許明泉

[摘 要] 數(shù)學(xué)解題教學(xué)是數(shù)學(xué)課程教學(xué)的重要組成部分，在初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，解題教學(xué)的重要性是不言而喻的，學(xué)生解題能力的提升是一線教師重點(diǎn)關(guān)注的教學(xué)目標(biāo)，本文從四個(gè)方面重點(diǎn)分析“配方法”在初中數(shù)學(xué)解題中的重要運(yùn)用，進(jìn)一步體現(xiàn)數(shù)學(xué)解題方法和技巧的重要性和實(shí)效性.

[關(guān)鍵詞] 初中數(shù)學(xué)；解題教學(xué)；配方法；利器

配方法是初中數(shù)學(xué)中極為重要的式子變形方法，它在數(shù)學(xué)題目中的應(yīng)用隱含了創(chuàng)造條件并實(shí)現(xiàn)化歸的思想，這種思想對(duì)培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)能力以及數(shù)學(xué)整體思維具有很大的影響. 配方法不僅僅有推導(dǎo)一元二次方程求根公式這個(gè)典型的應(yīng)用，在因式分解、化簡(jiǎn)二次根式、解方程以及求代數(shù)式最值等問(wèn)題中都會(huì)有廣泛的使用. 在中考中也頻頻出現(xiàn)，逐步成為初中數(shù)學(xué)中的一種很重要、很基本的數(shù)學(xué)方法. 筆者具有多年數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，對(duì)配方法的應(yīng)用具有一定的研究與探索，下面舉例說(shuō)明配方法在解初中數(shù)學(xué)題中的簡(jiǎn)單應(yīng)用，希望對(duì)相關(guān)人士有所幫助.

方程巧解，減少計(jì)算

配方法的使用對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)印象最深刻的就是教師在黑板上推導(dǎo)一元二次方程的求根公式的時(shí)候，那是學(xué)生首次接觸配方法. 其實(shí)配方法不僅在公式推導(dǎo)的時(shí)候十分便捷，對(duì)于某些解一元二次方程的題目也有很多幫助. 只要學(xué)生能用心去體驗(yàn)、去感悟，就能夠明白配方法的妙用.

某些特殊的一元二次方程確實(shí)利用配方法解決比較簡(jiǎn)單，如果采用平時(shí)的正常思維來(lái)解題反倒是有些困難，對(duì)學(xué)生造成困擾. 例如，下面這道題中就可以明顯地看出配方法的優(yōu)勢(shì)：求解方程x2-2x-323=0. 這道題目非常簡(jiǎn)單，一般的學(xué)生都會(huì)想到使用求根公式來(lái)解決，只要將原題中的a，b，c代入求根公式中，逐一求解便好. 但是，這樣解題的學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)，運(yùn)算過(guò)程比較麻煩，計(jì)算量相對(duì)較大，一個(gè)不注意學(xué)生可能就會(huì)解不出或者解錯(cuò)這個(gè)一元二次方程. 如果換一個(gè)思路，那也許就會(huì)有不同的發(fā)現(xiàn)與體驗(yàn). 配方法就是另一個(gè)思路，能夠讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)解題的捷徑. 將上述方程做一個(gè)簡(jiǎn)單的變動(dòng)，變成x2-2x+1-1-323=0的形式，這樣式子就得到了轉(zhuǎn)化：x2-2x+1=324，即（x-1）2=324. 此時(shí)就能十分輕松地得到x-1=±18，即x=19或x=-17. 利用這種方法求解，明顯比直接利用公式法求解的計(jì)算量小，而且計(jì)算也比較簡(jiǎn)單. 當(dāng)然，教師并不能否定公式法解題，畢竟公式法是最常用的解題方式，只是對(duì)于不同類(lèi)型的題目，方法的選擇十分重要而已. 教師要在課堂上幫助學(xué)生分析配方法解決一元二次方程的特點(diǎn)以及使用范疇，學(xué)生只有明白了何時(shí)用配方法、什么條件下用配方法，才能夠?qū)⑴浞椒ń忸}使用得淋漓盡致.

配方法是解決一元二次方程的一個(gè)巧妙方法，利用得當(dāng)會(huì)給學(xué)生帶來(lái)極大的便利. 所以教師在平時(shí)授課中要多多滲透這一方法的使用，讓其在學(xué)生心中留下一定的地位，在用到時(shí)，能夠隨時(shí)想到.

因式分解，配方化簡(jiǎn)

我們都知道配方法的原型是完全平方公式，即a2+b2±2ab=（a±b）2. 而在配方的過(guò)程中也會(huì)有三種不同的表現(xiàn)形式：①已知一個(gè)平方項(xiàng)和積的二倍配另一個(gè)平方項(xiàng)，即由a2±2ab配上b2；②已知兩個(gè)平方項(xiàng)配積的二倍，即由a2+b2配上2ab；③已知積的二倍配兩個(gè)平方項(xiàng)，即由2ab配a2和b2. 這就是配方法使用的主旋律，它在因式分解中的應(yīng)用極為廣泛.

因式分解在初中數(shù)學(xué)中也是十分重要的，在各屆中考中都會(huì)有因式分解的考題出現(xiàn). 所以教師在平時(shí)授課中，對(duì)因式分解的講授一定要細(xì)致，不可馬馬虎虎、敷衍了事. 教師要細(xì)心地為學(xué)生講解各類(lèi)因式分解的習(xí)題，讓學(xué)生能夠掌握解題要領(lǐng)，也要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)候?qū)⑴浞椒B透進(jìn)去，讓學(xué)生接受. 例如，下面這道習(xí)題：因式分解x4-27x2+1. 這就是屬于特殊的因式分解的題型，與正常的題型有很大的區(qū)別. 按照正常的解題方法，學(xué)生可能找不到分解思路，反而會(huì)越做越難. 但是明白配方法的學(xué)生就會(huì)覺(jué)得這道題其實(shí)十分簡(jiǎn)單，只需要將x2看做平時(shí)的x即可. 這樣就能夠?qū)⑺拇蝺缁?jiǎn)為二次冪，與之前所說(shuō)的配方法掛上鉤. 我們可以這樣來(lái)解題，令y=x2，則原式就變?yōu)閥2-27y+1，稍作改變就會(huì)成為y2-2y+1-27y+2y=（y-1）2-25y. 再將y=x2代入上式，可得（x2-1）2-25x2. 再利用所學(xué)的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)得到答案為（x2-1-5x）（x2-1+5x）. 其實(shí)這道因式分解的題就是屬于上面所說(shuō)的第二種變形方式，即由a2+b2配上2ab. 因式分解的題型很多，也會(huì)出現(xiàn)方式一或者方式三這兩種情況. 教師要讓學(xué)生多多接觸題型，培養(yǎng)學(xué)生的隨機(jī)應(yīng)變能力. 這道題唯一不同的是，使用了一次換元法，令y=x2. 其實(shí)如果是學(xué)生比較熟練的話，可以不用換元，直接用x2即可.

這種因式分解其實(shí)是必須使用配方法的，只有通過(guò)配方法才能將高次冪降為低次冪，使得問(wèn)題得到簡(jiǎn)化. 學(xué)生要明白配方的那三種不同的表現(xiàn)形式，只有靈活運(yùn)用，才能夠面對(duì)更多的不可預(yù)料的數(shù)學(xué)習(xí)題.

極值速求，合理分配

初中代數(shù)中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)求代數(shù)式的最大值或者最小值的題型，也會(huì)遇到同樣的情況. 在解題時(shí)，學(xué)生需要想盡各種辦法將式子向配方法那三種不同的表現(xiàn)形式靠攏，達(dá)到簡(jiǎn)化式子的目的，讓題目變得簡(jiǎn)單，學(xué)生做起來(lái)也會(huì)得心應(yīng)手.

對(duì)于求最大值或者最小值的題型，教師可以不必做到面面俱到. 可以只講求最大值的方法，而求最小值的方法讓學(xué)生自己研究探索，培養(yǎng)學(xué)生的自主探究能力. 教師只要將解題技巧傳授給學(xué)生，其他的就交給學(xué)生自由發(fā)揮，提升自己的解題速度. 例如，求下面代數(shù)式的最大值或者最小值：-2x2-12x+2. 首先，我們還不知道這個(gè)式子存在的是最大值還是最小值，需要在解題過(guò)程中自主去發(fā)現(xiàn). 對(duì)原式變形得到-2（x2+6x-1）. 由此聯(lián)想到配方法的使用，將式子變?yōu)?2（x2+6x+9-9-1），即-2（x+3）2+20，由于-2（x+3）2肯定小于或等于零，所以原式肯定小于或等于20，即式子存在最大值為20. 在這道題中，配方法最大的作用就是得到的a2或者b2是肯定大于零的，這對(duì)于存在常數(shù)的式子來(lái)說(shuō)求最大值以及最小值是極為便利的，這就是配方法在求最大值和最小值中應(yīng)用的最大妙處. 學(xué)生只有領(lǐng)悟了這一點(diǎn)，才能夠明白配方法在求最值的題型中的使用方式，為將來(lái)的解題帶來(lái)便利.

在做這樣的題目時(shí)，學(xué)生要有整體思想，將眼光放在整個(gè)題目中，切不可緊緊抓住某一個(gè)未知數(shù)死死不放，那樣會(huì)阻礙學(xué)生的視角，無(wú)法發(fā)現(xiàn)解題的方法. 配方法的應(yīng)用十分重要，教師要在習(xí)題課中多多提醒學(xué)生，讓學(xué)生不要將這個(gè)方法忽略，這對(duì)某些特殊題型來(lái)說(shuō)是很大的助力.

代數(shù)求值，整體把握

在代數(shù)求值中配方是一種常用的技巧，也可以將配方法那三種不同的表現(xiàn)形式適當(dāng)?shù)匾眠^(guò)來(lái)，為數(shù)學(xué)解題服務(wù). 在這種題型中，教師需要做的就是要培養(yǎng)學(xué)生的配方意識(shí)，見(jiàn)到什么樣的式子會(huì)聯(lián)想到配方法，讓這一系列的思維變成一種條件反射，學(xué)生只要遇到類(lèi)似的就能夠整體把握，找到解題策略.

代數(shù)求值對(duì)于初中生來(lái)說(shuō)是比較復(fù)雜的，需要學(xué)生對(duì)各方面的知識(shí)都有一個(gè)獨(dú)到的了解，是綜合性十分強(qiáng)的題目. 例如，已知a-b=3，b-c=2，求a2+b2+c2-2ab-bc-ac的值. 這道題乍一看根本就無(wú)法解決，題目中存在三個(gè)未知數(shù)，而給出的方程卻只有兩個(gè)，所以通過(guò)求出a，b，c的值來(lái)求出上面代數(shù)式的值這條路是走不通的. 面對(duì)這種情況，學(xué)生只能另尋他法，從大處著眼，將所給的兩個(gè)方程作為一個(gè)數(shù)看作是已知條件. 而我們要做的就是將a2+b2+c2-2ab-bc-ac進(jìn)行改變，直到全部能夠用a-b=3和b-c=2來(lái)表示為止. 這就是對(duì)學(xué)生變換能力的考查，需要扎實(shí)的基本功. 另外由a-b=3和b-c=2，我們還可以得到a-c=5. 這個(gè)條件我們同樣可以加入到變換的范疇中去. 所以，代數(shù)式只要含有a-b，b-c和a-c即可. 而這個(gè)變化的過(guò)程就需要使用到配方法，將代數(shù)式中的a2+b2+c2分別化成含有（a-b）2，（b-c）2和（a-c）2的形式，之后再將已知中的數(shù)代入其中即可得到答案. 具體求解過(guò)程，在此不再贅述，重要的是解題方法. 只要學(xué)生能夠掌握解題模式，其他的都會(huì)變得十分簡(jiǎn)單.

代數(shù)求值也需要學(xué)生有一個(gè)善于發(fā)現(xiàn)的眼睛，能夠找到已知與所求之間存在的聯(lián)系，抓到共同點(diǎn)，才會(huì)有解題方法的迸發(fā).

配方法在初中數(shù)學(xué)中占有非常重要的地位，同時(shí)也是代數(shù)中恒等變形的重要手段，可以用來(lái)討論極值關(guān)系，也可以用來(lái)代數(shù)求值. 教師要將配方法的精髓全部教給學(xué)生，讓學(xué)生能夠利用這把利器在數(shù)學(xué)題海中自由翱翔.