陳艷萍, 王克彥

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州 510631)

?

非線性雙曲型方程的混合有限元兩層網(wǎng)格算法

陳艷萍*, 王克彥

(華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,廣州 510631)

針對一類非線性雙曲型方程, 利用混合有限元法,構(gòu)造了1種混合有限元兩層網(wǎng)格算法, 給出了兩網(wǎng)格方法的誤差分析. 結(jié)果表明, 當(dāng)兩層網(wǎng)格算法所選取的粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格步長滿足H=O(h1/2)時,能獲得漸近最優(yōu)的離散逼近解. 并用數(shù)值例子驗(yàn)證了該混合有限元兩層網(wǎng)格算法的有效性.

非線性雙曲型方程; 混合有限元; 兩層網(wǎng)格算法; 誤差分析

考慮下述非線性雙曲型方程的混合問題:

(1)

(A1)κ=K-1是一致對稱正定的矩陣, 即存在常數(shù)K*,K*>0, 使得

K*|y|2≤yTκ(x,t)y≤K*|y|2.

(2)

(A2)f=f(u)為已知的有界光滑函數(shù), 且存在常數(shù)K1, 使得

(3)

(A3)對于r>0, 假設(shè)滿足式(1)的解函數(shù)u有下列正則性

(4)

雙曲型方程描述聲波、光波、多孔介質(zhì)波傳播問題和流體力學(xué)等眾多物理現(xiàn)象,對許多實(shí)際問題具有重要的理論價值及現(xiàn)實(shí)意義.目前, 許多數(shù)值求解方法被應(yīng)用到雙曲問題, 如有限差分法[1-2]、有限元法[3-4]和有限體積元法[5-6]等等.

混合有限元方法是在有限元方法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的一個分支, 已成為偏微分方程數(shù)值求解的一種重要方法. 20世紀(jì)70年代, BABUSKA[7]和BREEZZI[8]基于B-B相容性條件獲得了混合有限元方法的一般理論. FALK和OSBORN[9]改進(jìn)了該方法，推廣了混合有限元方法的適應(yīng)性. RAVIART和THOMAS[10]針對二階橢圓問題, 提出了R-T混合有限元的構(gòu)造方法,通過引入中間變量將高階微分方程降階, 從而降低了對有限元空間的光滑性要求, 與標(biāo)準(zhǔn)有限元只能通過后處理對微分算子進(jìn)行計算相比, 其數(shù)值解的精度往往會提高. 在過去的幾十年里, 混合有限元方法得到了廣泛的應(yīng)用[11-13].

兩層網(wǎng)格算法是一類求解非線性偏微分方程的高效算法, 它的基本思想是： 通過構(gòu)造2種不同尺度(粗網(wǎng)格和細(xì)網(wǎng)格)的有限元空間, 首先在粗網(wǎng)格上求解原來的非線性問題, 然后利用粗網(wǎng)格上的數(shù)值解將原問題用合適的方式進(jìn)行線性化, 再在細(xì)網(wǎng)格上求解相應(yīng)的線性化問題. 該方法最先由XU[14-15]提出和討論, 他將兩層網(wǎng)格思想與非線性Galerkin方法相結(jié)合，成功運(yùn)用于求解半線性和非線性橢圓型問題. 隨著對這種高效的有限元兩層網(wǎng)格算法研究的深入,許多學(xué)者已經(jīng)將它應(yīng)用于各類不同的、具有實(shí)際應(yīng)用背景非線性的偏微分方程問題. DAWSON等[16]研究了非線性問題的有限差分兩層網(wǎng)格方法; WU和ALLEN[17]使用了擴(kuò)展混合有限元兩層網(wǎng)格方法研究了半線性反應(yīng)擴(kuò)散方程; HOLST等[18]分析了半線性界面問題的兩層網(wǎng)格算法; ZHOU等[19]研究了Maxwell特征值問題兩層網(wǎng)格算法; CHEN等[6,20]分別使用兩網(wǎng)格有限元和兩網(wǎng)格有限體積元法研究了雙曲型方程; 最近, CHEN等[21-23]研究了針對拋物型方程問題的混合有限元兩網(wǎng)格方法.

本文針對非線性雙曲型方程構(gòu)造了混合有限元兩層網(wǎng)格算法, 通過將非線性問題的求解轉(zhuǎn)化為1個節(jié)點(diǎn)數(shù)較少的粗網(wǎng)格上的非線性問題和1個細(xì)網(wǎng)格上的線性問題, 使問題在一定程度上得到了線性化, 從而加快了非線性問題的求解速度.同時給出了兩層網(wǎng)格法的誤差分析, 根據(jù)誤差估計和數(shù)值算例可知兩層網(wǎng)格算法在不降低解的精度的情況下提高了計算效率.

1　主要符號及投影算子的逼近性質(zhì)

‖υ‖H(div;Ω)≡(‖υ‖2+‖▽·υ‖2)1/2.

設(shè)Qh為L2投影算子,則有

‖Qhφ‖0,q≤C‖φ‖0,q(2≤q<∞),

‖φ-Qhφ‖0,q≤C‖φ‖r,qhr(0≤r≤k+1).

(5)

同時利用標(biāo)準(zhǔn)混合有限元空間的Fortin投影算子Πh:(H1(Ω))2Vh, 使得對任意的qH(div,Ω),有

‖q-Πhq‖0,q≤C‖q‖r,qhr(1/q

(6)

‖▽·(q-Πhq)‖0,q≤C‖▽·q‖r,qhr(0≤r≤k+1).

對于空間Wh和Vh, 具有逆估計

‖w‖0,∞≤Ch-1‖w‖,‖υ‖0,∞≤Ch-1‖υ‖

(7)

2　混合有限元法及其誤差估計

(8)

對方程(8)離散化, 可得

(9)

(10)

(11)

(12)

由方程(8)和方程(12), 得到誤差方程

(13)

為了后面的理論分析,給出以下引理.

‖p-Rhp‖0,q≤C‖p‖k+1,qhk+1,

‖▽·(p-Rhp)‖0,q≤C‖▽·p‖k+1,qhk+1.

‖u-Rhu‖0,q+‖(u-Rhu)t‖0,q≤C‖u‖r,qhr,

‖Qhu-Rhu‖0,q+‖(Qhu-Rhu)t‖0,q≤C‖u‖r+1,qhr+1.

‖utt-Rhutt‖≤C(‖utt‖r+1+‖ut‖r+2+‖u‖r+2)hr,

‖utt-Rhutt‖0,∞≤C(‖utt‖r,∞+‖utt‖r+1+‖ut‖r+2+‖u‖r+2)hr,

‖Qhutt-Rhutt‖≤C(‖utt‖r+1+‖ut‖r+2+‖u‖r+2)hr+1.

下面將得到全離散混合有限元解和橢圓混合法投影之間的超收斂現(xiàn)象.

為了分析方便, 記αn=un-Rhun,γn=pn-Rhpn,δn=Qhun-Rhun.

C(hk+2+Δt2).

(14)

證明方程(13)可寫為:

(15)

(κ(pn+1-Rhpn+1),υh)-(▽·υh,un+1-Rhun+1)=0

(16)

由方程(8)可得

(17)

(18)

(19)

(20)

(21)

(T1,?tξn)+(T2,?tξn)+(T3,?tξn).

(22)

式(22)兩端同乘以2Δt并對t從1到l-1(1

接下來利用文獻(xiàn)[12]185-187中引理6的證明方法, 可獲得方程的全離散解和橢圓混合法投影之間的超收斂結(jié)果(式(14)). 進(jìn)一步, 利用三角不等式、引理1～引理3及引理5可獲得混合有限元的誤差估計.

C(hk+1+Δt2).

3　兩層網(wǎng)格算法及其誤差分析

本節(jié)構(gòu)造了非線性雙曲型方程(1)的全離散兩網(wǎng)格混合有限元格式.對區(qū)域Ω進(jìn)行2個擬一致三角形網(wǎng)格剖分TH和Th,得到有限維空間WH×VH(?Wh×Vh).此算法可以分為2步進(jìn)行: 首先在粗網(wǎng)格TH上解1個非線性問題(即原問題); 然后在細(xì)網(wǎng)格Th上解1個線性問題(即原問題線性化). 算法如下:

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

證明利用三角不等式、 逼近性質(zhì)(5)、引理2、引理5及逆估計(7), 易得到式(29).

(30)

那么存在與h和Δt無關(guān)的C,使得

C(hk+1+H2k+2+Δt2).

(31)

(32)

(κωn+1,υh)-(▽·υh,μn+1)=-(κn+1,υh),

(33)

(34)

(F1,?tμn)-(κ?t).

(35)

式(35)兩邊同乘以2Δt, 對t從1到l-1(1

(κ?t}.

(36)

(37)

(38)

下面估計方程(36)的右端，有

(39)

對于F1中的每一項(xiàng), 利用逼近性質(zhì)(5)、引理4和引理6, 可以得到

(40)

(41)

(42)

由式(40)～(42), 得到F1的估計如下:

(43)

(44)

(45)

在式(45)兩邊同時加上‖μl‖, 并使用不等式

利用離散的Gronwall引理可得

C{Δt4+h2k+2+H4k+4}.

最后, 由逼近性質(zhì)(5)、式(6)以及三角不等式，式(31)成立.

4　數(shù)值例子

考慮非線性雙曲型方程問題

(46)

由表1和表2可知, 兩網(wǎng)格法得到的數(shù)值解與直接法求得的結(jié)果幾乎一致, 同時通過比較計算時間t(利用MATLAB軟件的運(yùn)行時間)可知, 兩網(wǎng)格法提高了計算效率, 當(dāng)計算規(guī)模較大的時候, 更能體現(xiàn)兩網(wǎng)格法的優(yōu)勢. 這些結(jié)果和理論分析的結(jié)果一致.該方法簡單有效, 我們可以知道當(dāng)粗網(wǎng)格十分粗時, 即粗網(wǎng)格的網(wǎng)格數(shù)比細(xì)網(wǎng)格的網(wǎng)格數(shù)小得多, 不會影響細(xì)網(wǎng)格上有限元方法解的精度, 這樣可以將大規(guī)模的計算問題轉(zhuǎn)化成小規(guī)模問題進(jìn)行求解.

表1　混合有限元法計算誤差及時間

表2　兩層網(wǎng)格法計算誤差及時間

[1]WIRZHJ,SCHUTTERFD,TURIA.Animplicit,compact,finitedifferencemethodtosolvehyperbolicequations[J].MathematicsandComputersinSimulation,1977,19:241-261.

[2]KABANIKHINSI.Afinite-differencemethodoffindingthecoefficientsofahyperbolicequation[J].USSRComputationalMathematicsandMathematicalPhysics,1979,19:150-159.

[3]DUPONTT. L2estimatesforGalerkinmethodsforsecondorderhyperbolicequations[J].SiamJournalonNumericalAnalysis, 1973,10(5):880-889.

[4]BAKERGA.Errorestimatesforfiniteelementmethodsforsecondorderhyperbolicequations[J].SiamJournalonNumericalAnalysis,1976,13(4):564-576.

[5]KUMARS,NATARAJN,PANIAK.Finitevolumeelementmethodforsecondorderhyperbolicequations[J].InternationalJournalofNumericalAnalysis&Modeling,2008,5(1):132-151.

[6]CHENCJ,LIUW.Atwo-gridmethodforfinitevolumeelementapproximationsofsecond-ordernonlinearhyperbolicequations[J].JournalofComputationalandAppliedMathematics, 2010,233(11):2975-2984.

[7]BABUSKAI.Errorboundsforfiniteelementmethod[J].NumerischeMathematik,1971,16:322-333.

[8]BREZZIF.Ontheexistence,uniquenessandapproximationofsaddle-pointproblemsarisingfromLagrangianmultipliers[J].SiamJournalonNumericalAnalysis, 1974,8:129-151.

[9]FALKRS,OSBORNJE.Errorestimationsformixedmethods[J].RAIROAnalyseNumerique,1980,14:249-277.

[10]RAVIARTPA,THOMASTM.Amixedfiniteelementmethodforsecondorderellipticproblems[M]∥GALLI-GAMI,MAGENESE.MathematicalaspectsofFEM.Berlin:Springer, 1977,606:292-315.

[11]COWSARL,DUPONTT,WHEELERMF.Aprioriestimatesformixedfiniteelementmethodsforthewareequation[J].ComputerMethodsinAppliedMechanicsEngineering,1990,82(1/2/3):205-222.

[12]CHENYP,SHENZH,HUANGYQ.Errorestimatesforthefull-discretemixedFEMfornonlinearhyperbolicproblems[J].NumericalMathematics,2000,9(2):181-192.

[13]CHENYP,HUANGYQ.Improvederrorestimatesformixedfiniteelementfornonlinearhyperbolicequations:thecontinuous-timecase[J].JournalofComputationalMathematics, 2001,19(4):385-392.

[14]XUJ.Anoveltwo-gridmethodforsemilinearequations[J].SiamJournalonScientificComputing,1994,15(1):231-237.[15]XUJ.Two-griddiscretizationtechniquesforlinearandnon-linearPDEs[J].SiamJournalonNumericalAnalysis,1996,33(5):1759-1777.[16]DAWSONCN,WHEELERMF,WOODWARDCS.Atwo-gridfinitedifferenceschemefornonlinearparabolicequations[J].SiamJournalonNumericalAnalysis,1998,35(2):435-452.

[17]WUL,ALLENMB.Atwo-gridmethodformixedfinite-elementsolutionofreaction-diffusionequations[J].NumericalMethodsforPartialDifferentialEquations,1999,15(3):317-332.

[18]HOLSTM,SZYPOWSKIR,ZHUYR.Two-gridmethodsforsemilinearinterfaceproblems[J].NumericalMethodsforPartialDifferentialEquations,2013,29(5):1729-1748.

[19]ZHOUJ,HUX,ZHONGL,etal.Two-gridmethodsforMaxwelleigenvalueproblems[J].SiamJournalonNumeri-calAnalysis,2014,52(4):2027-2047.[20]CHENCJ,LIUW,ZHAOX.Atwo-gridfiniteelementmethodforasecond-ordernonlinearhyperbolicequation[J].AbstractandAppliedAnalysis, 2014:Art803615,6pp.[21]CHENYP,HUANGYQ,YUDH.Atwo-gridmethodforexpandedmixedfinite-elementsolutionofsemilinearreaction-diffusionequations[J].InternationalJournalforNumericalMethodsinEngineering, 2003,57(2):193-209.

[22]CHENYP,LIUHW,LIUS.Analysisoftwo-gridmethodsforreaction-diffusionequationsbyexpandedmixedfiniteelementmehtods[J].InternationalJournalforNumeri-calMethodsinEngineering, 2007,69(2):408-422.[23]CHENYP,LIL. Lperrorestimatesoftwo-gridschemesofexpandedmixedfiniteelementmethods[J].AppliedMathematicsandComputation, 2009,209(2):197-205.

[24]GARCIAMF.Improvederrorestimatesformixedfinite-elementapproximationsfornonlinearparabolicequations:thecontinuous-timecase[J].NumericalMethodsforPartialDifferentialEquations,1994,10:139.

【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

Two-Grid Scheme for the Mixed Finite Element Approximations of Nonlinear Hyperbolic Equations

CHEN Yanping*, WANG Keyan

(School of Mathematical Science, South China Normal University, Guangzhou 510631,China)

A combination method of mixed finite element method and two-grid scheme is constructed for solving numerically the two-dimensional nonlinear hyperbolic equations. Error estimate are derived in detail. It is shown that two grid algorithm achieve asymptotically optimal approximation of discrete solution as long as the mesh sizes satisfyH=O(h1/2). Numerical example is presented to verify the efficiency and accuracy of the proposed numerical algorithm.

nonlinear hyperbolic equations; mixed finite element method; two-grid algorithm; error estimate

2016-04-03《華南師范大學(xué)學(xué)報(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(91430104, 11271145);廣東省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(2015A030313643);華南師范大學(xué)研究生創(chuàng)新基金項(xiàng)目(2015lkxm03)

陳艷萍,教授,珠江學(xué)者,Email:yanpingchen@scnu.edu.cn.

O241.1

A

1000-5463(2016)03-0001-06