郭 萌，熊妍茜，楊新榮，陳朝東

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五年級(jí)和六年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力的調(diào)查研究

郭 萌1，熊妍茜1，楊新榮1，陳朝東2

（1．西南大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，重慶 400715；2．四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，四川成都 610000）

分?jǐn)?shù)表征是分?jǐn)?shù)概念學(xué)習(xí)的一部分，也是概念理解的重要方法．分?jǐn)?shù)表征包括面積表征、集合表征、數(shù)軸表征和符號(hào)表征等，這4類表征及其轉(zhuǎn)化與分?jǐn)?shù)概念理解緊密相連，對(duì)分?jǐn)?shù)教學(xué)具有重要意義．通過(guò)改編Kurt和Cakiroglu的分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化測(cè)試工具，研究者調(diào)查了247名5年級(jí)學(xué)生和264名6年級(jí)學(xué)生的分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力．調(diào)查發(fā)現(xiàn)小學(xué)生在數(shù)軸表征和假分?jǐn)?shù)表征相關(guān)轉(zhuǎn)化問(wèn)題上表現(xiàn)較差，不能很好地理解面積（集合）表征與數(shù)軸表征的區(qū)別．此外六年級(jí)學(xué)生數(shù)軸表征轉(zhuǎn)化能力較五年級(jí)有顯著提升．建議教師應(yīng)該重視分?jǐn)?shù)多元表征的教學(xué)尤其是數(shù)軸表征和假分?jǐn)?shù)表征的教學(xué)，通過(guò)分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化任務(wù)幫助學(xué)生建立起全面的分?jǐn)?shù)表征系統(tǒng)和知識(shí)結(jié)構(gòu)，促進(jìn)學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的發(fā)展．

分?jǐn)?shù)表征；分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化；分?jǐn)?shù)概念；數(shù)軸；小學(xué)生

1 引 言

當(dāng)前國(guó)際數(shù)學(xué)課程改革的一個(gè)重要特點(diǎn)在于培養(yǎng)學(xué)生多元數(shù)學(xué)表征能力．如在美國(guó)教師協(xié)會(huì)頒布的《學(xué)校數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和原則（2000）》中就明確將表征作為過(guò)程標(biāo)準(zhǔn)之一．通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生要能：（1）創(chuàng)建和使用表征組織、記錄和交流數(shù)學(xué)思想；（2）選擇、運(yùn)用和轉(zhuǎn)化各種數(shù)學(xué)表征來(lái)解決問(wèn)題；（3）使用表征來(lái)解讀物質(zhì)的、社會(huì)的、和數(shù)學(xué)現(xiàn)象[1]．《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》[2]也指出課程內(nèi)容的呈現(xiàn)應(yīng)該注意多樣性，以豐富學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)．然而要培養(yǎng)學(xué)生多元數(shù)學(xué)表征能力，不僅要求在數(shù)學(xué)教材編寫中用多種形式呈現(xiàn)數(shù)學(xué)概念，更要求在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中給學(xué)生提供使用多種表征的機(jī)會(huì)．

在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，表征主要包括：（1）內(nèi)部表征．如有關(guān)數(shù)學(xué)活動(dòng)的抽象或者學(xué)習(xí)者通過(guò)自身經(jīng)歷所形成的認(rèn)知圖示；（2）外部表征．如數(shù)字、代數(shù)方程、圖象、表格、圖表等有關(guān)數(shù)學(xué)概念的外在表示[3]．而對(duì)于一個(gè)抽象的數(shù)學(xué)概念而言，其都可以通過(guò)多種外部表征予以表達(dá)，如圖象、符號(hào)、語(yǔ)言等．不過(guò)由于數(shù)學(xué)自身的復(fù)雜性和抽象性，單一外在表征難以充分揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，由此學(xué)生需要借助多元外部表征從多元具體形式中抽象知識(shí)或問(wèn)題的內(nèi)在結(jié)構(gòu)[4]．真正理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念不僅需要學(xué)生能在多種本質(zhì)各異的表征中辨別相關(guān)的數(shù)學(xué)概念，更要求學(xué)生能靈活自如地在各種不同表達(dá)中進(jìn)行轉(zhuǎn)化[5]．此外，在解題過(guò)程中，借助一個(gè)好的形象表征學(xué)生可以形成一個(gè)有效的抽象表征，從而更好地了解問(wèn)題解決的實(shí)質(zhì)和關(guān)鍵，然后再借助形象表征的各種方式達(dá)到對(duì)問(wèn)題的解決[6]．由此可見(jiàn)，表征轉(zhuǎn)化能力在數(shù)學(xué)概念理解和問(wèn)題解決中有著不可替代的作用．然而，現(xiàn)實(shí)中，老師和學(xué)生卻常常忽視多元表征轉(zhuǎn)化能力的培養(yǎng)和訓(xùn)練．教師所教的和學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)內(nèi)容通常在單一的表征系統(tǒng)中就已結(jié)束，而沒(méi)有在不同的表征之間建立起應(yīng)有的聯(lián)系[1]．貝洱認(rèn)為表征系統(tǒng)是互動(dòng)的而不是線性的，同一表征內(nèi)部的轉(zhuǎn)化以及不同表征方式之間的轉(zhuǎn)化有利于學(xué)生知識(shí)理解，應(yīng)該像單個(gè)表征的學(xué)習(xí)一樣受到重視[7~8]．

分?jǐn)?shù)概念是學(xué)生在中學(xué)前所遇到的最困難，同時(shí)也是最重要的數(shù)學(xué)知識(shí)之一[9]．其困難的根源在于分?jǐn)?shù)概念的多重結(jié)構(gòu)，其包括部分整體、測(cè)量、商、算子、比五種子概念[10]．同時(shí)分?jǐn)?shù)也有多種外部表征，如符號(hào)表征、圖形表征、語(yǔ)言表征、實(shí)物表征、現(xiàn)實(shí)情景表征等．過(guò)去關(guān)于分?jǐn)?shù)教與學(xué)的研究中，國(guó)內(nèi)研究者主要關(guān)注于學(xué)生分?jǐn)?shù)概念的掌握和分?jǐn)?shù)表征的使用．如倪玉菁調(diào)查了深圳五、六年級(jí)小學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)意義和性質(zhì)的學(xué)習(xí)，測(cè)試卷涉及面積表征、線段表征、集合表征和數(shù)線表征[11]．該研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生在測(cè)量概念和等值分?jǐn)?shù)的理解上存在困難．此外，張睆和辛自強(qiáng)研究了分?jǐn)?shù)概念的個(gè)體建構(gòu)機(jī)制[12]．多數(shù)研究聚焦于多種分?jǐn)?shù)概念的認(rèn)知和教學(xué)，學(xué)生分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力的研究在國(guó)內(nèi)很少受到關(guān)注．然而，分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力對(duì)學(xué)生分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)非常重要．在學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)概念時(shí)，學(xué)生需要經(jīng)歷從分月餅到分圓形，再到抽象出分?jǐn)?shù)符號(hào)的過(guò)程，這本質(zhì)上是實(shí)物表征到圖形表征，再到符號(hào)表征的轉(zhuǎn)化．各種表征間的轉(zhuǎn)化過(guò)程連同3種分?jǐn)?shù)表征方式一方面可以幫助學(xué)生從直觀到抽象地理解分?jǐn)?shù)概念．但同時(shí)，各種表征抽象復(fù)雜程度上的差異也將造成學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念理解和轉(zhuǎn)化上的困難．分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化對(duì)學(xué)生分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)和思維發(fā)展有至關(guān)重要的作用，卻未受到教師和研究者的重視．基于此，研究主要探討五、六年級(jí)學(xué)生分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力現(xiàn)狀和存在的問(wèn)題（主要涉及：符號(hào)表征、面積表征、集合表征、數(shù)軸表征），以期為數(shù)學(xué)教學(xué)和教材編寫提供更為直接的建議．

2 研究方法

2.1 研究對(duì)象

參與研究的511名學(xué)生選自重慶3所背景各異的小學(xué)．其中247名五年級(jí)學(xué)生和264名六年級(jí)學(xué)生，其中男生269人，女生242人（具體信息見(jiàn)表1）．3所學(xué)校使用的教科書都是西南師范大學(xué)版小學(xué)數(shù)學(xué)教材．根據(jù)教材知識(shí)編排，小學(xué)生在五年級(jí)下學(xué)期已完成分?jǐn)?shù)的意義、真分?jǐn)?shù)與假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的加減法等內(nèi)容的學(xué)習(xí)，接觸過(guò)研究所涉及的4種分?jǐn)?shù)表征方式．

表1 被試學(xué)生基本情況

2.2 研究工具

研究主要采用測(cè)試法，以Kurt和Cakiroglu的分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化測(cè)試卷[13]為基礎(chǔ)，根據(jù)中國(guó)數(shù)學(xué)教學(xué)情況和教材使用情況對(duì)測(cè)試工具進(jìn)行修改與調(diào)整．測(cè)試工具包括4種分?jǐn)?shù)表征方式即符號(hào)表征、數(shù)軸表征、面積表征、集合表征．其中數(shù)軸表示分?jǐn)?shù)“測(cè)量”的概念，面積和集合表示分?jǐn)?shù)“部分整體”概念．測(cè)試卷共設(shè)置12道題目涵蓋任意兩種表征之間的轉(zhuǎn)化，每道題目預(yù)先給出一種分?jǐn)?shù)表征方式，要求學(xué)生將其轉(zhuǎn)化為規(guī)定的表征方式，并寫出自己的思考過(guò)程．整個(gè)測(cè)試卷的Cronbach’s Alpha系數(shù)為0.663，表明其內(nèi)部一致性較好．測(cè)試卷樣題如圖1所示．

圖1 分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化測(cè)試卷樣題

2.3 數(shù)據(jù)分析

數(shù)據(jù)分析按如下3步完成．首先對(duì)于學(xué)生回答進(jìn)行記分．每題答對(duì)記1分，答錯(cuò)記0分．所有學(xué)生回答由第一作者判分，第二作者檢查了所有判分情況且與第一作者討論了不同意見(jiàn)部分．此后對(duì)測(cè)試卷結(jié)構(gòu)做了因子分析，提煉出了3個(gè)因子．最后針對(duì)這3個(gè)因子，就學(xué)生性別和年級(jí)進(jìn)行了差異檢驗(yàn)．

3 研究結(jié)果

3.1 測(cè)試卷結(jié)構(gòu)

為分析測(cè)試卷的結(jié)構(gòu)同時(shí)了解中國(guó)學(xué)生分?jǐn)?shù)表征能力結(jié)構(gòu)，對(duì)測(cè)試卷所得數(shù)據(jù)進(jìn)行了因子分析．Bartlett球形檢驗(yàn)卡方值統(tǒng)計(jì)顯著，因此可認(rèn)為相關(guān)矩陣與單位陣有顯著差異．同時(shí)，KMO值為0.75，根據(jù)Kaiser給出的KMO度量標(biāo)準(zhǔn)可知原變量適合做因子分析．因子中特征根大于1的共有3個(gè)，3個(gè)因子分別解釋測(cè)試卷的29.73%、17.60%、15.16%，方差累計(jì)貢獻(xiàn)率有62.48%，可解釋12道轉(zhuǎn)化題目多于一半的信息，故提取3個(gè)主成分．

表2為使用Varimax最大方差法旋轉(zhuǎn)旋后的因子載荷矩陣．第一個(gè)因子包含題項(xiàng)有T1、T5、T6、T8、T11、T4，這些題目都與數(shù)軸相關(guān)，命名為“數(shù)軸相關(guān)表征轉(zhuǎn)化”．第二個(gè)因子包含題項(xiàng)有T2、T9、T7，題目至少涉及面積表征和集合表征其中之一，且不涉及假分?jǐn)?shù)，命名為“面積和集合表征轉(zhuǎn)化—真分?jǐn)?shù)”．第三個(gè)因子包含有題項(xiàng)T12、T10、T3，題目至少包含面積表征和集合表征其中之一，且都涉及假分?jǐn)?shù)，故命名為“面積和集合表征轉(zhuǎn)化—假分?jǐn)?shù)”．3個(gè)主成分將12道測(cè)試題分為3個(gè)部分，分類標(biāo)準(zhǔn)為是否涉及數(shù)軸和假分?jǐn)?shù)．按照原測(cè)試卷的設(shè)計(jì)和中國(guó)學(xué)生的情況將測(cè)試卷題目作如表3所示劃分．

表2 旋轉(zhuǎn)后的因子載荷矩陣

表3 題目分類表

注：“T2符號(hào)轉(zhuǎn)面積”：T2為符號(hào)表征轉(zhuǎn)化為面積表征的題目；“T12面積轉(zhuǎn)集合（假）”：T12為面積表征轉(zhuǎn)化為集合表征的題目，且其涉及假分?jǐn)?shù)

3.2 五六年級(jí)小學(xué)生分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力基本情況

學(xué)生在各個(gè)題目上的表現(xiàn)列于圖2．總的來(lái)說(shuō)，學(xué)生在分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化問(wèn)題上表現(xiàn)一般，其平均正確率為71.59%，不同題目上的表現(xiàn)有較大差異．測(cè)試結(jié)果的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差按3個(gè)維度列于表4，從表中可以看出平均正確率

面積與集合真分?jǐn)?shù)>面積與集合假分?jǐn)?shù)>數(shù)軸，

也就是說(shuō)面積與集合表征相關(guān)轉(zhuǎn)化題目上的表現(xiàn)優(yōu)于數(shù)軸的表征轉(zhuǎn)化．此外，涉及假分?jǐn)?shù)表征的題目上學(xué)生也表現(xiàn)出一定的困難．

具體而言，學(xué)生在與面積表征轉(zhuǎn)化和集合表征轉(zhuǎn)化相關(guān)的題目上表現(xiàn)最好．“面積和集合表征轉(zhuǎn)化—真分?jǐn)?shù)”的平均正確率達(dá)97.20%，且學(xué)生個(gè)體之間表現(xiàn)較為穩(wěn)定（標(biāo)準(zhǔn)差為0.12）．從圖2可以看出“面積和集合表征轉(zhuǎn)化——真分?jǐn)?shù)”相關(guān)題目T2、T8、T7正確率都在96%以上，其中T7的正確率最高達(dá)98%．其次，學(xué)生在假分?jǐn)?shù)表征上表現(xiàn)出一定的問(wèn)題．相關(guān)題目T12、T3、T10正確率均穩(wěn)定在80%左右．在與面積和集合表征相關(guān)的題目中，學(xué)生在真分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化題目上平均正確率比假分?jǐn)?shù)高近17個(gè)百分點(diǎn)．

值得指出的是，涉及數(shù)軸表征的相關(guān)轉(zhuǎn)化題目上學(xué)生表現(xiàn)最差，平均正確率最低僅55.02%，比“面積和集合表征轉(zhuǎn)化——真分?jǐn)?shù)”低了42個(gè)百分點(diǎn)．如圖2所示，涉及數(shù)軸表征的6道題目（即圖2中后6道題）正確率均低于其它題目．其中T4作為數(shù)軸表征與假分?jǐn)?shù)表征結(jié)合的題目，正確率在所有題中最低，僅32%．此外，在“數(shù)軸表征轉(zhuǎn)化”相關(guān)問(wèn)題上學(xué)生表現(xiàn)參差不齊，其平均正確率的標(biāo)準(zhǔn)差達(dá)0.31，接近“面積和集合表征轉(zhuǎn)化——真分?jǐn)?shù)”的3倍．

表4 學(xué)生在測(cè)試卷3個(gè)因子上的基本情況

注：**<0.01，***<0.001，檢驗(yàn)是年級(jí)差異檢驗(yàn)

圖2 測(cè)試題目正確率條形圖

3.3 性別和年級(jí)差異

為檢驗(yàn)學(xué)生在各個(gè)因素上的差異，進(jìn)行了年級(jí)(2)×性別(2)的雙因子方差分析．結(jié)果顯示，不存在顯著的年級(jí)和性別間的交互效應(yīng)（Wilks lambda=0.998，[3, 505]=0.31，=0.82）以及性別上的主效應(yīng)（Wilks lambda=0.996，[3, 505]=0.65，=0.58）．不過(guò)存在年級(jí)上的主效應(yīng)（Wilks lambda=0.945，[3, 505]=9.75，<0.001）．

為檢驗(yàn)?zāi)昙?jí)間的差異，進(jìn)一步進(jìn)行了檢驗(yàn)（結(jié)果見(jiàn)表4）．在“面積和集合相關(guān)表征轉(zhuǎn)化——真分?jǐn)?shù)”上不存在顯著的年級(jí)間差異（=0.29>0.05）．如圖3所示，六年級(jí)學(xué)生在該維度上的正確率略高于5年級(jí)學(xué)生．在“數(shù)軸相關(guān)表征轉(zhuǎn)化”維度上存在顯著的年級(jí)差異（=0.006<0.05）．如圖3所示，在該維度上六年級(jí)平均正確率（=58.71%）較五年級(jí)（=51.08%）有顯著的提高．在“面積和集合相關(guān)表征轉(zhuǎn)化—假分?jǐn)?shù)”上亦存在顯著的年級(jí)差異（<0.001）．從圖3可看出，在“面積和集合相關(guān)表征轉(zhuǎn)化—假分?jǐn)?shù)”相關(guān)問(wèn)題上五年級(jí)平均正確率（=83.94%）反而優(yōu)于六年級(jí)（=74.62%）．

圖3 不同年級(jí)學(xué)生表征轉(zhuǎn)化任務(wù)表現(xiàn)條形圖

4 討 論

通過(guò)改編Kurt和Cakiroglu的分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力測(cè)試工具，研究調(diào)查了小學(xué)五、六年級(jí)學(xué)生的分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化能力．就具體調(diào)查內(nèi)容而言，研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生在面積表征轉(zhuǎn)化和集合表征轉(zhuǎn)化相關(guān)的問(wèn)題上表現(xiàn)較好，但在數(shù)軸表征和假分?jǐn)?shù)相關(guān)轉(zhuǎn)化問(wèn)題上表現(xiàn)較差．

4.1 五六年級(jí)學(xué)生面積和集合相關(guān)表征轉(zhuǎn)化能力較強(qiáng)

如上所匯報(bào)，參與研究的小學(xué)生在面積和集合相關(guān)表征轉(zhuǎn)化問(wèn)題上表現(xiàn)較好．其原因可能有如下3方面：第一，面積與集合所表示的“部分整體”概念對(duì)學(xué)生而言較易理解．多數(shù)學(xué)生在生活中已經(jīng)接觸過(guò)如“平均分”、“幾分之幾”等與“部分整體”概念相關(guān)的知識(shí)和情景．此外，分?jǐn)?shù)“部分整體”概念可以被學(xué)生原有認(rèn)知中的整數(shù)概念所同化[11]．第二，“部分整體”概念是理解其它4個(gè)概念的基礎(chǔ)[8]，在分?jǐn)?shù)概念教學(xué)中非常受到教師的重視，貫穿分?jǐn)?shù)學(xué)習(xí)始終．第三，教科書編排與呈現(xiàn)方式的影響．通過(guò)對(duì)現(xiàn)行西南師范大學(xué)版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書相關(guān)章節(jié)內(nèi)容進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析發(fā)現(xiàn)，面積與集合表征是最常用的圖形表征方式（約占圖形表征的92%，見(jiàn)表5）．這些都可能在很大程度上提升了學(xué)生面積和集合相關(guān)表征的轉(zhuǎn)化能力．

4.2 五六年級(jí)學(xué)生數(shù)軸相關(guān)表征轉(zhuǎn)化能力較差

如上所匯報(bào)，研究發(fā)現(xiàn)五六年級(jí)小學(xué)生在數(shù)軸相關(guān)表征轉(zhuǎn)化問(wèn)題上表現(xiàn)最差，很多學(xué)生在相關(guān)轉(zhuǎn)化問(wèn)題上出現(xiàn)較大困難．其可能原因主要涉及3方面：第一，數(shù)軸所表示的分?jǐn)?shù)“測(cè)量”概念對(duì)學(xué)生而言較為抽象難懂．它要求學(xué)生理解分?jǐn)?shù)是一個(gè)數(shù)，這與學(xué)生原有知識(shí)體系中的“整數(shù)”概念產(chǎn)生沖突，從而出現(xiàn)“整數(shù)偏向”的現(xiàn)象．此外，整數(shù)表示的是離散的數(shù)量，而分?jǐn)?shù)表示的是無(wú)限可分的連續(xù)量[14]．這都造成了學(xué)生在分?jǐn)?shù)“測(cè)量”概念和數(shù)軸表征上的困難．

第二，學(xué)生沒(méi)有理解面積（或集合）表征與數(shù)軸表征的本質(zhì)區(qū)別．面積表示分?jǐn)?shù)“部分整體”概念，數(shù)軸表示分?jǐn)?shù)“測(cè)量”概念．對(duì)于分?jǐn)?shù)（不為0），“部分整體”概念強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)分子與分母的部分整體關(guān)系，而“測(cè)量”概念要求將看做一個(gè)整體，強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)“數(shù)”的特征．學(xué)生將兩類分?jǐn)?shù)表征混淆起來(lái)，誤認(rèn)為數(shù)軸也表示分?jǐn)?shù)的“部分整體”概念．此外，在訪談中還發(fā)現(xiàn)學(xué)生對(duì)單位“1”思想太過(guò)依賴，甚至出現(xiàn)“遇到分?jǐn)?shù)問(wèn)題，先找單位‘1’”的解題策略．這會(huì)使學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解局限于“部分整體”，影響學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)多重概念和多元表征的掌握．

第三，教科書呈現(xiàn)與編排原因．通過(guò)對(duì)西南師范大學(xué)版小學(xué)數(shù)學(xué)教科書分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容的分析比較，發(fā)現(xiàn)在分?jǐn)?shù)表征的分布和呈現(xiàn)上存在3方面的問(wèn)題．?dāng)?shù)量上，面積表征和集合表征占總表征數(shù)的92.08%，數(shù)軸表征出現(xiàn)頻次過(guò)少僅占7.92%（見(jiàn)表5）；分布上，面積表征幾乎貫穿所有分?jǐn)?shù)相關(guān)章節(jié)，而數(shù)軸表征僅在五年級(jí)下冊(cè)分?jǐn)?shù)的意義、分?jǐn)?shù)大小比較、真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)以及分?jǐn)?shù)小數(shù)中有所涉及，在五年級(jí)下冊(cè)分?jǐn)?shù)加減法以及六年級(jí)的相關(guān)內(nèi)容中沒(méi)有出現(xiàn)；知識(shí)呈現(xiàn)上，教材中對(duì)分?jǐn)?shù)的界定是“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)”，這有利于學(xué)生理解“部分整體”概念，但它沒(méi)有清楚界定分?jǐn)?shù)“數(shù)”的特征，“表示一份或幾份”的數(shù)究竟是自然數(shù)還是分?jǐn)?shù)[15]？含混的定義容易影響學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)“測(cè)量”概念的理解．

表5 西師版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中3類分?jǐn)?shù)圖形表征年級(jí)分布

4.3 五六年級(jí)小學(xué)生在假分?jǐn)?shù)表征相關(guān)問(wèn)題上存在困難

如上所述，通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)五六年級(jí)小學(xué)生在假分?jǐn)?shù)表征相關(guān)問(wèn)題上也存在較大的困難．主要原因在于用集合表征假分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生對(duì)單位“1”的選取．假分?jǐn)?shù)的分子大于分母，此時(shí)的單位“1”不再是整個(gè)“圖形”．這與學(xué)生原有的分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)產(chǎn)生沖突，學(xué)生較難理解單位“1”變成整個(gè)“圖形”的一部分．假分?jǐn)?shù)表征要求學(xué)生更全面地理解分?jǐn)?shù)“部分整體”概念．單位“1”是相對(duì)的，它的選擇需要根據(jù)實(shí)際情況進(jìn)行重組和調(diào)整．

特別值得注意的是“面積和集合相關(guān)表征轉(zhuǎn)化—假分?jǐn)?shù)”的正確率隨年級(jí)升高反而下降．這可能主要由于假分?jǐn)?shù)相關(guān)內(nèi)容僅在五年級(jí)下冊(cè)第一章第三節(jié)出現(xiàn)而六年級(jí)完全未涉及相關(guān)內(nèi)容．隨年級(jí)升高，學(xué)生對(duì)真分?jǐn)?shù)的理解不斷鞏固，而假分?jǐn)?shù)及其表征逐漸被遺忘和混淆．

4.4 典型錯(cuò)誤討論

學(xué)生在分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化的過(guò)程中遇到一些困難和障礙，問(wèn)題集中于與數(shù)軸相關(guān)的表征轉(zhuǎn)化．根據(jù)測(cè)試卷結(jié)果分析，研究發(fā)現(xiàn)學(xué)生在分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化問(wèn)題上的7種典型錯(cuò)誤（見(jiàn)表6）．其中錯(cuò)誤類型E1~E6具有共同的特征：學(xué)生在完成數(shù)軸相關(guān)表征轉(zhuǎn)化時(shí)，將數(shù)軸上標(biāo)出的所有刻度看作整體，依據(jù)“部分整體”概念來(lái)尋找對(duì)應(yīng)的點(diǎn)．以錯(cuò)誤類型E1為例，題目要求學(xué)生將符號(hào)表征轉(zhuǎn)化為數(shù)軸表征，學(xué)生錯(cuò)誤地將數(shù)軸所有呈現(xiàn)出來(lái)的所有刻度作為單位1（共14個(gè)刻度），取其中的8份（）．他們沒(méi)有意識(shí)到數(shù)軸上單位1是已確定的并且每個(gè)點(diǎn)代表確定的數(shù)值．這種錯(cuò)誤出現(xiàn)的根本原因是學(xué)生沒(méi)有真正理解數(shù)軸表征所代表的“測(cè)量”概念，他們將“部分整體”概念與“測(cè)量”概念相混淆．錯(cuò)誤類型E2中，題目要求學(xué)生將代表“部分整體”概念的集合表征轉(zhuǎn)為代表“測(cè)量”概念的數(shù)軸表征，概念的混淆導(dǎo)致錯(cuò)誤率高達(dá)36.67%．

表6 分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化典型錯(cuò)誤表

5 結(jié)論與建議

不同的數(shù)學(xué)表征給學(xué)生提供了不同解讀和思考問(wèn)題的視角，所以提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要途徑之一在于培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的多元表征能力以及在各種表征之間靈活轉(zhuǎn)化的能力．這不僅可以幫助學(xué)生理解不同表征與分?jǐn)?shù)概念的關(guān)系，更可以促使其今后能靈活選擇合適的表征解決復(fù)雜分?jǐn)?shù)問(wèn)題．經(jīng)調(diào)查，得出如下結(jié)論：五、六年級(jí)學(xué)生對(duì)分?jǐn)?shù)概念的理解、假分?jǐn)?shù)和分?jǐn)?shù)數(shù)軸表征轉(zhuǎn)化任務(wù)上存在較大困難．這些研究結(jié)果可以對(duì)分?jǐn)?shù)表征及分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化的教學(xué)提供些許建議．

5.1 課程內(nèi)容和教學(xué)應(yīng)注重多元表征

總的來(lái)說(shuō)學(xué)生在分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化任務(wù)上存在不足，不能靈活地使用和轉(zhuǎn)化分?jǐn)?shù)表征．比如在面積（或集合）表征與數(shù)軸表征轉(zhuǎn)化時(shí)，大量學(xué)生出現(xiàn)混淆，沒(méi)能理解這兩類表征的區(qū)別和聯(lián)系．而表征轉(zhuǎn)化能力是影響學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、問(wèn)題解決及產(chǎn)生、有意義學(xué)習(xí)的重要因素[9]．基于此，課程標(biāo)準(zhǔn)和分?jǐn)?shù)教學(xué)中都應(yīng)注重多元表征以及表征轉(zhuǎn)化教學(xué)，幫助學(xué)生建立起全面的分?jǐn)?shù)表征系統(tǒng)和知識(shí)結(jié)構(gòu)．

首先，數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)該對(duì)分?jǐn)?shù)“表征教學(xué)”以及“表征轉(zhuǎn)化”給予充分的重視，針對(duì)“表征”設(shè)立具體可操作的教學(xué)目標(biāo)．課程標(biāo)準(zhǔn)是指導(dǎo)教材編寫和老師教學(xué)的重要依據(jù)，而《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》[2]中未提到“多元表征”和“表征轉(zhuǎn)化”的相關(guān)內(nèi)容．這自然會(huì)導(dǎo)致教師缺乏培養(yǎng)學(xué)生“多元表征能力”以及“表征轉(zhuǎn)化能力”的意識(shí)．

此外，在教學(xué)中教師需注重分?jǐn)?shù)多元表征，讓學(xué)生在應(yīng)用多元表征的過(guò)程中感受表征間的關(guān)系，從而建立更全面的分?jǐn)?shù)表征系統(tǒng)．在不同表征間建立聯(lián)系的過(guò)程有利于加深學(xué)生的數(shù)學(xué)理解[16]．

5.2 教師和教材編寫者可在分?jǐn)?shù)教學(xué)中更多使用數(shù)軸表征

學(xué)生在數(shù)軸相關(guān)轉(zhuǎn)化問(wèn)題上存在較大困難，這主要由于數(shù)軸表征所對(duì)應(yīng)的“測(cè)量”概念的抽象性，以及教材對(duì)數(shù)軸表征使用的欠缺．

基于此，在教學(xué)中教師首先要幫助學(xué)生理解“測(cè)量”概念．這需要學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)概念轉(zhuǎn)變的過(guò)程——即從離散性的整數(shù)系統(tǒng)轉(zhuǎn)變?yōu)檫B續(xù)性的有理數(shù)系統(tǒng)[17]．教師要讓學(xué)生感受整數(shù)擴(kuò)充到有理數(shù)的過(guò)程，并利用數(shù)軸表征幫助學(xué)生理解分?jǐn)?shù)與整數(shù)的關(guān)系，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu)．

其次，在教材相關(guān)章節(jié)中可適當(dāng)增加數(shù)軸表征的內(nèi)容．特別是“分?jǐn)?shù)加法”章節(jié)，數(shù)軸表征的使用可以使學(xué)生更容易理解和掌握分?jǐn)?shù)加法的原理．這是由于數(shù)軸表征所表示的“測(cè)量”概念與分?jǐn)?shù)加法運(yùn)算聯(lián)系緊密，它是教授分?jǐn)?shù)加法最適合的表征工具[18]．此外，對(duì)于教材中分?jǐn)?shù)概念界定問(wèn)題，張奠宙先生曾建議在定義中加上“大小”二字，既將“一個(gè)整體平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的大小的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)”[15]．這樣的定義更強(qiáng)調(diào)分?jǐn)?shù)“數(shù)”的特征，利于“測(cè)量”概念的理解．

5.3 假分?jǐn)?shù)及假分?jǐn)?shù)表征轉(zhuǎn)化應(yīng)受到重視

假分?jǐn)?shù)是分?jǐn)?shù)的重要組成部分，調(diào)查結(jié)果顯示學(xué)生在假分?jǐn)?shù)表征上存在較大困難，而這些困難一定程度上源于真分?jǐn)?shù)表征及教材編寫的影響．基于此，教師需要幫助學(xué)生理解真分?jǐn)?shù)表征與假分?jǐn)?shù)表征在整體（單位“1”）選取上的區(qū)別，更全面理解“部分整體”概念．其次，教學(xué)中可用數(shù)軸來(lái)表征假分?jǐn)?shù)，這樣一方面讓學(xué)生直觀地體會(huì)真分?jǐn)?shù)小于1，而假分?jǐn)?shù)等于1或大于1的特征；另一方面讓學(xué)生對(duì)真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的意義有系統(tǒng)的認(rèn)識(shí)，從而完善分?jǐn)?shù)體系[19]．最后，教材編寫時(shí)也應(yīng)充分考慮假分?jǐn)?shù)知識(shí)的鞏固和螺旋上升，可在六年級(jí)分?jǐn)?shù)章節(jié)中增加與假分?jǐn)?shù)相關(guān)的知識(shí)和情景．

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[責(zé)任編校：周學(xué)智]

Investigation of Fifth and Sixth Students’ Abilities in Translating among Representations of Fractions

GUO Meng1, XIONG Yan-xi1, YANG Xin-rong1, CHEN Chao-dong2

(1. School of Mathematics and Statistics, Southwest University, Chongqing 400715, China;2. School of Mathematics, Sichuan University, Sichuan Chengdu 610000, China)

Representation of fraction is an important part of fraction, it also can help student understand the concept better. And the representations include region, discrete objects, number line, symbol and so on, which relate to the concepts of fraction. It’s significant for teachers to teach fraction. This paper modified the Translations among Representations of Fractions Test (Kurt & Cakiroglu) and used it to investigate 247 fifth and 264 sixth students, abilities in translating among representations of fractions. It finds that students have some difficulties in the transforming tasks that associated with number line and improper fraction. They cannot understand the difference between region (discrete objects) and number line. Besides, the sixth grade students perform better than fifth grade students in the tasks related to number line. Based on our finding, we suggest that math teachers should pay more attention to multiple representations of fraction, especially number line and representations of improper fraction. And translating among representation of fraction tasks can help students build a more comprehensive system of representations of fraction and improve students’ comprehensions of fraction concept.

representation of fraction; translating among representations of fraction; fraction concept; number line; elementary students

G420

A

1004–9894（2016）05–0049–06

2016–04–20

重慶市自然科學(xué)基金項(xiàng)目——小學(xué)生數(shù)學(xué)概念的發(fā)展過(guò)程：基于分?jǐn)?shù)概念的研究（CSTC2011BB0010）

郭萌（1991—），女，四川樂(lè)山人，碩士研究生，主要從事數(shù)學(xué)教育研究．