動摩擦力Ff=0.15 N，為使棒運動速度最大，此時磁感應(yīng)強度B為多大？導(dǎo)體棒運動的最大速度vm是多少？

圖4

解析 導(dǎo)體棒做加速度變小的加速運動，當(dāng)Ff=F安時，導(dǎo)體棒做勻速運動。

方法一：根的判別式法

方法二：等效法

例1 如圖5所示，水平面（紙面）內(nèi)間距為L的平行金屬導(dǎo)軌間接一電阻，質(zhì)量為m且足夠長的導(dǎo)體棒置于導(dǎo)軌上。t=0時，導(dǎo)體棒在水平向右、大小為F的恒定拉力作用下由靜止開始運動。t0時刻，導(dǎo)體棒進入磁感應(yīng)強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場區(qū)域，且在磁場中恰好能保持勻速運動。導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌的電阻均忽略不計，兩者始終保持垂直且接觸良好，兩者之間的動摩擦因數(shù)為μ。重力加速度大小為g。求：

圖5

（1）導(dǎo)體棒在磁場中運動時產(chǎn)生的電動勢的大小。

（2）電阻的阻值。

分析 導(dǎo)體棒的運動過程分為兩個部分。進入磁場前，棒在F與摩擦力μmg的作用下做勻加速直線運動，可求出加速度a和到達磁場邊界時的速度；進入磁場后，棒做勻速直線運動，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律，可求出電動勢及電路中的電流，再分析受力情況，由牛頓運動定律列方程求解。

解 （1）設(shè)導(dǎo)體棒進入磁場前的加速度大小為a，則根據(jù)牛頓第二定律可得：ma=F-μmg。

設(shè)導(dǎo)體棒到達磁場左邊界時的速度為v，則由運動學(xué)公式得：v=at0。

當(dāng)導(dǎo)體棒以速度v在磁場中運動時，則由法拉第電磁感應(yīng)定律可知棒運動時產(chǎn)生的電動勢E=BLv。

（2）設(shè)導(dǎo)體棒在磁場區(qū)域中勻速運動時，棒中的電流為I，則根據(jù)歐姆定律有，式中R為電阻的阻值。

導(dǎo)體棒所受的安培力為F安=BIL。

因?qū)w棒做勻速運動，則由牛頓運動定律得F-μmg-F安=0。

點評 分別分析導(dǎo)體棒在兩個過程中的受力情況和運動情況，第一個過程導(dǎo)體棒的末速度即為第二個過程中導(dǎo)體棒做勻速運動的速度，結(jié)合法拉第電磁感應(yīng)定律得到E，再根據(jù)受力平衡列方程求出R。

例2 如圖6所示，兩條相距L的光滑平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平平面（紙面）內(nèi)，其左端接一阻值為R的電阻。一與導(dǎo)軌垂直的導(dǎo)體棒置于兩導(dǎo)軌上。在電阻、導(dǎo)軌和導(dǎo)體棒中間有一面積為S的區(qū)域，區(qū)域中存在垂直于紙面向里的均勻磁場，磁感應(yīng)強度大小B1隨時間t的變化關(guān)系為B1=kt，式中k為常量。在導(dǎo)體棒右側(cè)還有一勻強磁場區(qū)域，區(qū)域左邊界MN（虛線）與導(dǎo)軌垂直，磁場的磁感應(yīng)強度大小為B0，方向也垂直于紙面向里。t=0時，導(dǎo)體棒在一外加水平恒力的作用下從靜止開始向右運動，在t0時刻恰好以速度v0越過MN，此后向右做勻速運動。導(dǎo)體棒與導(dǎo)軌始終相互垂直并接觸良好，它們的電阻均忽略不計。求：

圖6

（1）在t=0到t=t0時間間隔內(nèi)，流過電阻的電荷量的絕對值。

（2）在時刻t（t＞t0）穿過回路的總磁通量和導(dǎo)體棒所受外加水平恒力F的大小。

解析 （1）導(dǎo)體棒在0～t0這段時間內(nèi)，由于圓形磁場中的磁通量變化而產(chǎn)生感應(yīng)電動勢，從而產(chǎn)生感應(yīng)電流，由電流的定義式便可求出流過電阻的電荷量的絕對值。

在導(dǎo)體棒越過MN之前，t時刻穿過回路的磁通量Φ=ktS。

設(shè)在從t時刻到t+Δt的時間間隔內(nèi)，回路磁通量的變化量為ΔΦ，流過電阻R的電荷量為Δq。則由法拉第電磁感應(yīng)定律得：，

（2）當(dāng)導(dǎo)體棒越過MN后，穿過回路的磁通量由兩部分組成，根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律等知識便可以求出恒力F的大小。

當(dāng)t＞t0時，導(dǎo)體棒已越過MN，由于導(dǎo)體棒在MN右側(cè)做勻速運動，有F=F安，式中F是外加水平恒力，F(xiàn)安是勻強磁場施加的安培力。

設(shè)此時回路中的電流為I，則F安=B0IL。

此時導(dǎo)體棒與MN之間的距離：s=v0（t-t0），

勻強磁場穿過回路的磁通量：Φ′=B0Ls，

回路的總磁通量：Φt=Φ+Φ′，式中Φ=ktS，

由以上幾式可得在時刻t（t＞t0）穿過回路的總磁通量：Φt=B0Lv0（t-t0）+kSt。

在t到t+Δt的時間間隔內(nèi)，總磁通量的改變量：ΔΦt=（B0Lv0+kS）Δt，

聯(lián)立以上三式及F=F安、F安=B0IL可解得。

注意 （1）在計算磁通量時，若用的是左側(cè)矩形面積，而不是圓形磁場的面積，則容易導(dǎo)致錯解的發(fā)生。（2）當(dāng)金屬棒越過MN后，計算磁通量時，若得出的導(dǎo)體棒與MN的距離為s=v0t，也會導(dǎo)致錯解。

二、雙棒問題

基本題型 兩根足夠長的固定的平行金屬導(dǎo)軌位于同一水平面內(nèi)，兩導(dǎo)軌間的距離為L。導(dǎo)軌上面橫放著兩根導(dǎo)體棒ab和cd，構(gòu)成矩形回路，如圖7所示。兩根導(dǎo)體棒的質(zhì)量皆為m，電阻皆為R，回路中其余部分的電阻可不計。在整個導(dǎo)軌平面內(nèi)都有豎直向上的勻強磁場，磁感應(yīng)強度為B，兩導(dǎo)體棒均可沿導(dǎo)軌無摩擦地滑行。開始時，棒cd靜止，棒ab有平行于導(dǎo)軌且指向棒cd的初速度v0。若兩導(dǎo)體棒在運動中始終不接觸。求：

圖7

（1）在運動中兩棒中產(chǎn)生的焦耳熱最多是多少？

解析 （1）易知兩棒所受安培力大小相等，方向相反，系統(tǒng)合外力為0，因此動量守恒。

當(dāng)兩棒速度相等時，回路中感應(yīng)電流為0，由動量守恒可知mv0=2mv，共同速度；由能量守恒可得，運動中兩棒中產(chǎn)生的焦耳熱最多為

拓展1 若基本題型中兩導(dǎo)體棒開始時均靜止，棒cd受到水平恒力F的作用由靜止開始運動，其他條件均不變，請分析兩棒的運動情況。

解析 恒力F開始作用的瞬間，電路中的感應(yīng)電流為0，棒cd的加速度為，棒ab的加速度為0，隨著vcd的增大，電路中的I感增大，F(xiàn)安增大，acd減小，aab增大，但因acd＞aab，所以兩棒的速度差Δv增大。當(dāng)時，兩棒的速度差及加速度均不再變化。

拓展2 在水平面上放置的間距為L的兩根光滑的平行金屬導(dǎo)軌間，有一豎直向下的勻強磁場，如圖8所示。導(dǎo)體棒ab和cd擱置在導(dǎo)軌上，并始終垂直于導(dǎo)軌，導(dǎo)軌的左端接一電阻R，棒ab和cd電阻也均為R。當(dāng)棒ab在外力作用下以速度v勻速向右運動時，棒cd達到穩(wěn)定時的速度為_______，此時作用在棒ab上水平向右的外力F=_______，固定電阻R上消耗的熱功率是_______。

圖8

由以上分析可見，分析力電綜合類問題的基本思路與力學(xué)解題時的基本思路相同。在運用牛頓第二定律與運動學(xué)結(jié)合解題時，分析加速度與初速度的關(guān)系是解題的最關(guān)鍵的第一步，因為加速度與初速度的關(guān)系決定了物體的運動狀態(tài)。在解決電磁感應(yīng)中電路問題時，要將電磁感應(yīng)現(xiàn)象的實際問題抽象成直流電路的問題。在解決能量轉(zhuǎn)化問題時，要用能量轉(zhuǎn)化和守恒的觀點分析和解決問題。?