韓美佳，黃土森

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

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擬齊次平面多項(xiàng)式系統(tǒng)的逆積分因子

韓美佳，黃土森

(浙江理工大學(xué)理學(xué)院，杭州 310018)

逆積分因子是研究平面多項(xiàng)式系統(tǒng)可積性問(wèn)題的重要工具。對(duì)于擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)，利用廣義Euler定理證明了它一定存在多項(xiàng)式逆積分因子，并給出了具體表達(dá)式；對(duì)于由兩個(gè)擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的和所定義的多項(xiàng)式系統(tǒng)，給出存在多項(xiàng)式逆積分因子的一個(gè)充分條件，并由此給出幾類特殊多項(xiàng)式系統(tǒng)的逆積分因子的計(jì)算公式。給出的幾個(gè)多項(xiàng)式逆積分因子計(jì)算例子表明這些結(jié)論推廣了已有成果。

擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)；多項(xiàng)式逆積分因子；擬齊次分解

0 引 言

平面自治微分系統(tǒng)可表示為：

(1)

其中P和Q是一個(gè)從R2的一個(gè)開集U到R的Cr映射，r≥1。令W是U的一個(gè)開子集。對(duì)于一個(gè)可微的非常值函數(shù)V：

V:W→R.

如果它滿足一階線性偏微分方程：

則稱V(x,y)為系統(tǒng)(1)的在W上的一個(gè)逆積分因子[1]。進(jìn)一步，如果W=R2，且V:R2→R還是一個(gè)多項(xiàng)式，則稱V(x,y)為系統(tǒng)(1)的多項(xiàng)式逆積分因子。

系統(tǒng)(1)的逆積分因子具有以下一些重要性質(zhì)：

a)V-1(0)={(x,y)∈W|V(x,y)=0}由系統(tǒng)(1)的軌線組成[2-3]。

c)若系統(tǒng)(1)在W上存在極限環(huán)γ，則γ?V-1(0)[4]；進(jìn)一步，如果Г是位于W中由鞍點(diǎn)與正則軌線組成的多環(huán)，則Γ?V-1(0)[3]。

系統(tǒng)(1)的這些性質(zhì)表明：逆積分因子是研究可微平面系統(tǒng)的可積性問(wèn)題[1, 5]、中心問(wèn)題[6-7]和平面多項(xiàng)式系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)與分布問(wèn)題[2,8]的重要工具之一。一般而言，系統(tǒng)的逆積分因子的表達(dá)式比首次積分簡(jiǎn)單，定義域比首次積分的大[1]。因此，如何求得給定系統(tǒng)(1)的逆積分因子對(duì)確定系統(tǒng)性態(tài)具有重要作用[9]。

本文首先給出擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的多項(xiàng)式逆積分因子的表達(dá)式；然后把文獻(xiàn)[15]中由兩個(gè)齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的和所定義的多項(xiàng)式系統(tǒng)推廣到擬齊次的情形，給出存在多項(xiàng)式逆積分因子的一個(gè)充分條件，并由此給出幾類特殊多項(xiàng)式系統(tǒng)的多項(xiàng)式逆積分因子的計(jì)算公式；最后給出例子以說(shuō)明這些推廣的實(shí)用性。

1 主要結(jié)果及其證明

考慮多項(xiàng)式系統(tǒng)：

(3)

(4)

引理1 (廣義Euler定理) 設(shè)f(x,y)是t型k次的擬齊次多項(xiàng)式，則恒等式(5)成立。

(5)

定理1 對(duì)于t型k次的擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)：

(6)

則它有多項(xiàng)式逆積分因子：

(7)

證明 只需驗(yàn)證(7)滿足(2)。實(shí)際上，因?yàn)椋?/p>

又由引理1知，

所以：

證畢。

文獻(xiàn)[12]研究如下形式

(8)

的多項(xiàng)式系統(tǒng)存在多項(xiàng)式逆積分因子的必要條件，其中Pk(x,y)和Qk(x,y)均為k次齊次多項(xiàng)式，k=0,1,…,n。而文獻(xiàn)[15]研究如下形式

(9)

的多項(xiàng)式系統(tǒng)存在多項(xiàng)式逆積分因子的充分條件，其中Pk(x,y)和Qk(x,y)均為k次齊次多項(xiàng)式，k=n,m。本文把這些結(jié)論推廣到多項(xiàng)式系統(tǒng)進(jìn)行擬齊次分解的情形，即對(duì)任意給定的t=(t1,t2)，把系統(tǒng)(3)寫成系統(tǒng)(4)的形式。因?yàn)橄到y(tǒng)(6)有形如

(10)

的多項(xiàng)式逆積分因子，其中“·”表示內(nèi)積，因此有理由假設(shè)式(4)有形如

(11)

的多項(xiàng)式逆積分因子，其中Ck是待定常數(shù)，k=r,…,n。為使系統(tǒng)(11)是系統(tǒng)(4)的多項(xiàng)式逆積分因子，只需把系統(tǒng)(11)代入系統(tǒng)(2)，并讓等式兩邊的同次冪系數(shù)相等，得到關(guān)于待定常數(shù)Ck的代數(shù)方程組。一般地，這個(gè)代數(shù)方程組是超定的，這也表明系統(tǒng)(4)未必有多項(xiàng)式逆積分因子，但由此可以研究系統(tǒng)(4)存在具有形式為系統(tǒng)(11)的多項(xiàng)式逆積分因子的充分條件?，F(xiàn)在本文利用這種方法研究形如

(12)

的多項(xiàng)式系統(tǒng)存在多項(xiàng)式逆積分因子的充分條件，不妨設(shè)n≠m。

定理2 對(duì)于系統(tǒng)(12)，如果存在實(shí)常數(shù)Cn≠Cm，滿足

則系統(tǒng)(12)有形如

的多項(xiàng)式逆積分因子。

證明 記

則V(x,y)=CnVn(x,y)+CmVm(x,y)?，F(xiàn)只需要證明V(x,y)滿足系統(tǒng)(2)。因?yàn)椋?/p>

所以：

而

[Cn(n+t1+t2)-Cm(m+t1+t2)]

如果允許Cn=Cm，則為使

是系統(tǒng)(12)的多項(xiàng)式逆積分因子，則由于n≠m，因此

Pm+t1Qn+t2-Pn+t1Qm+t2=0

成立,即系統(tǒng)(12)的右邊不是互素的，導(dǎo)致系統(tǒng)(12)的原點(diǎn)不是孤立奇點(diǎn)。

推論1 對(duì)于系統(tǒng)(12)，如果

推論2 對(duì)于系統(tǒng)

(13)

如果

成立,其中C1≠C2是實(shí)常數(shù)，則它存在多項(xiàng)式逆積分因子

推論3 對(duì)于系統(tǒng)(13)，如果成立

則它存在多項(xiàng)式逆積分因子

2 例 子

本節(jié)給出兩個(gè)例子說(shuō)明本文定理的應(yīng)用，以此說(shuō)明本文的結(jié)果推廣了文獻(xiàn)[12, 15]中的結(jié)論。

例1 考慮系統(tǒng)

(14)

V(x,y)=2x9y3+2x12y-3y9-3x3y7-3x6y5。

例2 取t=(t1,t2)=(2,3)，考慮系統(tǒng)[17]

(15)

其中:

-2x15y，

15x14y2+2x17.

因?yàn)?/p>

所以由推論1知，系統(tǒng)(15)存在多項(xiàng)式逆積分因子：

V(x,y)=-3y9-27x3y7+27x6y5-27x9y3+

27x12y-27x3y10+27x6y8-27x9y6+

27x12y4-27x15y2-3x18.

注意到，由于系統(tǒng)(14)和(15)都不是齊次系統(tǒng)，也不是形式(9)的系統(tǒng)，因此不能利用文獻(xiàn)[12, 15]中的結(jié)論求它們的多項(xiàng)式逆積分因子。

3 結(jié) 論

由于逆積分因子包含了微分方程系統(tǒng)的一些重要信息，因此它是研究可微平面系統(tǒng)的可積性問(wèn)題、中心問(wèn)題和平面多項(xiàng)式系統(tǒng)極限環(huán)個(gè)數(shù)與分布問(wèn)題等定性理論中經(jīng)典問(wèn)題的重要工具之一。對(duì)于一個(gè)給定的多項(xiàng)式系統(tǒng)，要判斷它是否存在逆積分因子，以及如果存在,如何求它的逆積分因子十分困難。而對(duì)于一個(gè)多項(xiàng)式系統(tǒng)，要判斷它是否存在多項(xiàng)式逆積分因子、如果存在如何求出這樣的逆積分因子就更困難。本文對(duì)于擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)，證明了總存在多項(xiàng)式逆積分因子并給出了它的具體表達(dá)式；進(jìn)而對(duì)于由兩個(gè)擬齊次多項(xiàng)式系統(tǒng)的和所定義的多項(xiàng)式系統(tǒng)，通過(guò)假設(shè)逆積分因子的特定形式，給出存在多項(xiàng)式逆積分因子的一個(gè)充分條件，并由此給出幾類特殊多項(xiàng)式系統(tǒng)的逆積分因子的計(jì)算公式；最后通過(guò)兩個(gè)例子計(jì)算多項(xiàng)式逆積分因子以說(shuō)明本文結(jié)果推廣了已有成果。對(duì)存在多項(xiàng)式逆積分因子的多項(xiàng)式系統(tǒng)進(jìn)行分類有待繼續(xù)研究。

[1] CHAVARRIGA J, GIACOMINI H, GINE J, et al. On the integrability of two-dimensional flows[J]. Journal of Differential Equations,1999,157(1):163-182.

[2] GIACOMINI H, LLIBREZ J, VIANO M. On the nonexistence, existence and uniqueness of limit cycles[J]. Nonlinearity,1996,9(2):501-516.

[3] BERRONE L R, GIACOMINI H. On the vanishing set of inverse integrating factors[J]. Qualitative Theory of Dynamical Systems,2000,1(2):211-230.

[4] GIACOMINI H, VIANO M. Determination of limit cycles for two-dimensional dynamical systems[J]. Physical Review E,1995,52(1):222-228.

[5] CHAVARRIGA J, GIACOMINI H, GINE J, et al. Darboux integrability and the inverse integrating factor[J]. Journal of Differential Equations,2003,194(1):116-139.

[6] GINE J. The nondegenerate center problem and the inverse integrating factor[J]. Bulletin Des Sciences Mathématimatiques,2006,130(2):152-161.

[7] GINE J. On the centers of planar analytic differential systems[J]. International Journal of Bifurcation and Chaos in Applied Sciences and Engineering,2007,17(9):3061-3070.

[8] GINE J, LLIBRE J. Integrability and algebraic limit cycles for polynomial differential systems with homogeneous nonlinearities[J]. Journal of Differential Equations,2005,197(2):531-545.

[9] GARCIA I A, GRAU M. A survey on the inverse integrating factor[J]. Qualitative Theory of Dynamical Systems,2010,9(1):115-166.

[10] CHAVARRIGA J. Integrable systems in the plane with a center type linear part[J]. Applicationes Mathematicae,1994,22(2):285-309.

[11] CHAVARRIGA J, GINE J. Integrable systems via inverse integrating factor[J]. Extracta Mathematicae,1998,13(1):41-60.

[12] CHAVARRIGA J, GIACOMINI H, GINE J. Polynomial inverse integrating factors[J]. Annals Differential Equations,2000,16(4):320-329.

[13] WALCHER S. Local integrating factors[J]. Journal of Lie Theory,2003,13(1):279-289.

[14] FERRAGUT A. Polynomial inverse integrating factors of quadratic differential systems and other results[D]. Universitat Autonoma de Barcelona,2006：33-110.

[15] AL-DOSARY K I T. Inverse integrating factor for classes of planar differential systems[J]. International Journal of Mathematical Analysis,2010,4(29):1433-1446.

[16] HU Y, CHEN Y. The inverse integrating factor for some classes of n-th order autonomous differential systems[J].Journal of Mathematical Analysis and Applications,2015,423(2):1081-1088.

[17] ALGABA A, GAMERO E, GARCIA C. The integrability problem for a class of planar systems[J]. Nonlinearity,2009,22(2):395-420

[18] COLL B, GASULL A, PROHENS R. Differential equations defined by the sum of two quasi-homogeneous vector fields[J]. Canadian Journal of Mathematics,1997,49(2):212-231.

(責(zé)任編輯： 康 鋒)

Inverse Integrating Factors of Quasi-Homogeneous Planar Polynomial Systems

HANMeijia,HUANGTusen

(School of Sciences, Zhejiang Sci-Tech University, Hangzhou 310018, China)

The inverse integrating factor is an important tool to study the integrability problem of planar polynomial systems. For a quasi-homogeneous polynomial system, the existence of polynomial inverse integrating factor is proved by using the generalized Euler’s theorem, and the explicit expression is given. For a polynomial system defined by the sum of two quasi-homogeneous polynomial systems, a sufficient condition for the existence of a polynomial inverse integrating factor is given. Then, the computing formulas of inverse integrating factors for several special polynomial systems are given. The computing examples illustrate that the results in this paper generalize the existing conclusions.

quasi-homogeneous polynomial system; polynomial inverse integrating factor; quasi-homogeneous decomposition

10.3969/j.issn.1673-3851.2016.11.024

2016-03-02

浙江省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(LY15A010021)

韓美佳(1992-)，女，山東青島人，碩士研究生，主要從事微分方程定性理論方面的研究。

O175.14

A

1673- 3851 (2016) 06- 0939- 06 引用頁(yè)碼： 110801