江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)婁葑學(xué)校 崔志剛

有關(guān)“三角形分割塊數(shù)”問(wèn)題的透視— —對(duì)《三角形與多邊形分割》兩篇文章的思考

江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)婁葑學(xué)校 崔志剛

一、描述一下這類問(wèn)題的內(nèi)容及它的來(lái)龍去脈

第一篇文章簡(jiǎn)介：王海燕、王學(xué)賢、王申懷三位同志的《三角形與多邊形的分割》［1］提出這樣一個(gè)問(wèn)題：把一個(gè)三角形各邊n等分，連接各頂點(diǎn)和諸分點(diǎn)的線段，把三角形分割為多少塊？

原文《三角形與多邊形的分割》提出分割的塊數(shù)公式

二、我在他們的基礎(chǔ)上我提出一個(gè)解決這類問(wèn)題的完整的看法，并回答相關(guān)的問(wèn)題。

假如每邊不是等份的話，那么可以實(shí)現(xiàn)任意三條分割線都沒有交點(diǎn)，此時(shí)可分的塊數(shù)計(jì)算（如圖），我們可以把每條邊和分割線延長(zhǎng)為直線，拓展到整個(gè)平面內(nèi)來(lái)思考。此時(shí)思路用整個(gè)3n條直線在沒有共點(diǎn)的情況下可分為的塊數(shù)減去三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C處因共點(diǎn)而減少的塊數(shù)再減去三角形外的塊數(shù)即可得三角形內(nèi)部被分為的塊數(shù)。

那么在有三線共點(diǎn)的情況下，每出現(xiàn)一次，就減去一塊。

在分割線有至少一條中線的情況下，有哪些共點(diǎn)的情況呢？

除中線外，其他的非中線的分割線討論情況如何尋找呢？用死方法一個(gè)一個(gè)試，肯定很煩，不太實(shí)用。下面我們用尋找質(zhì)因數(shù)的方法來(lái)解決。

下面以n=40為例。其質(zhì)因數(shù)有2個(gè)：2、5；故可知（R）式的分子分母之和為20、8，其（R）式的分?jǐn)?shù)可能為：

（1）當(dāng)分子分母之和為20時(shí)，其可能的分?jǐn)?shù)分別為：

通過(guò)（1）、（2）中的分?jǐn)?shù)的組合（可以重復(fù)使用、可以將分?jǐn)?shù)的分子分母顛倒計(jì)算）

可得24種三線共點(diǎn)情況。

如果考慮中線的情況，根據(jù)（Q）式可知有115種三線共點(diǎn)情況，故每邊40等分時(shí)共可將三角形分割的塊數(shù)為=4541塊。

顯然可知：如何準(zhǔn)確地計(jì)算每邊n等分后分割的塊數(shù)不可能有一個(gè)具體的公式，因?yàn)殛P(guān)于一個(gè)數(shù)的因數(shù)，數(shù)論中沒有一個(gè)明確的公式將一個(gè)數(shù)準(zhǔn)確地分解為幾個(gè)質(zhì)因數(shù)的積；只能說(shuō)用以上的方法可以求出來(lái)，但無(wú)法通過(guò)一個(gè)具體的公式求出三線共點(diǎn)的情況。

那么，如何能夠知道n為哪些值的情況下有三線共點(diǎn)的情況呢？顯然所有的偶數(shù)都有中線，因而都存在三線共點(diǎn)的情況。除了中線外，n為偶數(shù)時(shí)還有沒有其他的呢？奇數(shù)呢？我們利用Excel采用如下的情況可以發(fā)現(xiàn)最小的奇數(shù)n為15，最小的偶數(shù)為20而不是文［2］所說(shuō)的24，而且文章所列舉的奇數(shù)、偶數(shù)還有很多。奇數(shù)有：15、35、45、55、63、65、75、85、91、99、105；偶數(shù)有：20、24、30、40、42、48、56、60、66、70、72、80、84、90、96、100。至于更大的n值，需要Excel計(jì)算的量更大即可解決。

［1］王海燕等.三角形與多邊形分割［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2006（08）.

［2］史立新等.《三角形與多邊形的分割》一文的錯(cuò)漏［J］.數(shù)學(xué)通報(bào)，2012（04）.