安徽省和縣三中 范世祥

巧破拋物線小題的幾個實(shí)用結(jié)論

安徽省和縣三中 范世祥

縱觀近幾年全國各省市的高考題，拋物線時常作為一道小題來考查。一些考生因?yàn)橐粫r未能找準(zhǔn)思路，從而陷入大量煩瑣的運(yùn)算之中，即使解答出來了，也花了很大的“成本”，從而導(dǎo)致時間不夠用，無法順利完成后面的試題。為此，筆者總結(jié)了一些可以快速攻破拋物線小題的切實(shí)可行的結(jié)論，掌握、運(yùn)用好這些結(jié)論可以取得“精、準(zhǔn)、快”的解題效果。

一、弦端點(diǎn)坐標(biāo)問題

結(jié)論2 （結(jié)論1的推廣）已知直線l與拋物線y2=ax（a＞0）相交于點(diǎn)A（x1，y1）、B（x2，y2），且與x軸相交于點(diǎn)M（m，0），則有x1x2=m2，y1y2=-am。（證明略）

例1 已知F是拋物線y2=x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A、B在該拋物線上且位于x軸的兩側(cè)，O→A·O→B=2（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)），則△ABO與△AFO面積之和的最小值是_______。

二、焦點(diǎn)弦長問題

結(jié)論3 已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有。

結(jié)論4 已知AB是拋物線y2=ax（a＞0）的焦點(diǎn)弦，且A（x1，y1），B（x2，y2），點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn)，則有（θ為直線AB的傾斜角）。

例2 過拋物線y2=4x的焦點(diǎn)F的直線交該拋物線于A、B兩點(diǎn)，若|AF|=3，則|BF|=_______。

三、焦點(diǎn)三角形面積問題

例3 設(shè)F為拋物線C：y2=3x的焦點(diǎn)，過F且傾斜角為30°的直線交C于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則△OAB的面積為_______。

四、以極點(diǎn)和極線為背景的問題

結(jié)論6 設(shè)AB為拋物線的焦點(diǎn)弦，則該拋物以A、B為切點(diǎn)的切線的交點(diǎn)軌跡是它的準(zhǔn)線；反之，由拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，切點(diǎn)為A、B，則AB為焦點(diǎn)弦。

證明 設(shè)拋物線y2=2px（p＞0），

則點(diǎn)A、B處的切線方程分別為y1y=p（x+x1）和y2y=p（x+x2），

設(shè)兩切線的交點(diǎn)為M（x0，y0），則有y1y0=p（x0+x1），y2y0=p（x0+x2）。

這說明切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線y0y=p（x+x0）上，

因此直線AB的方程為y0y=p（x+x0），

將焦點(diǎn)坐標(biāo)代入直線AB的方程y0y=p（x+x0）后得到，

即兩切線交點(diǎn)M（x0，y0）在準(zhǔn)線l：上。

反之，設(shè)拋物線y2=2px（p＞0），點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2），

因?yàn)閽佄锞€在點(diǎn)A、B處的切線方程可分別表示為y1y=p（x+x1）和y2y=p（x+x2），且切線均經(jīng)過，

這說明切點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）都在直線上，

結(jié)論7 若拋物線的兩條切線相互垂直，則這兩條切線的交點(diǎn)的軌跡是它的準(zhǔn)線；反之，由拋物線準(zhǔn)線上任一點(diǎn)向拋物線引兩條切線，這兩條切線必互相垂直。

證明 設(shè)自一點(diǎn)M（x0，y0）向拋物線y2=2px（p＞0）所引切線的方程為y=k（x-x0）+y0（k≠0），

即由拋物線的準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引拋物線的兩切線必互相垂直。

解析幾何中像這樣可以引申、推廣的規(guī)律有很多。只要我們平時經(jīng)?？偨Y(jié)、歸納同類題的解題方法，并注意探究和發(fā)掘變換事物中所蘊(yùn)含的一般規(guī)律，就一定會有更多驚喜的發(fā)現(xiàn)。