劉杰，王海龍，張志國(guó)，呂鵬

（1.石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，河北石家莊050043；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都610031；3.河北建筑工程學(xué)院土木工程學(xué)院，河北張家口075000）

斜拉橋損傷識(shí)別響應(yīng)面模型與優(yōu)化算法研究

劉杰1，2，王海龍2，3，張志國(guó)1，呂鵬1

（1.石家莊鐵道大學(xué)土木工程學(xué)院，河北石家莊050043；2.西南交通大學(xué)土木工程學(xué)院，四川成都610031；3.河北建筑工程學(xué)院土木工程學(xué)院，河北張家口075000）

對(duì)基于模型修正方法的響應(yīng)面模型用于斜拉橋損傷識(shí)別進(jìn)行了研究，通過對(duì)克里格模型、徑向基函數(shù)、Chebyshev模型、四階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型的計(jì)算對(duì)比可知，四階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型用于斜拉橋損傷識(shí)別精度最高。介紹了四階多項(xiàng)式模型和有約束非線性多目標(biāo)優(yōu)化的NSGA-Ⅱ算法，并將其用于一座單塔雙跨雙索面斜拉橋的損傷識(shí)別及損傷定位。通過設(shè)定損傷工況，證明了采用四階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型和NSGA-Ⅱ算法具有精度高、識(shí)別準(zhǔn)、全局求解能力優(yōu)良、計(jì)算效率高的優(yōu)點(diǎn)。

斜拉橋損傷識(shí)別；模型修正；響應(yīng)面方法；優(yōu)化算法

斜拉橋損傷識(shí)別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測(cè)中的重要內(nèi)容［1］。損傷識(shí)別方法按是否有反演可分為基于模型修正的損傷識(shí)別方法和基于模式識(shí)別的損傷識(shí)別方法［2］。

基于模型修正的損傷識(shí)別方法為有反演的方法，根據(jù)修正過程中應(yīng)用有限元模型的方式，模型修正法又可分為直接基于有限元模型的修正和基于響應(yīng)面模型的修正［3］。前者一般需要通過理論值（計(jì)算值）、實(shí)測(cè)值之間的殘差建立目標(biāo)函數(shù)，每次迭代均需進(jìn)行有限元計(jì)算，模型修正時(shí)間長(zhǎng)、計(jì)算量大，且對(duì)于大跨度橋梁來說，當(dāng)待修正參數(shù)多時(shí)數(shù)值計(jì)算有可能出現(xiàn)病態(tài)［4］，導(dǎo)致無法修正。基于響應(yīng)面模型的修正方法是解決這個(gè)問題的有效手段之一。響應(yīng)面法是通過顯式的響應(yīng)面模型逼近特征量從而得到與設(shè)計(jì)參數(shù)之間復(fù)雜的隱式函數(shù)關(guān)系式，在反應(yīng)結(jié)構(gòu)特性的響應(yīng)面內(nèi)做最優(yōu)化求解［5］。響應(yīng)面模型中近似核函數(shù)的選取以及用于建模的樣本數(shù)量、空間分布是影響響應(yīng)面擬合精度的重要因素［6］。在相同樣本數(shù)量的前提下，能獲得較高擬合精度的響應(yīng)面模型具有更好的適用性和更高的運(yùn)算效率［7］。

利用獲得的響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化，屬于有約束非線性多目標(biāo)優(yōu)化。若用傳統(tǒng)的單目標(biāo)優(yōu)化方法需要對(duì)每個(gè)目標(biāo)賦予權(quán)重［8］，而選取大跨度斜拉橋的多個(gè)響應(yīng)權(quán)重比較困難，且傳統(tǒng)的優(yōu)化算法難以得到全局范圍內(nèi)的優(yōu)值組合［9］。近年來出現(xiàn)的多目標(biāo)優(yōu)化算法具有全局搜索能力強(qiáng)、魯棒性、通用性好等特點(diǎn)，適用于處理存在多個(gè)相互沖突目標(biāo)、搜索空間規(guī)模較大且高度復(fù)雜的優(yōu)化問題［10］。

本文采用第2代非劣排序遺傳算法——NSGA-Ⅱ算法，該算法屬于全局探索性優(yōu)化算法，避免陷入局部最優(yōu)問題，可借助Matlab編制算法程序。

1　響應(yīng)面模型的基本理論

用于結(jié)構(gòu)優(yōu)化中的響應(yīng)面法是通過數(shù)學(xué)模型的方法逼近一組輸入變量（獨(dú)立變量）與輸出變量（響應(yīng)變量）。該方法的引入加快了優(yōu)化算法的尋優(yōu)速度，推動(dòng)了優(yōu)化算法在工程領(lǐng)域中的應(yīng)用，收到了良好的效果。常用的響應(yīng)面模型有多項(xiàng)式模型［3］、Chebyshev模型［11］、徑向基函數(shù)（Radial Basis Function，RBF）模型［12］、克里格模型［13-14］等。經(jīng)過計(jì)算比較發(fā)現(xiàn)，四階多項(xiàng)式模型用于大跨度斜拉橋損傷分析識(shí)別精度最高，故本文主要介紹四階多項(xiàng)式模型。

響應(yīng)實(shí)際值與近似值之間的關(guān)系表示為

根據(jù)Weierstress多項(xiàng)式最佳逼近定理，任何類型的函數(shù)都可用多項(xiàng)式逼近，因此在實(shí)際問題中，可用多項(xiàng)式回歸進(jìn)行分析、計(jì)算。對(duì)于大跨度斜拉橋響應(yīng)與設(shè)計(jì)參數(shù)之間的高階非線性問題需要用到高階多項(xiàng)式模型。本文采用的四階多項(xiàng)式模型如下

初始化所需要的最小樣本點(diǎn)數(shù)為（M+1）（M+ 2）/2+2M，對(duì)于分析大跨度斜拉橋，這些樣本點(diǎn)的數(shù)目尚不足以使模型達(dá)到較高的精度。

為提高模型的精度和質(zhì)量，可通過方差分析方法（Analysis of Variance，ANOVA）以最小殘差平方和進(jìn)行設(shè)計(jì)參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，從而取舍參數(shù)，殘差平方和（Residual Sum of Squares，RSS）計(jì)算公式為

式中，n為構(gòu)造響應(yīng)面模型的樣本點(diǎn)數(shù)目。

檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途鹊臉?biāo)準(zhǔn)：殘差（Residual）的正態(tài)分布檢驗(yàn)，殘差的均值、EISE檢驗(yàn)，R2檢驗(yàn)和相對(duì)均方根誤差RMS（Root Mean Square）檢驗(yàn)。對(duì)于多響應(yīng)問題，一般采用后2種標(biāo)準(zhǔn)，表達(dá)式分別為

式中：yRS（j）為第j個(gè)樣本響應(yīng)面模型的計(jì)算值；y（j）為對(duì)應(yīng)于第j個(gè)樣本的有限元計(jì)算值；為有限元計(jì)算結(jié)果平均值。

R2值越接近1，RMS值越接近0，表明響應(yīng)面模型越精確。

2　多目標(biāo)優(yōu)化算法

NSGA-Ⅱ是NSGA（Non-dominated Sorting Genetic Algorithm）的改良版，其優(yōu)點(diǎn)在于探索性能良好，因?yàn)榻咏黀areto前沿的個(gè)體被選擇，在非支配排序中，使Pareto前進(jìn)能力增強(qiáng)。

在具有同樣的Pareto順序的層內(nèi)，由于導(dǎo)入了“擁擠距離”和“擁擠距離排序”的方法，可以對(duì)個(gè)體進(jìn)行排序，不會(huì)削除frontier的端頭部分［15］。在目標(biāo)空間中按照Pareto最優(yōu)關(guān)系將群體中個(gè)體按其目標(biāo)函數(shù)向量?jī)蓛蛇M(jìn)行比較，將群體中所有個(gè)體分成多個(gè)依次控制的前沿層。利用評(píng)價(jià)Pareto優(yōu)越性來評(píng)價(jià)屬于不同Pareto層個(gè)體的優(yōu)劣，屬于同一個(gè)Pareto層的個(gè)體以及具有更大的擁擠距離的個(gè)體更優(yōu)秀［16］。

3　基于響應(yīng)面模型的損傷識(shí)別步驟

基于響應(yīng)面模型修正的斜拉橋損傷識(shí)別步驟可分為4步：建立有限元模型、試驗(yàn)設(shè)計(jì)（Design of Experiment，DOE）、響應(yīng)面分析、優(yōu)化計(jì)算。建立有限元模型是分析的基礎(chǔ)，基準(zhǔn)有限元模型精確與否決定后續(xù)計(jì)算的成敗。試驗(yàn)設(shè)計(jì)提供了合理而有效地獲得信息數(shù)據(jù)的方法。常用的方法有全因子設(shè)計(jì)、中心復(fù)合設(shè)計(jì)、D-最優(yōu)設(shè)計(jì)、最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)（Optimal Latin Hypercube Design，Opt LHD）等，本文采用具有非常好的空間填充性和均衡性的Opt LHD方法。最后利用NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，從而識(shí)別出損傷位置和損傷程度。

4　斜拉橋成橋試驗(yàn)及損傷識(shí)別仿真

算例中，主橋?yàn)閱嗡p索面預(yù)應(yīng)力混凝土斜拉橋。斜拉索采用扇形布置，梁上索距6 m，橋跨為（130+ 130）m，兩跨對(duì)稱布置18對(duì)斜拉索。主梁采用預(yù)應(yīng)力混凝土倒梯形的單箱4室截面，主梁中間設(shè)3道直腹板，兩側(cè)設(shè)斜腹板，端部為風(fēng)嘴形狀。主梁頂面全寬37.5 m，直線上標(biāo)準(zhǔn)段頂面設(shè)雙向2%橫坡。標(biāo)準(zhǔn)斷面梁高3 m，塔梁固結(jié)區(qū)加高至3.5 m。主梁標(biāo)準(zhǔn)斷面底板寬21.9 m，底板厚28 cm，頂板厚28 cm，斜邊腹板厚28 cm，中間直腹板厚40 cm。箱梁外側(cè)懸臂寬1.55 m，厚100 cm。順橋向根據(jù)拉索間距設(shè)置橫梁，橫梁腹板厚40 cm。

采用Ansys進(jìn)行建模，主梁和橋塔采用Beam 188單元，采用CAD定義截面的方式定義截面，斜拉索采用Link10單元，主梁和橋塔橫梁預(yù)應(yīng)力采用等效荷載法施加，采用文獻(xiàn)［17］中的方法建立基準(zhǔn)有限元模型，然后進(jìn)行動(dòng)力分析，提取前5階頻率，見圖1。基準(zhǔn)有限元模型頻率與采用脈動(dòng)法測(cè)得的實(shí)橋頻率對(duì)比見表1。

由表1可知，基準(zhǔn)有限元模型頻率與實(shí)測(cè)頻率較為吻合，最大誤差為1.4%，表明基于文獻(xiàn)創(chuàng)建的基準(zhǔn)有限元模型是可行的，其后續(xù)動(dòng)力分析及損傷識(shí)別是有效的。

將塔梁聯(lián)接部位梁段、跨中、1/4跨梁段等易損部位的單元彈性模量降低程度作為設(shè)計(jì)參數(shù)，如表2所示。目標(biāo)函數(shù)采用前5階頻率，設(shè)定3種多目標(biāo)損傷工況，如表3所示。

圖1　基準(zhǔn)有限元模型的模態(tài)

表1　基準(zhǔn)有限元模型頻率與實(shí)測(cè)頻率對(duì)比

試驗(yàn)設(shè)計(jì)采用最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)改進(jìn)了隨機(jī)拉丁超立方設(shè)計(jì)的均勻性，使因子和響應(yīng)的擬合更加精確真實(shí)。最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)使所有的試驗(yàn)點(diǎn)盡量均勻地分布在設(shè)計(jì)空間，具有非常好的空間填充性和均衡性。

表2　設(shè)計(jì)參數(shù)允許值

表3　損傷工況

在最優(yōu)拉丁超立方設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上，分別采用克里格模型、正交多項(xiàng)式模型、多項(xiàng)式模型和徑向基函數(shù)模型進(jìn)行分析。采用RMS檢驗(yàn)?zāi)Ｐ途?，便于各模型的精度在同一?shù)量級(jí)上進(jìn)行比較［11］，響應(yīng)面設(shè)計(jì)方法預(yù)測(cè)精度如圖2所示。

圖2　響應(yīng)面設(shè)計(jì)方法預(yù)測(cè)精度

由圖2可知，克里格模型和正交多項(xiàng)式模型以及多項(xiàng)式二階、三階模型的各階或部分階RMS指標(biāo)較大，且部分階R2指標(biāo)較小，模型精度較低。而四階多項(xiàng)式模型和徑向基模型的R2指標(biāo)均接近1且RMS指標(biāo)較小，可知這2種模型精度較高，但二者相比前者精度更高，即四階多項(xiàng)式模型具有更高的精度。

采用四階多項(xiàng)式模型進(jìn)行損傷識(shí)別計(jì)算，獲得了部分響應(yīng)面，如圖3所示。

由圖3可知，各階頻率的響應(yīng)面連續(xù)、光滑且有較大梯度，有利于模型修正中優(yōu)化問題的求解；響應(yīng)面圖形體現(xiàn)了待修正參數(shù)和各階頻率之間的關(guān)系。

圖3　四階多項(xiàng)式模型響應(yīng)面

利用NSGA-Ⅱ算法根據(jù)四階多項(xiàng)式響應(yīng)面模型進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，優(yōu)化結(jié)果與其種群數(shù)量、遺傳代數(shù)等因素密切相關(guān)。本文經(jīng)過試算，取種群數(shù)量為100，遺傳代數(shù)為200，最優(yōu)前端比為0.3，Pareto最優(yōu)解分布如圖4所示。

圖4　Pareto最優(yōu)解分布

由圖4可知，NSGA-Ⅱ算法進(jìn)化過程中，種群的Pareto前沿不斷向最優(yōu)Pareto前沿演進(jìn)；第1前端的Pareto最優(yōu)解分布較均勻。

損傷識(shí)別計(jì)算結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比如表4所示。

表4　損傷識(shí)別優(yōu)化結(jié)果與仿真結(jié)果對(duì)比

由表4可知，優(yōu)化得到的損傷位置和損傷程度與實(shí)際情況非常吻合，最大誤差不超過0.07%，說明具有較高的損傷識(shí)別精度。

5　結(jié)論

本文通過編制4種響應(yīng)面模型及優(yōu)化算法，對(duì)基于模型修正的斜拉橋損傷識(shí)別問題進(jìn)行了研究，獲得如下結(jié)論：

1）對(duì)于大跨度斜拉橋，4種響應(yīng)面模型中，四階多項(xiàng)式模型效率和精度最高，可用作大跨度斜拉橋損傷識(shí)別的響應(yīng)面模型。

2）對(duì)于四階多項(xiàng)式模型獲得的斜拉橋損傷識(shí)別響應(yīng)面模型，采用第2代非劣排序遺傳算法NSGA-Ⅱ算法進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算，可獲得較高精度。該方法不但可以識(shí)別損傷位置，而且可以識(shí)別損傷程度。

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（責(zé)任審編鄭冰）

Research on Response Surface Model and Optimization Algorithm of Cable-stayed Bridge Damage Identification

LIU Jie1，2，WANG Hailong2，3，ZHANG Zhiguo1，LYU Peng1
（1.School of Civil Engineering，Shijiazhuang Tiedao University，Shijiazhuang Hebei 050043，China；2.School of Civil Engineering，Southwest Jiaotong University，Chengdu Sichuan 610031，China；3.School of Civil Engineering，Hebei University of Architecture，Zhangjiakou Hebei 075000，China）

T he response surface models for cable-stayed bridge damage identification based on model updating method were studied，including the Kriging model，radial basis function（RBF），Chebyshev model，fourth-order polynomial response surface model.According to comparison and calculation，the fourth-order polynomial response surface model has the highest accuracy.T his paper introduced the fourth-order polynomial model and nonlinear constrained multi-objective optimization of the non-dominated sorting genetic algorithmⅡ（NSGA-Ⅱ）algorithm for damage identification and location of a single tower double-span double-cable plane cable-stayed bridge.By setting the damage condition，it is proved that fourth-order polynomial response surface model and the NSGA-Ⅱalgorithm have the advantages of high precision，accurate recognition，excellent global solving ability and computational efficiency.

Cable-stayed bridge damage identification；M odel updating；Response surface method；Optimization algorithm

U448.27

A

10.3969/j.issn.1003-1995.2016.10.01

1003-1995（2016）10-0001-05

2016-03-31；

2016-08-03

國(guó)家自然科學(xué)基金（51408379）；河北省自然科學(xué)基金（E2013210104，E2013210125，E2016210087）；河北省重點(diǎn)學(xué)科建設(shè)基金（081406）；河北省交通廳項(xiàng)目（Y-2010024）；河北省科學(xué)技術(shù)廳科技計(jì)劃（09276914）

劉杰（1977—），男，講師，博士研究生。