鐘柳強(qiáng), 李　瑩, 劉春梅

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631; 2.湖南科技學(xué)院理學(xué)院, 永州 425199)

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非對(duì)稱不定橢圓方程的兩網(wǎng)格內(nèi)罰間斷有限元方法

鐘柳強(qiáng)1*, 李瑩1, 劉春梅2

(1.華南師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院, 廣州 510631; 2.湖南科技學(xué)院理學(xué)院, 永州 425199)

針對(duì)一類非對(duì)稱或不定橢圓方程的內(nèi)罰間斷有限元方法,設(shè)計(jì)和分析了相應(yīng)的兩網(wǎng)格求解算法.首先給出了內(nèi)罰間斷有限元解的適定性,及其在L2和間斷H1范數(shù)下的先驗(yàn)估計(jì);其次設(shè)計(jì)了相應(yīng)的兩網(wǎng)格求解算法,并給出算法的誤差分析;最后,數(shù)值實(shí)驗(yàn)結(jié)果驗(yàn)證了算法的高效性.

非對(duì)稱不定橢圓方程; 內(nèi)罰間斷有限元方法; 兩網(wǎng)格方法; 誤差估計(jì)

令Ωì2是一個(gè)單連通有界Lipschitz多邊形開(kāi)區(qū)域, 其邊界記為?Ω.考慮如下二階橢圓偏微分方程:

(1)

(2)

其中微分算子為

(3)

這里系數(shù)α(x)滿足

(4)

(5)

(6)

故其伴隨算子

‖φ‖H2(Ω)≤C‖g‖L2(Ω).

(7)

間斷有限元方法是對(duì)橢圓方程(組)進(jìn)行數(shù)值求解的一種基本離散化方法,通常具有局部守恒性、穩(wěn)定性及高階精度,且能較好地解決一些復(fù)雜的問(wèn)題: 例如在不同的求解區(qū)域中所求解的方程(組)類型發(fā)生改變, 三角網(wǎng)格剖分中允許出現(xiàn)懸點(diǎn), 較容易實(shí)現(xiàn)h-p自適應(yīng)等.間斷有限元方法近年來(lái)廣泛運(yùn)用于橢圓方程[1-2].關(guān)于間斷有限元方法的綜述性論文可參見(jiàn)文獻(xiàn)[3].

相對(duì)于協(xié)調(diào)元方法, 間斷有限元方法離散線性代數(shù)系統(tǒng)具有更大的自由度.為了間斷有限元方法的高效實(shí)現(xiàn), 需要構(gòu)造相應(yīng)的快速算法.兩網(wǎng)格方法最初被用于解決非對(duì)稱不定線性橢圓偏微分方程的協(xié)調(diào)有限元方法離散線性代數(shù)系統(tǒng)[4-5],其基本思想是先在粗網(wǎng)格空間中求解原非對(duì)稱不定問(wèn)題,然后在細(xì)網(wǎng)格空間中求解相應(yīng)的對(duì)稱正定問(wèn)題. 注意到,在粗網(wǎng)格中解非對(duì)稱不定問(wèn)題的工作量是較小的,所以要解決原問(wèn)題的關(guān)鍵在于怎樣在細(xì)網(wǎng)格中求解對(duì)稱正定問(wèn)題.之后,兩網(wǎng)格方法還被用來(lái)求解特征值問(wèn)題[6-7]、擬線性問(wèn)題[8]以及電磁場(chǎng)問(wèn)題[9]等等.

BI和GINTING[8]首次將對(duì)稱內(nèi)罰間斷有限元方法與兩網(wǎng)格結(jié)合使用,但僅考慮如下對(duì)稱正定橢圓方程:

其中αL≤α(u)≤αU, αL和αU是正常數(shù). 最近,CONGREVE等[10]針對(duì)如下二階擬線性橢圓邊值問(wèn)題：

本文將針對(duì)非對(duì)稱或不定橢圓方程邊值問(wèn)題(1)、(2),給出了相應(yīng)的內(nèi)罰間斷有限元方法, 通過(guò)證明相應(yīng)的Gr?ding不等式和標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)偶估計(jì)等, 得到當(dāng)網(wǎng)格尺寸充分小及罰參數(shù)充分大時(shí)離散變分問(wèn)題的適定性； 證明了有限元解在L2范數(shù)和間斷H1范數(shù)下的最優(yōu)誤差估計(jì)；設(shè)計(jì)和分析了兩網(wǎng)格內(nèi)罰間斷有限元方法；并用數(shù)值例子驗(yàn)證了算法的高效性.

在本文中，除了特殊常數(shù)外，為避免重復(fù)使用一般的常數(shù)記號(hào)，采用記號(hào)、和≈,即當(dāng)存在正常數(shù)C1、C2和C3，滿足x1≤C1y1、x2≥C2y2、x3≤y3≤C3x3時(shí)，簡(jiǎn)記為x1y1、x2y2、x3≈y3.

1　內(nèi)罰間斷有限元方法

1.1內(nèi)罰間斷有限元方法的變分問(wèn)題

在給出邊值問(wèn)題(1)、(2)的連續(xù)和離散變分問(wèn)題之前, 先引入若干定義和記號(hào).

及其范數(shù)和半范數(shù)分別為:

定義 Vh是間斷有限元空間:

其中Pr(T)表示定義在T上階數(shù)不大于r的多項(xiàng)式集合,r≥1是某一整數(shù). 顯然有VhìHs(Ω;Th).

[[m]]=m+n++m-n-,{{m}}=(m++m-)/2,

其中n是e指向Ω外部的單位外法向量.

方便起見(jiàn), 將H1(Ω；Th)上的間斷H1-范數(shù)定義為 :

u2σ=‖u‖,

(8)

及

u21,σ=u‖{{u}}‖,

(9)

(10)

(11)

(12)

1.2內(nèi)罰間斷有限元方法解的適定性

引理2[11]14(跡不等式)存在一個(gè)正常數(shù)C>0,使得

(13)

成立.

(14)

由式(4)和Cauchy-Schwarz不等式,有

(15)

另外, 根據(jù)利用式(5)、Cauchy-Schwarz不等式、局部逆估計(jì)(13)及網(wǎng)格的形狀正則性, 有

(16)

因此, 綜合式(15)、(16)和均值不等式可知

(17)

其中σ1=σ1(Cβ,Cα1,Cα0).

(18)

將式(17)、(18)代入式(14),直接計(jì)算

(19)

令

(20)

類似文獻(xiàn)[12]157中式(3.8)、(3.9)的證明, 利用跡定理及引理4,得到如下逼近性質(zhì).

‖w-χ‖0,T h＾Hs‖w‖s,T h,

(21)

且

w-χ1,σ＾hs-1‖w‖s,T h,

(22)

其中C依賴于σL.

接下來(lái), 給出標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)偶論證.

(23)

的解,則存在正常數(shù)C，使得

‖Ψ‖0,T h＾hΨ1,σ.

(24)

證明考慮如下輔助問(wèn)題:

hΨ1,σ‖Ψ‖0,T h,

(25)

式(25)兩邊消去‖Ψ‖0,T h,即證得式(24).

下面給出離散變分問(wèn)題(12)解的適定性證明. 其證明思想類似于文獻(xiàn)[13]的定理證明, 證明過(guò)程需要用到引理3和引理6.

(26)

(27)

(28)

1.3內(nèi)罰間斷有限元方法的先驗(yàn)估計(jì)

下面的定理將給出IPDG法的最優(yōu)誤差估計(jì),它將用于下一節(jié)兩網(wǎng)格法的收斂性分析.

uh-u1,σ＾hs-1‖u‖s,T h,2≤s≤r+1,

(29)

‖uh-u‖0,T h＾huh-u1,σ.

(30)

(31)

由引理6得到‖uh-u‖0,T h＾huh-u1,σ.

其次證明式(29). 由引理6和三角不等式，有

‖uh-u‖0,T h＾uh-u1,σh＾

(32)

其中χ由引理5給出.

利用三角不等式及式(32), 有

‖uh- χ‖0,T h＾‖uh-u‖0,T h+‖u- χ‖0,T h＾

huh- χ1,σ+(h+1)‖u- χ‖1,T h.

(33)

當(dāng)h充分小時(shí)可得到

uh-χσ＾u-χ1,σ.

(34)

故利用三角不等式、引理1、式(34)及式(22)，有

2　兩網(wǎng)格方法及其收斂性分析

2.1兩網(wǎng)格方法

XU[4-5]就橢圓問(wèn)題的兩網(wǎng)格算法做了詳細(xì)的論述. 兩網(wǎng)格算法的基本思想是給出Ω的2個(gè)滿足形狀規(guī)則的嵌套網(wǎng)格剖分, 不妨記作TH和Th, 這里H和h是2個(gè)不同的網(wǎng)格尺寸, 且滿足h<

(35)及

(36)

(37)

(38)

注3求解非對(duì)稱正定問(wèn)題在第2步的時(shí)候已經(jīng)化為求解一個(gè)對(duì)稱問(wèn)題.

2.2誤差分析

a(vh,vh)vh21,σ,

(39)

其中σ2=σ2(Cα1,Cα0).同時(shí)有

a(uh,uh)＾uh1,σvh1,σ,?vhVh;

(40)

式(39)、(40)的常數(shù)依賴于σL,Cα1,Cβ,Cγ.

N(uh,vh)＾‖uh‖0,T h‖vh‖σ,

(41)

式中正常數(shù)依賴于Cβ,Cγ,σL.

證明由N(uh,vh)的定義可知

(uh,vh)T h-<[[uh]],{{βvh}}>εh.

(42)

接下來(lái)估計(jì)N(uh,vh)中的每一項(xiàng).

(43)

從而有

(44)

以下估計(jì)式(44)中最后2項(xiàng). 先看右邊第1項(xiàng),由三角不等式、Cauchy-Schwarz不等式、引理2及如下不等式[1]1689

可知

(45)

‖vh‖1,T h‖uh‖0,T h.

(46)

最后, 估計(jì)式(42)右邊其余2項(xiàng). 同樣由Cauchy-Schwarz不等式可知

(γuh,vh)T h-(uh,vh)T h＾‖uh‖0,T h‖vh‖0,T h.

(47)

‖uh‖0,T h‖vh‖1,T h＾‖uh‖0,T hvhσ.

至此, 證明完畢.

uh-uh1,σ＾Hr+1‖u‖r+1,T h,

(48)

u-uh1,σ＾(hr+Hr+1)‖u‖r+1,T H.

(49)

證明首先證明式(48). 利用式(36)、(38)和引理8, 可以得到

a(uh-uh,vh)=a(uh,vh)-a(uh,vh)=

(f,vh)-N(uh,vh)-[(f,vh)-N(uH,vh)]=

N(uH-uh,vh)=N(uH-u,vh)+N(u-uh,vh)＾

(‖u-uH‖0,T h+‖u-uh‖0,T h)vh1,σ.

(50)

特別地, 令式(50)中vh=uh-uh, 再利用引理7及引理8, 可知

(‖u-uH‖0,T h+‖u-uh‖0,T h)uh-uh1,σ.

(51)

uh-uh1,σ＾ ‖u-uH‖0,T h+‖u-uh‖0,T h.

因?yàn)閡H、uh是問(wèn)題(12)在2種網(wǎng)格尺寸剖分下的解, 利用定理2易知

Hr+1‖u‖r+1,T H+hr+1‖u‖r+1,T h≤

Hr+1(‖u‖r+1,T H+‖u‖r+1,T h)＾

Hr+1‖u‖r+1,T h.

其次, 證明式(49), 利用定理2及式(48), 有

hr‖u‖r+1,T h+Hr+1‖u‖r+1,T H＾

(hr+Hr+1)‖u‖r+1,T h.

綜上所述, 定理3證畢.

3　數(shù)值例子

本節(jié)將針對(duì)問(wèn)題(1)、(2)給出一些數(shù)值實(shí)驗(yàn)來(lái)驗(yàn)證定理3的理論結(jié)果, 從而驗(yàn)證兩網(wǎng)格算法的高效性.

在所有實(shí)驗(yàn)中, 取計(jì)算區(qū)域?yàn)棣?(0,1)2, 網(wǎng)格剖分Th由Ω通過(guò)一致加密得到. 在方程(1)、(2)中取α=1, β=(0,0)T,γ=10,此時(shí)方程(1)、(2)變?yōu)槿缦滦问?

表1驗(yàn)證了式(48), 即固定細(xì)網(wǎng)格尺寸h, 取不同的粗網(wǎng)格尺寸H時(shí), 可以觀察到uh-uh1,σ*H-2趨于某一常數(shù).

表1兩網(wǎng)格解與有限元解的逼近誤差

Table 1Approximation error between two-grid method and finite element solution

hHuh-uh1,σuh-uh1,σ*H-21/321/23.1142e-20.12471/321/47.8870e-30.12621/321/81.8790e-30.12031/321/163.7761e-40.09671/641/47.9761e-30.12761/641/81.9587e-30.12541/641/164.5483e-40.11641/641/327.2877e-50.0746

表2驗(yàn)證了式(49),此時(shí)固定細(xì)網(wǎng)格尺寸h, 取不同的粗網(wǎng)格尺寸H, 或令粗網(wǎng)格尺寸H與細(xì)網(wǎng)格尺寸h滿足平方關(guān)系, 都有u-uh1,σ*max{H2,h}-1也趨于某一常數(shù).

表2兩網(wǎng)格解與有限元解的逼近誤差

Table 2Approximation error between two-grid method and finite element solution

hHu-uh1,σu-uh1,σ*max{H2,h}-11/281/23.2458e-20.12981/281/41.1858e-20.18971/281/79.0930e-30.25461/281/148.7171e-30.24411/41/26.5083e-20.26031/91/33.0244e-20.27221/161/41.7158e-20.27451/251/51.1022e-20.2755

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【中文責(zé)編：莊曉瓊英文責(zé)編：肖菁】

Two-Grid IPDG Method for Non-Symmetric Indefinite Elliptic Equations

ZHONG Liuqiang1*, LI Ying1, LIU Chunmei2

(1.School of Mathematical Sciences, South China Normal University, Guangzhou 510631, China; 2.College of Science, Hunan University of Science and Engineering, Yongzhou 425199, China)

A two-grid interior penalty discontious Galkerkin (IPDG) method for non-symmetric indefinite elliptic equations is proposed. Firstly, the well-posedness of IPDG method and the optimal error estimates in bothL2norm and discontinuousH1norm are proved. Then, the corresponding two-grid method is designed and the error estimate of the algorithm is provided. At last, the efficiency of the algorithm is validated by numerical experiments.

non-symmetric indefinite elliptic equation; interior penalty discontious Galkerkin method; two-grid method; error estimates

2016-02-26《華南師范大學(xué)學(xué)報(bào)(自然科學(xué)版)》網(wǎng)址：http://journal.scnu.edu.cn/n

國(guó)家自然科學(xué)基金項(xiàng)目(11201159)；全國(guó)博士學(xué)位論文作者專項(xiàng)資金項(xiàng)目(201212)；廣東省高等學(xué)校優(yōu)秀青年教師培養(yǎng)計(jì)劃專項(xiàng)(Yq2013054)；湖南省自然科學(xué)基金項(xiàng)目(14JJ3135)；廣州市珠江科技新星項(xiàng)目(2013J2200063)

鐘柳強(qiáng), 教授,Email:zhong@scnu.edu.cn.

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