杜佩佩，肖昌潤，張 露，鄭文龍，焦玉超

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，武漢 430033)

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【基礎(chǔ)理論與應(yīng)用研究】

基于RANS方法超空泡流數(shù)值計算方法研究

杜佩佩，肖昌潤，張 露，鄭文龍，焦玉超

(海軍工程大學(xué) 艦船工程系，武漢 430033)

為了得到超空泡流準(zhǔn)確的數(shù)值計算方法，基于烏克蘭國家科學(xué)院IHM的空泡形態(tài)計算經(jīng)驗(yàn)公式與Logvinovich空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張原理，利用數(shù)值優(yōu)化的方法，建立了空泡形態(tài)計算模型；采用有限體積法驗(yàn)證了超空泡流的數(shù)值離散方法，對不同空化數(shù)下，5種兩方程RANS模型進(jìn)行了數(shù)值計算，數(shù)值計算結(jié)果與基于經(jīng)驗(yàn)公式的空泡驗(yàn)證模型比較表明：Kω-Sst模型相比其他兩方程RANS模型準(zhǔn)確度更高，關(guān)于空泡最大截面直徑的無量綱計算誤差小于14%；對空泡長度的數(shù)值計算誤差小于8%，空化數(shù)小于0.01時，小于4%?；诮⒌臏?zhǔn)確數(shù)值計算模型，對空化數(shù)為0.015時超空泡航行體進(jìn)行了流場特性數(shù)值計算。結(jié)果表明：由于空化器銳緣影響，在空化器后部形成了高速氣流區(qū)域并且存在明顯的速度梯度，艏部空化器附近承受靜水壓力達(dá)123個大氣壓?；跀?shù)值計算結(jié)果，為超空泡航行體設(shè)計提供了改進(jìn)意見。

超空泡；湍流模型；有限體積法；CFD

超空泡技術(shù)早期主要通過理論研究，利用試驗(yàn)進(jìn)行理論修正，得到了很多經(jīng)典的空泡流知識：如Helmholtz等人的自由流線理論， Levi-Civita[1]和Villat[2]在其基礎(chǔ)上進(jìn)一步的研究，增強(qiáng)了該理論在強(qiáng)烈擾動和高彎曲度繞流問題的適用性；Wu[3]經(jīng)過一系列分析，提出了一種非線性自由流線理論，可以解決非零空化數(shù)的空泡流問題，但是對復(fù)雜繞流問題的處理能力，尤其是其尾部封閉區(qū)域超空泡流的水動力問題，至今沒有得到很好解決。

對于超空泡航行體的CFD模擬，主要是基于RANS方法的兩方程渦黏模型和Reynolds代數(shù)應(yīng)力模型(ASM)。涉及到兩相、甚至三相以上的多相流問題，自然超空泡的研究主要是應(yīng)用均相流的Mixture模型，通氣超空泡的研究主要使用VOF模型[4]。對于空泡產(chǎn)生過程中水汽質(zhì)量輸運(yùn)過程，早期主要使用Singhal等人提出的Singhal完全空化模型進(jìn)行分析，近年來主要應(yīng)用基于Rayleigh-Plesset方程的Zwart-Gerber-Belamri模型和Schnerr and Sauer模型。

1969年，在Reichardt等人的研究基礎(chǔ)上，Logvinovich提出了可以解決非定常軸對稱空泡問題的Logvinovich原理(即空泡截面獨(dú)立膨脹原理)。Serebryakow[5]、Pellone[6]等人對該理論進(jìn)行了完善，推導(dǎo)出幾個適用性更強(qiáng)的空泡截面發(fā)展方程，用偏微分方程加入空泡延遲效應(yīng)研究空泡截面發(fā)展。隨后Serebryakow等[5]利用細(xì)長體理論，分析超空泡航行體跨、超音速運(yùn)行時的定常流動，建立了一系列空泡發(fā)展模型。國內(nèi)高強(qiáng)等[7]主要在該理論的基礎(chǔ)上推導(dǎo)了超空泡的形態(tài)發(fā)展方程和跨、超音速流動時的微積分方程，開始利用回轉(zhuǎn)體線性源匯的方法，求解超空泡航行體的空泡形態(tài)尺寸和流場壓力分布情況。

對于流場計算過程，主要通過湍流模型對計算方程進(jìn)行封閉。文獻(xiàn)[8]比較了ASM模型、RNGk-ε模型和標(biāo)準(zhǔn)的k-ε模型結(jié)合3種壁面函數(shù)處理方法，認(rèn)為ASM模型和RNGk-ε模型，同時結(jié)合增強(qiáng)壁面函數(shù)法計算精度較高；文獻(xiàn)[9]選用了RNGk-ε模型，認(rèn)為其可以更好地處理應(yīng)變率高、流線變化大的流動問題；文獻(xiàn)[10]比較了SSTk-ωDES、k-ε模型對航行體非定常運(yùn)動過程的數(shù)值模擬，認(rèn)為SSTk-ωDES模型精度更高。

由于超空泡流本身的復(fù)雜性，超空泡航行體CFD數(shù)值模擬方法難度較高。截止目前為止，多通過空泡形態(tài)以及數(shù)值模擬結(jié)果相互比較的方法驗(yàn)證或者選取計算模型，還沒有給出定量的數(shù)值比較和較為準(zhǔn)確的超空泡流場的CFD算法，本文應(yīng)用基于Rayleigh-Plesset方程的Schnerr and Sauer空化模型，選用Mixture的均相流模型，基于烏克蘭國家科學(xué)院IHM的空泡形態(tài)計算經(jīng)驗(yàn)公式與Logvinovich空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張原理建立新的空泡形態(tài)計算模型，采用有限體積法，通過對不同空化數(shù)下，5種兩方程RANS方法湍流模型的空泡長度、徑向最大寬度等形態(tài)參數(shù)數(shù)值計算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式比較，提出了準(zhǔn)確的超空泡航行體CFD數(shù)值計算方法。在建立準(zhǔn)確數(shù)值計算模型基礎(chǔ)上，對超空泡流場特性進(jìn)行了分析，為超空泡航行體設(shè)計提出了改進(jìn)意見，凸顯了CFD優(yōu)勢。

1 數(shù)值計算方法

1.1 基本數(shù)學(xué)模型

雷諾平均模型，是將瞬時的Navier-Stokes方程求解變量分解成平均的(時間平均和總體平均)和波動的分量。速度分量為：

(1)

(2)

式中φ可以為壓力、能量或者組分濃度。

將以上兩公示的表達(dá)形式帶入瞬時的連續(xù)性方程和動量方程，同時取時間平均和總體平均的動量方程，得到了如下的笛卡爾坐標(biāo)形式的雷諾平均Navier-Stokes方程。

(3)

(4)

本文選擇基于Rayleigh-Plesset方程的Schnerr and Sauer空化模型，考慮氣泡的生長和潰滅，氣液兩相輸運(yùn)方程為：

(5)

其對應(yīng)的蒸發(fā)和凝結(jié)速率可分別表示為：

(6)

(7)

其中：pc為水的飽和蒸汽壓，取3 169 Pa；Cprod、Cdest分別取1、2。

氣泡半徑R通過下式計算：

(8)

1.2 RANS兩方程模型

1) Standardk-ε模型

標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型的湍動能k和湍動耗散率ε可以通過以下兩式進(jìn)行計算。

(9)

(10)

(11)

式中，Gk表示平均速度分量產(chǎn)生的湍動能；Gb表示由于浮力作用所產(chǎn)生的湍動能；YM表示可壓縮湍動流中由于脈動膨脹所產(chǎn)生的湍動能量耗散；C1ε=1.44、C2ε=1.92、Cμ=0.09σk=1.0、σε=1.3為常數(shù)，Sk和Sε為自定義源項(xiàng)。

2) RNGk-εModel

RNGk-ε模型的輸運(yùn)方程與標(biāo)準(zhǔn)k-ε模型相同。湍動黏性滿足：

(12)

3) Realizablek-ε模型

Realizablek-ε模型的輸運(yùn)方程為：

(13)

(14)

4) Standardk-ω模型

Standardk-ω模型的湍動能k和湍動耗散率ω可以通過下列公示確定。

(17)

5)Shear-StressTransport(SST)k-ω模型

SSTk-ω模型的輸運(yùn)方程與Standardk-ω方程相同。湍動黏性通過以下計算。

(18)

其中S是應(yīng)變率的大小，并且：

1.3 研究對象和計算條件

本文選取文獻(xiàn)[5]中給出的無尾翼魚雷模型(如圖1所示)，進(jìn)行超空泡航行體數(shù)值計算方法的研究。主要包括圓盤空化器、尾噴管、錐柱段彈體。主要幾何尺寸：空化器直徑(Dn)為10 mm，模型總長(Ln)520 mm，最大直徑為38 mm，尾噴管直徑19 mm。目前在對超空泡航行體CFD模擬，該模型應(yīng)用廣泛、方法成熟、試驗(yàn)技術(shù)成熟，許多專家、學(xué)者都以此為對象進(jìn)行超空泡的探索、研究。

基于以上幾何模型，利用ICEM軟件，建立標(biāo)準(zhǔn)的三維結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格，對圓盤空化器入口表面、側(cè)面以及錐段體等進(jìn)行局部加密。

計算域的進(jìn)口采用速度入口，通過入口速度的改變實(shí)現(xiàn)空化數(shù)的調(diào)整。出口采用壓力出口，遠(yuǎn)場采用固壁邊界條件。使用SIMPLE壓力-速度耦合項(xiàng)，采用標(biāo)準(zhǔn)的壓力離散格式，其余均采用一階迎風(fēng)格式。

圖1 幾何模型

1.4 數(shù)值離散方法

在計算流體流體力學(xué)數(shù)值仿真過程中，作為前處理的數(shù)值離散方法的準(zhǔn)確性對數(shù)值計算結(jié)果準(zhǔn)確性至關(guān)重要。通常，由于網(wǎng)格之間在數(shù)值傳遞的過程中存在截斷誤差，而劃分網(wǎng)格的類型和網(wǎng)格生成的數(shù)量直接決定了誤差的大小。理論上，為了提高計算精度，降低誤差增加網(wǎng)格密度。但是考慮到計算機(jī)的計算開銷，在滿足誤差要求的前提下，盡可能降低網(wǎng)格的密度，突顯CFD的優(yōu)勢。

目前主要通過劃分結(jié)構(gòu)網(wǎng)格和非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格進(jìn)行數(shù)值離散，非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格雖然前處理過程簡單、易實(shí)現(xiàn)，但是計算收斂耗時長，對于精細(xì)流場問題的處理準(zhǔn)確度低。本文選用結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分方法，具體劃分結(jié)果如表1所示。

表1 網(wǎng)格劃分結(jié)果

圖2 160萬網(wǎng)格數(shù)目時，網(wǎng)格劃分結(jié)果

2 計算結(jié)果及分析

2.1 網(wǎng)格密度對計算結(jié)果的影響

計算得到了不同空化數(shù)下，航行體形成超空泡的長度和最大截面寬度值。由圖3和圖4可知，網(wǎng)格密度為114萬時，空泡長度低于其他網(wǎng)格密度，空泡的寬度值更加明顯。160萬網(wǎng)格密度和215萬網(wǎng)格在計算空泡長度和空泡最大截面寬度值相差不大，網(wǎng)格密度為280萬時，當(dāng)空化數(shù)大于0.02時精度明顯更高。因此，考慮到計算機(jī)的消耗機(jī)時和數(shù)值精度，在后續(xù)數(shù)值計算中選取網(wǎng)格密度為160萬，同時限定空化數(shù)小于0.02，確保計算精度。

圖5給出了空化數(shù)為0.01時，超空泡航行體的速度場分布圖，在空泡內(nèi)部蒸汽相的速度為0，而超空泡所產(chǎn)生的尾流影響非常明顯，可以延伸很遠(yuǎn)，所以在做非定常工況數(shù)值模擬的過程中，應(yīng)增加航行體尾流區(qū)域計算域的尺寸。

圖3 空泡長度隨空化數(shù)的變化

圖4 空泡寬度隨空化數(shù)的變化

圖5 流場速度分布示意圖

2.2 數(shù)值計算結(jié)果驗(yàn)證方法

為了驗(yàn)證選取數(shù)值計算方法的準(zhǔn)確性，本文選取了烏克蘭國家科學(xué)院IHM積累的帶圓盤空化器模型自由運(yùn)動的空泡形狀計算公式

(19)

(20)

以及Logvinovich的空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張原理式。Logvinovich在文獻(xiàn)[6]中給出了空泡的最大半徑和半長的半理論、半經(jīng)驗(yàn)計算公式，本文取空泡全長和最大截面直徑，將其修正如式(21)、式(22)所示。

(21)

(22)

通過計算可知，式(19)的計算結(jié)果和式(21)對空泡最大截面計算值相差最大可以達(dá)到11.77%，對于空泡長度的計算值相差可以達(dá)到23.32%。然而，烏克蘭國家科學(xué)院IHM的經(jīng)驗(yàn)公式是建立在大量水洞和敞水試驗(yàn)基礎(chǔ)上的，而Logvinovich空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張原理又是目前公認(rèn)的描述超空泡流最為準(zhǔn)確的計算方法。因此，為了得到較為準(zhǔn)確的驗(yàn)證結(jié)果，利用數(shù)值優(yōu)化軟件，對上述公式分別進(jìn)行6次多項(xiàng)式數(shù)值擬合，確定系數(shù)R分別為0.994 14和0.999，擬合得到無量綱空泡最大截面直徑Dc/Dn計算式和無量綱空泡長度Lc/Dn計算式如下，其結(jié)果分別如圖6、圖7所示。

圖6 Dn/Cn的擬合結(jié)果

(23)

圖7 Ln/Dn的擬合結(jié)果

(24)

通過將CFD軟件計算得到的空泡形態(tài)參數(shù)與擬合得到的結(jié)果(式(23)和式(24))進(jìn)行對比，得到數(shù)值計算誤差，進(jìn)而確定準(zhǔn)確的數(shù)值計算模型。

如表2和表3給出了擬合結(jié)果與烏克蘭國家科學(xué)院IHM的經(jīng)驗(yàn)公式與Logvinovich空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張原理關(guān)于空泡形態(tài)計算公式的計算結(jié)果對比，表明擬合結(jié)果關(guān)于無量綱空泡最大截面直徑Dc/Dn的誤差均小于8%，關(guān)于無量綱空泡長度Lc/Dn計算結(jié)果的誤差小于11%。通過計算結(jié)果與擬合結(jié)果進(jìn)行對比，充分考慮了兩類經(jīng)驗(yàn)公式優(yōu)勢：試驗(yàn)數(shù)據(jù)豐富、理論完善，得到新的空泡形態(tài)計算公式可信度更高，數(shù)值計算驗(yàn)證方法也更為準(zhǔn)確。

表2 Dc/Dn擬合結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式比較

表3 Lc/Dn擬合結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式比較

2.3 空泡形態(tài)計算結(jié)果分析

對于超空泡航行體的數(shù)值模擬，由于涉及大量氣液質(zhì)量傳輸過程，所以數(shù)值模擬復(fù)雜程度較高，計算準(zhǔn)確性難以把握。

表4給出了不同兩方程模型下的數(shù)值空泡截面寬度的無量綱數(shù)值計算結(jié)果。從表中可以看到，數(shù)值計算得到的結(jié)果均小于由擬合經(jīng)驗(yàn)公式計算得到的結(jié)果。圖8給出了不同計算模型下空泡截面寬度的計算誤差隨空化數(shù)的變化關(guān)系，當(dāng)空化數(shù)小于0.02時，數(shù)值模擬的精度較高，Kω-Sst模型的計算結(jié)果誤差基本上小于14%，相對其他計算模型準(zhǔn)確度更高。

表4 Dc/Dn擬合結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式比較

由于本文中，設(shè)計數(shù)值試驗(yàn)為敞水試驗(yàn)工況，而經(jīng)驗(yàn)公式的試驗(yàn)值及理論結(jié)果大部分均來源于水洞試驗(yàn)，計算結(jié)果受水洞影響較大。實(shí)際中，由于存在靜水壓力，對空泡截面寬度影響較大。所以，計算結(jié)果與經(jīng)驗(yàn)公式存在一定誤差。從圖8可見，空化數(shù)在0.015～0.02時數(shù)值計算結(jié)果受其他因素影響較小，計算精度可以達(dá)到小于9%。

圖8 空泡截面寬度計算結(jié)果誤差對比

表5給出了不同RANS兩方程模型空泡長度的無量綱(Lc/Dn)計算結(jié)果，不同計算模型下，空泡長度的計算結(jié)果均小于經(jīng)驗(yàn)公式的計算值。相同空化數(shù)下，不同模型計算結(jié)果相差不大。圖9比較了不同湍流模型空泡長度計算誤差隨空化數(shù)的變化結(jié)果，由圖可見，在空化數(shù)小于0.01時，Kω-Sst模型和Kω-Stan模型的計算準(zhǔn)確性較高，計算誤差小于4%，當(dāng)空化數(shù)大于0.01小于0.02時，Kω-Sst模型計算精度相比其他模型較高，可以保證小于8%。

表5 不同RANS模型空泡長度的無量綱計算結(jié)果

圖9 空泡長度計算結(jié)果誤差對比

比較不同RANS兩方程空泡最大截面寬度的計算結(jié)果和空泡長度的計算結(jié)果可知，Kω-Sst模型更適用于超空泡航行體的數(shù)值模擬。

2.4 流場特性分析

基于建立文中確定的數(shù)值計算模型，選取精確度較高的Kω-Sst模型，水深10 m，空化數(shù)為0.015時，對超空泡航行體進(jìn)行流場特性研究。

圖10給出了超空泡航行體的艏部的空泡相分布云圖和速度場云圖，從圖中可以得到當(dāng)水在空化器銳緣附近汽化后流入超空泡內(nèi)部，在空化器后部速度會急速增加達(dá)到100 m/s量級，在航行體艏部附近還存在一定的速度梯度，該速度梯度以及高速氣流的存在嚴(yán)重影響超空泡的穩(wěn)定性，對超空泡航行體的穩(wěn)定運(yùn)行造成影響，在超空泡航行體的設(shè)計中需要改良空化器或者優(yōu)化航行體艏部形狀，消除該速度梯度和高速氣流區(qū)。

圖10 超空泡航行體頭部相分布云圖(上)和速度場云圖(下)

圖11給出了超空泡航行體的壓力場云圖。從圖中可見，由于無尾翼超空泡航行體在自然超空泡航行過程中只有艏部空化器與水接觸，艏部空化器在空化數(shù)為0.015時需要承受壓力為123個大氣壓。因此在對空化器設(shè)計的過程中，需要充分考慮承受壓力對空化器的影響，盡可能地增大受壓面積，采用高抗壓材料，保證水下超空泡航行體運(yùn)行安全。

圖11 空化數(shù)為0.015時，超空泡航行體的壓力場

圖12給出了超空泡航行體的渦流強(qiáng)度分布，由計算結(jié)果可知，航行體尾部渦強(qiáng)度較大，在艏部區(qū)域以及尾流區(qū)域，渦通量達(dá)到最大。由于渦強(qiáng)分布，可以得到旋渦作用強(qiáng)度分布，進(jìn)而可以定性的得到超空泡航行體運(yùn)動過程中所受到的擾動作用強(qiáng)弱。

圖12 超空泡航行體的渦流強(qiáng)度分布

3 結(jié)論

1) 基于烏克蘭國家科學(xué)院IHM半經(jīng)驗(yàn)公式和Logvinovich空泡截面獨(dú)立擴(kuò)張原理式，利用數(shù)值優(yōu)化方法，建立了空泡形態(tài)數(shù)值計算驗(yàn)證模型。

2) 比較了RANS兩方程模型對超空泡航行體數(shù)值計算結(jié)果，得到了Kω-Sst模型的關(guān)于空泡最大截面計算結(jié)果誤差小于14%；對空泡長度的數(shù)值計算結(jié)果小于8%，空化數(shù)小于0.01時，小于4%。

3) 基于建立的準(zhǔn)確性數(shù)值模型，對空化數(shù)為0.015時自然超空泡進(jìn)行了流場分析，為超空泡航行體空化器的設(shè)計提出了改進(jìn)意見。

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(責(zé)任編輯 楊繼森)

Supercavitation Research on Numerical Simulation Method Based on Two-Equation RANS Model

DU Pei-pei, XIAO Chang-run, ZHANG Lu, ZHENG Wen-long, JIAO Yu-chao

(Department of Naval Architecture Engineering, Naval University of Engineering, Wuhan 430033, China)

In order to get the accurate numerical simulation method, the calculation model of supercavity shape was established based on the semi-empircal formula of supercavity form in Institute of Hydromechanics of National Academy of Science in Ukraine and the Logvinovich principle of independent expansion of cavity section. By using the finite volume method, the nelerical discretization method of supercavitation flow was authenticated and the supercavitation flow with five different two-equation RANS model was calculated in different cavitation number. The simulated results indicate that the accuracy of the calculation results ofKω-Sstis higher compared with other models. The complutational error of the dimensionless maximum diameter of the supercavity can be maintained at less than 14%. And the calculation error of the cavity length can be reduced to less than 8% and the error can be futher reduced to 4% when the cavitation number is less than 0.01. Based on the established mathematical model, the flow performance of the supercavitation vehicle was calculated when the cavitation number is 0.015. The computed and analyzed results show that: there is a high-speed air flow area and obvious velocity gradients behind the cavitator. Hydrostatic pressure in the vicinity of cavitator can reach 123 atomosphere pressures and the improvement of the design of the supercavitation vehicle is proposed based on these calculation results.

supercavitation；turbulence model；finite volume method；CFD

2016-06-16；

2016-07-15

國家部委基金資助項(xiàng)目(51314010203)

杜佩佩(1991—)，男，碩士研究生，主要從事艦船流體力學(xué)研究。

肖昌潤(1963—)，男，博士，副教授，E-mail：xiaochangrun@sina.com。

10.11809/scbgxb2016.10.037

杜佩佩，肖昌潤，張露，等.基于RANS方法超空泡流數(shù)值計算方法研究[J].兵器裝備工程學(xué)報，2016(10):174-180.

format:DU Pei-pei, XIAO Chang-run, ZHANG Lu,et al.Supercavitation Research on Numerical Simulation Method Based on Two-Equation RANS Model[J].Journal of Ordnance Equipment Engineering,2016(10):174-180.

TJ610.1

A

2096-2304(2016)10-0174-07