胡靜

[摘 要] 整體法是一種重要的數(shù)學(xué)思想，在高中教學(xué)階段的應(yīng)用及其廣泛，是解決復(fù)雜數(shù)學(xué)題的不二法寶.為了提高高中生整體的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，養(yǎng)成良好的解題習(xí)慣，教師要學(xué)會在平常教學(xué)中向?qū)W生灌輸整體法的使用思路，為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供便利.

[關(guān)鍵詞] 整體思想；高中數(shù)學(xué)；簡單教學(xué)

在當(dāng)今環(huán)境下，課程改革活動正在如火如荼地進行，新型的課堂教學(xué)模式正在席卷高中數(shù)學(xué)課堂. 作為數(shù)學(xué)教師也要適應(yīng)時代的步伐，爭做改革的領(lǐng)跑者，摒棄以往腐舊的教學(xué)模式，開創(chuàng)對學(xué)生有益的教學(xué)方式，全面提升學(xué)生的整體數(shù)學(xué)素養(yǎng). 整體法作為一種便捷的解題工具，是教師實現(xiàn)輕松教學(xué)、簡單教學(xué)的秘密武器，只要教師能夠應(yīng)用得當(dāng)，數(shù)學(xué)課堂一定會精彩紛呈. 筆者本人具有多年高中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗，對如何在課堂教學(xué)中以及習(xí)題訓(xùn)練中滲透整體法的使用具有一定的研究與探索，下面簡要介紹幾點經(jīng)驗，不足之處，敬請斧正.

整體代入，絕處逢生

整體代入是整體法最直接、最明顯的表現(xiàn)方式，就是將若干個式子組合在一起看作一個整體，通過直接或者間接的方法代入另一個式子當(dāng)中，使解題過程變得簡單，避免煩瑣的計算過程，于絕處逢生，給學(xué)生的解題帶來希望.

整體代入在高中的各個階段都會應(yīng)用，就連最簡單的長方體教學(xué)中也會出現(xiàn)這種方法的使用. 教師在平時授課中，為了讓學(xué)生更快、更好地吸收知識、理解知識，一定要將教學(xué)內(nèi)容變得簡單，利用整體法就是不錯的選擇. 例如，當(dāng)我們學(xué)完長方體的相關(guān)知識后，筆者都會向?qū)W生布置這樣的習(xí)題：已知長方體的全面積是11，十二條棱長總和為24，那么請分析這個長方體的一條對角線的長度為多少. 面對這道題，一般的解題思路是先假設(shè)長方體的長、寬、高分別為a，b，c，根據(jù)已知條件分別求出a，b，c的值，然后再依據(jù)對角線長的公式即d=進行計算. 但是我們明顯會發(fā)現(xiàn)根據(jù)已知條件無法求出a，b，c的值，因此我們就需要考慮其他的方法. 我們可以先將對角線長的公式進行變形，然后再考慮接下來怎樣計算，d==，根據(jù)這個式子，我們可以發(fā)現(xiàn)只需要求出a+b+c和ab+bc+ca即可. 再根據(jù)已知條件列出下列式子：2（ab+bc+ca）=11，4（a+b+c）=24，這樣我們就可以分別求出兩個需要的式子的值，代入表達式中可以得出d=5. 在這道題的解決過程中，我們就采用了整體代入的思想，因而才使得題目得以解決. 如果僅僅采用正常的思路進行求解，這道題目也是無法計算的，由此可見整體代入的重要性.

整體代入在很多數(shù)學(xué)知識中都可以應(yīng)用，都能夠起到簡化題目的作用. 教師要在平常教學(xué)中不斷地去探索、發(fā)現(xiàn)更多的整體代入例題，并及時地與學(xué)生進行分享，用以擴寬學(xué)生的視野，增加學(xué)生的解題經(jīng)驗.

整體換元，柳暗花明

整體法是高中的重點知識，有很多問題只能夠通過整體法才能夠解決，因此教師要提示學(xué)生提高警惕，將整體法的各種應(yīng)用都熟記于心，這樣在應(yīng)用時才能夠信手拈來，避免出現(xiàn)卡在讀題階段不知如何下手的尷尬局面.

整體換元屬于研究新元性質(zhì)方面的知識，在多項式部分應(yīng)用較多，它能夠?qū)㈩}目進行轉(zhuǎn)化，變得簡單易解.當(dāng)教師在教學(xué)多項式方面知識時，一定要確保學(xué)生能夠獨立應(yīng)用整體換元的思想解決實際問題，因為在高考中這個考點也會頻繁出現(xiàn). 下面以一道簡單的例題為例，介紹整體換元使用的妙處. 請計算（a1+a2+…+an-1）（a2+a3+…+an-1+an）-（a2+a3+…+an-1）（a1+a2+…an）的值. 面對多項式與多項式乘積的題目，一般的思路是將括號打開，逐一進行計算，但是本題給出的并不是具體數(shù)字，而且數(shù)字較多，這種方法根本不適合用來解這道題. 這時我們就需要向整體換元法求助，將題目轉(zhuǎn)化成簡單的形式，能夠一眼看出解題思路即可. 整體法重要的思想就是要求大同存小異，進行整體變換，題目就會變得簡單. 設(shè)a2+a3+…+an-1=x，則原式=（a1+x）（x+an）-x（a1+x+an），注意將式子打開并進行化簡計算，就會得出原式=a1an，由此就可以得出正確答案.根據(jù)解題過程可知，雖然我們假設(shè)a2+a3+…+an-1=x，但是在后面的計算中可以直接將x消去，并不影響整道題目的解題程序. 在此也能夠看出整體換元的妙處，將復(fù)雜的式子變得簡單，使式子變換到學(xué)生可以接受的程度，之后再進行化簡計算就會顯得異常簡單了.

多項式的計算是高中的重點知識，教師一定要想方設(shè)法幫助學(xué)生突破這個教學(xué)難點，將整體換元法把握透徹，讓學(xué)生有信心去面對復(fù)雜的高考，在考試中平穩(wěn)地拿下高分.

整體變形，水到渠成

整體變形既是整體法的一種應(yīng)用實例，又是思維轉(zhuǎn)換的具體表現(xiàn)，需要學(xué)生擁有獨特的眼光，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)所在.只有抓住問題的主要矛盾，才能夠想到合適的變形方法，將問題轉(zhuǎn)化為熟悉的內(nèi)容，加快解題速度.

在使用整體變形這種解題方法時，學(xué)生首先要對題目有一個完整的認(rèn)識，找到問題的關(guān)鍵才能夠水到渠成地解決問題. 當(dāng)我們在學(xué)習(xí)數(shù)列知識時，教師都會向?qū)W生講授整體變形的應(yīng)用實例，提高學(xué)生對數(shù)列的認(rèn)識. 其實，只有在講解數(shù)列知識時才是傳授整體法的最佳時機，整體法是解決數(shù)列問題的法寶.數(shù)列知識較強的學(xué)生，整體法的應(yīng)用都會十分熟練. 例如，學(xué)生在習(xí)題訓(xùn)練中，都會遇到這樣的題目：已知數(shù)列{an}的通項公式為an=（2n-1）xn（x≠1），求出此數(shù)列的前n項和Sn. 解決此題時，一般思路是先求出數(shù)列的前幾項，之后再決定采用何種方式解題. 利用通項公式可以求出a1=x，a2=3x2，a3=5x3……觀察這前幾項可以發(fā)現(xiàn)，這個數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列，這時在進行前n項和求解時，我們不可以根據(jù)數(shù)列的相關(guān)公式直接求出. 所以我們要采用其他的方法，先寫出前n項和Sn的公式：Sn=x+3x2+5x3+…+（2n-1）xn，觀察式子，我們可以將式子兩邊同時乘x，將式子進行整體變形，得到xSn=x2+3x3+5x4+…+（2n-1）xn+1，然后再將上面兩個式子相減，就可以求出Sn. 具體計算過程比較簡單，在此不再贅述. 這種解題方式，就是在原有的式子的基礎(chǔ)上構(gòu)造一個新的與題目相關(guān)的式子，二者進行恰當(dāng)?shù)倪\算，就可以得出Sn的值.

整體變形法開拓了一種新的解題思路，增加了學(xué)生解題的砝碼，使學(xué)生能夠輕松地解決數(shù)列的相關(guān)知識.

整體補形，迎刃而解

立體幾何是學(xué)生進入高中以來所學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識中最需要想象力的知識模塊，因此也是很多想象力匱乏的學(xué)生的學(xué)習(xí)軟肋，他們無法找出圖形中需要的線段或者圖形，也就不能得到合適的解題方法. 整體補形能夠幫助學(xué)生在立體幾何的學(xué)習(xí)中搭建全新的視角，有利于學(xué)生抓住問題的重點，找到最佳解題途徑.

利用整體補形法解決立體幾何相關(guān)問題是一個專題，教師在進行總復(fù)習(xí)時，可以抽出一定的時間進行專門的知識總結(jié)以及擴展，讓學(xué)生對整體補形有一個全面的把握，增多學(xué)生的解題技巧. 在專題訓(xùn)練中，教師要盡可能多地選擇具有代表性的題目，讓學(xué)生每做一道題目都會有獨特的收獲，能夠?qū)W(xué)生的思維模式起到促進的作用. 例如，當(dāng)筆者在組織學(xué)生進行復(fù)習(xí)時，都會留下這樣的題目：如圖1所示，在三棱錐P-ABC中，三組對棱相等，并且PA=13，PB=14，PC=15，求出這個三棱錐的體積.

按照常規(guī)的解題思路，求解三棱錐的體積要先求出其底面積，然后再求出其高，之后再利用所學(xué)公式進行求解. 但是在這道題目中，底面積容易求出，高卻不好求，因此我們就需要考慮其他方法. 在根據(jù)已知條件三組對棱相等，可以聯(lián)想到長方體對面不平行的對角線也具有此性質(zhì)，從而我們可以將三棱錐補成一個長方體，如圖2所示，從而能夠快速地解決問題. 整體的解題思路就是三棱錐P-ABC的體積等于長方體的體積減去4個三棱錐A-BCD的體積，代入相關(guān)的數(shù)據(jù)就可以輕松地求出答案.

這道題目就將三棱錐與長方體巧妙地聯(lián)系到了一起，是一道不錯的綜合性題目，教師要為學(xué)生多多準(zhǔn)備類似的題目進行訓(xùn)練.

總之，當(dāng)我們在解決數(shù)學(xué)問題時，如果能夠仔細(xì)觀察問題，找出題目的主要矛盾，在大處著眼把握全局，合理巧妙地利用整體法進行解題，都會起到事半功倍的效果，整體提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).