倪　波, 郭利娜, 吳泳波, 唐志列*

(1.華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院, 廣州 510006； 2.廣東技術(shù)師范學(xué)院電子與信息學(xué)院, 廣州 510665)

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離軸徑向偏振高斯光束的非傍軸傳輸特性

倪波1, 郭利娜2, 吳泳波1, 唐志列1*

(1.華南師范大學(xué)物理與電信工程學(xué)院, 廣州 510006； 2.廣東技術(shù)師范學(xué)院電子與信息學(xué)院, 廣州 510665)

基于矢量瑞利-索末菲衍射積分，研究了離軸徑向偏振高斯光束的非傍軸傳輸特性，推導(dǎo)了離軸徑向偏振高斯光束在自由空間中非傍軸傳輸?shù)慕馕霰磉_(dá)式，并與傍軸的情況進(jìn)行了對(duì)比.研究表明：f參數(shù)、離軸系數(shù)和傳輸距離對(duì)徑向偏振高斯光束的非傍軸傳輸特性有著重要的影響，而且，傳輸距離較遠(yuǎn)，離軸徑向偏振光束的光斑向光軸靠攏，表現(xiàn)出較強(qiáng)的離軸修復(fù)能力.這些結(jié)論在多束離軸激光束進(jìn)行光束合成和光束整形的研究中具有重要意義.

離軸徑向偏振光束; 離軸量;f參數(shù); 矢量瑞利-索末菲衍射積分; 非傍軸傳輸特性

徑向偏振光束具有沿光軸對(duì)稱(chēng)的偏振分布以及中空的圓環(huán)形光束結(jié)構(gòu)，在光束傳輸和大數(shù)值孔徑聚焦過(guò)程中，具有更獨(dú)特的優(yōu)點(diǎn).例如：徑向偏振光通過(guò)大數(shù)值孔徑透鏡聚焦可以產(chǎn)生比線(xiàn)偏振光更小的光斑，有效地提高成像系統(tǒng)的空間分辨率[1-2].此外，聚焦的徑向偏振光束可以產(chǎn)生比線(xiàn)偏振光更大的梯度力,不產(chǎn)生軸向的散射力在光學(xué)捕捉中有重要應(yīng)用[3-5].因此，徑向偏振光束的產(chǎn)生和傳輸引起了研究人員的極大關(guān)注[6-11]. 將徑向偏振光和貝塞爾高斯光束的無(wú)衍射特性結(jié)合起來(lái)，在實(shí)驗(yàn)上可獲得徑向偏振無(wú)衍射光束[12].研究部分相干徑向偏振光束的自修復(fù)特性表明，徑向偏振貝塞爾高斯光束具有比線(xiàn)偏振貝塞爾高斯光束更好的自修復(fù)能力[13]. 徑向偏振光束也被擴(kuò)展到部分相干光領(lǐng)域.

當(dāng)光束的光斑尺寸很小(與波長(zhǎng)相近)或遠(yuǎn)場(chǎng)發(fā)散角很大，傍軸理論則不再有效，需要用更為嚴(yán)格的矢量波動(dòng)方程理論來(lái)研究非傍軸光束的行為.非傍軸光束可以通過(guò)半導(dǎo)體激光器或大數(shù)值孔徑聚焦系統(tǒng)產(chǎn)生.利用矢量瑞利-索末菲衍射積分法研究表明，徑向偏振光束在自由空間和經(jīng)圓形孔中具有非傍軸傳輸特性[14-16].而在實(shí)際光學(xué)系統(tǒng)中由于受到外部因素和系統(tǒng)結(jié)構(gòu)等因素的影響，徑向偏振光束的中心軸線(xiàn)往往與光學(xué)系統(tǒng)光軸有一定偏離[17].另一方面，實(shí)際工作中，通常使用多束離軸激光束進(jìn)行光束合成，因此對(duì)離軸偏振光束在非傍軸領(lǐng)域的研究顯得很有必要[18].本文基于矢量瑞利-索末菲衍射積分公式，對(duì)離軸徑向偏振TEM01模式光束在自由空間中的非傍軸傳輸特性進(jìn)行了系統(tǒng)研究，并與傍軸的情況進(jìn)行了對(duì)比.

1　理論分析

在直角坐標(biāo)系中，離軸徑向偏振TEM01模式光束在z=0平面上可表示為[19]：

[(x0-a)i+(y0-b)j],

(1)

其中，w0為徑向偏振光束在x、y軸方向上的束腰寬度，a、b為x、y軸方向上的離軸參數(shù)，i、 j分別為x、y軸方向的單位矢量.在x、y軸方向上：

Ex(x0,y0,0)=

(2)

Ey(x0,y0,0)=

(3)

(4)

(5)

(6)

其中r0=x0i+y0j，r=xi+yj+zk，k為z方向的單位矢量，而G(r,r0)可表示為：

(7)

(8)

將式(7)、(8)帶入式(6)，可得瑞利-索末菲衍射積分的非傍軸近似形式：

(9)

(10)

Ey(x0,y0,0)(y-y0))×

(11)

將式(2)、(3)帶入式(11)，經(jīng)過(guò)積分可得非傍軸情況下的光場(chǎng)解析表達(dá)式[21]：

(12)

(13)

(14)

式(14)描述了徑向偏振離軸高斯光束在自由空間的非傍軸傳輸規(guī)律，它對(duì)遠(yuǎn)場(chǎng)和近場(chǎng)都適用，令a=0，b=0, 則其表示非離軸的徑向偏振光束的非傍軸傳輸表達(dá)式，這和文獻(xiàn)[14]1230的式(16)～(18)一致，是本文的主要解析結(jié)果.

在遠(yuǎn)場(chǎng)情況下，式(8)可以進(jìn)一步寫(xiě)為：

(15)

將式(2)、(3)、(7)、(15)代入式(6)，經(jīng)過(guò)積分可得遠(yuǎn)場(chǎng)條件的解析表達(dá)式：

(16)

(17)

(18)

對(duì)于傍軸光束，將式(12)～(14)和式(16)～(18)的exp(ikr)的r作傍軸近似：

(19)

(20)

(21)

(22)

令a=0，b=0,則式(20)～(22)表示徑向偏振光束的傍軸傳輸表達(dá)式，和文獻(xiàn)[22]中的式(26)和(29)的計(jì)算結(jié)果一致.

對(duì)非傍軸解析式(12)～(14)中的關(guān)鍵項(xiàng)進(jìn)行如下計(jì)算：

(23)

(24)

(25)

其中，f=1/kw0，*為復(fù)共軛.

由式(23)可知橫向光場(chǎng)分布Ix+Iy在x=a，y=b處始終為0，結(jié)合式(24)，由于的存在當(dāng)傳輸距離z越大，Ix+Iy的分布越接近圓環(huán)狀，其相應(yīng)的圓心越靠近(a，b)，而當(dāng)z較小時(shí)，Ix+Iy、Iz的分布呈現(xiàn)出不規(guī)則的形狀，即出現(xiàn)畸變，并且在(0，b)處的光強(qiáng)要比(2a，b)處的強(qiáng)，可得出此時(shí)圓環(huán)上的最大光強(qiáng)將出現(xiàn)在偏移量相反方向.同理從式(25)可以看出，Iz在中心(a，b)處的光強(qiáng)不為0，結(jié)合式(24)可知，當(dāng)z較小時(shí)式(24)對(duì)Iz的影響較大，當(dāng)z較大時(shí)式(25)對(duì)Iz的影響較大，因此隨著z的增大，Iz的分布會(huì)呈現(xiàn)出從圓斑到圓環(huán)的變化.從式(23)和式(25)不難看出，參數(shù)f越小Iz對(duì)Inp的影響越小.

對(duì)于傍軸解析表達(dá)式(20)～(22)中的關(guān)鍵項(xiàng)只需要將式(23)～(25)中的r用z替換即可.

(26)

(27)

(28)

對(duì)比式(23)～(25)和式(26)～(28),發(fā)現(xiàn)式(23)～(25)中存在4k2f4r2(r2=x2+y2+z2)項(xiàng)，當(dāng)f越大，傍軸光強(qiáng)和非傍軸的差別越大，而z越大傍軸和非傍軸的差別越小.

2　結(jié)果與討論

圖1表明，當(dāng)a=0時(shí)，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的光斑分布呈中心對(duì)稱(chēng)分布，而且Inp和Ip沒(méi)有差別，此時(shí)非傍軸徑向偏振高斯光束的特性可以用傍軸近似來(lái)分析.隨著a從0增加到4λ的過(guò)程中，Ip(x,y,zR)與Inp(x,y,zR)的差別逐漸增加，這說(shuō)明了離軸量導(dǎo)致了光束的非傍軸性，此時(shí)傍軸近似不能很好地說(shuō)明離軸徑向偏振光束的特性，因此，非傍軸近似是必須的. 而且隨著a從0逐漸變化至4λ過(guò)程中，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的光斑分布偏離光軸，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的光斑中心沿x軸偏移原點(diǎn)的距離隨著a的增加而增加；而且Inp(x,y,zR)、Ix+Iy(x,y,zR)失去對(duì)稱(chēng)性，但仍為圓環(huán)狀，光強(qiáng)最大值出現(xiàn)在圓環(huán)右邊，a越大圓環(huán)上光強(qiáng)最小值越小.圖1D～N表明，a從0變化至4λ的過(guò)程中，Ip(x,y,zR)與Iz(x,y,zR)未有出現(xiàn)明顯的畸變.

圖1　Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(xiàn)(f=0.1， z=zR)

Figure 1Simulated diagrams andxaxial distribution curves ofIp,Inp,Ix+IyandIzvarying with off-axis coefficienta(f=0.1，z=zR)

圖2表示在z=10zR處，Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的歸一化光強(qiáng)分布.其中，f=0.1，a=0、2λ、4λ、-4λ.在z=10zR處，隨著a從0增加到4λ的過(guò)程中，Ip與Inp差別很小，當(dāng)離軸量a小于4λ，Ip與Inp差別可忽略，表明在傳輸距離較遠(yuǎn)處，離軸量a對(duì)光束的非傍軸性的影響減弱，在離軸量很小，非傍軸徑向偏振高斯光束的特性可以用傍軸近似來(lái)分析.而且在z=10zR處，Ip、Inp、Ix+Iy、Iz的光強(qiáng)分布仍具有對(duì)稱(chēng)性，Ip、Inp、Ix+Iy、Iz的光斑分布向光軸靠攏，這說(shuō)明，傳輸距離較遠(yuǎn)時(shí)，離軸徑向偏振光束的表現(xiàn)出較強(qiáng)的離軸修復(fù)能力.

圖2　Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(xiàn)(f=0.1，z=10zR)

圖3和圖4表明，當(dāng)f=0.1、a=0時(shí),Inp、Ix+Iy、Iz存在差別，因?yàn)殡S著f參數(shù)的增加，即光束的發(fā)散性增強(qiáng)，導(dǎo)致光束的非傍軸效應(yīng)增強(qiáng)，從而導(dǎo)致傍軸光強(qiáng)和非傍軸的光強(qiáng)差異增大.此外，在a從0逐漸變化至λ的過(guò)程中，Inp和Ip的差別進(jìn)一步增大，而且Inp、Ix+Iy、Iz沿x軸正方向偏移原點(diǎn)較小距離并出現(xiàn)畸變，a越大，光斑偏移原點(diǎn)距離越大，畸變?cè)絿?yán)重.但隨著傳輸距離z的增加，光斑向光軸靠攏，光斑畸變逐漸減小，光斑的變化呈現(xiàn)出規(guī)律性.

f參數(shù)、離軸量a和傳輸距離共同決定著離軸徑向偏振光束的非傍軸傳輸特性(圖1～4).f越大，傳輸距離z越小，離軸量a越大，Ip和Inp的差異越大，光束的非傍軸效應(yīng)越強(qiáng).此外，f參數(shù)、傳輸距離z和離軸量a對(duì)非傍軸離軸徑向偏振光束的光斑演化起著重要的影響，通過(guò)改變f參數(shù)、離軸量a和傳輸距離，可以調(diào)節(jié)離軸徑向偏振光束的光斑分布.

3　結(jié)論

對(duì)離軸徑向偏振TEM01模式光束在自由空間中的非傍軸傳輸做了詳細(xì)研究，推導(dǎo)了離軸徑向偏振光束在自由空間中非傍軸傳輸?shù)慕馕霰磉_(dá)式，并根據(jù)解析表達(dá)式分析了非傍軸離軸徑向偏振光束傳播特性.離軸徑向偏振光束在遠(yuǎn)場(chǎng)以及傍軸傳輸可作為本文的2種特例.數(shù)值結(jié)果表明：f參數(shù)、離軸參數(shù)a和傳輸距離z共同決定離軸徑向偏振光束的非傍軸行為，它們對(duì)光強(qiáng)的分布影響很大，而且對(duì)光強(qiáng)分布的影響不同.隨著f參數(shù)的增大，傍軸和非傍軸的差異增加.隨著離軸量a的增加，傍軸和非傍軸的光斑分布偏離光軸而且發(fā)生畸變.但隨著傳輸距離z的增加，傍軸和非傍軸的差異減小，光斑畸變減小，光強(qiáng)分布向光軸靠攏，表現(xiàn)出較好的離軸修復(fù)能力，其模擬結(jié)果和理論分析一致.研究結(jié)果可用在非傍軸徑向偏振光束的光束合成和光束整形方面.

圖3Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(xiàn)(f=0.5，z=zR)

Figure 3Simulated diagrams andxaxial distribution curves ofIp,Inp,Ix+IyandIzvarying with off-axis coefficienta(f=0.5，z=zR)

圖4　Ip、Inp、Ix+Iy和Iz的分布隨離軸量a的模擬圖及其x軸向分布曲線(xiàn)(f=0.5，z=10zR)

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【中文責(zé)編：成文英文責(zé)編：肖菁】

Nonparaxial Propagation Properties of Off-Axis Radially Polarized Beams

NI Bo1, GUO Lina2, WU Yongbo1,TANG Zhilie1*

(1.School of Physics and Telecommunication Engineering, South China Normal University, Guangzhou 510006, China；2.School of Electronics and Information, GuangDong Polytechnic Normal University, Guangzhou 510665, China)

Based on the vectorial Rayleigh-Sommerfeld diffraction formula, the analytical expressionons for nonparaxial off-axis radially polarized Gaussian beams propagating in free space are derived. The nonparaxial propagation properties of off-axis radially polarized Gaussian beams are studied, and compared with the corresponding paraxial results. It is shown that the f parameter, off-axis coefficient and propagation distance play important roles in the nonparaxial propagation properties of the off-axis radially polarized Gaussian beams. Moreover, when the propagation distance is farther, the off-axis radially polarized beams exhibit better off-axis healing property.

off-axis radially polarized beams; off-axis coefficient;fparameter; vectorial Rayleigh-Sommerfeld diffraction integral; nonparaxial propagation property

2015-09-19《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(61178086，11404067);中國(guó)博士后科學(xué)基金項(xiàng)目(2015M570473)

唐志列, 教授, Email: tangzhl@scnu.edu.cn.

O436.1

A

1000-5463(2016)03-0075-07