安徽省靈璧黃灣中學 華峰

圖像法求解子彈射木塊問題

安徽省靈璧黃灣中學 華峰

圖像一旦被賦予物理意義，就會成為巧妙的解題工具。特別是對一些看似不容易求解的問題，利用圖像法求解常常會收到意想不到的效果。最典型的例子莫過于對于“子彈射木塊”模型，采用v-t圖像法求解往往會行之有效。

圖1

圖2

一、子彈射木塊圖像的特點

1.圖像的畫法

子彈與木塊的作用過程可視為：子彈做勻減速運動，木塊做勻加速運

動。如果子彈未擊穿木塊，則它們的末速度相同，其圖像如圖1所示；如果子

彈能夠擊穿木塊，則子彈的末速度大于木塊的末速度，其圖像如圖2所示。

2.物理意義

（1）木塊的v-t圖線的斜率大小表示木塊做勻加速運動的加速度大小，

子彈的v-t圖線的斜率大小表示子彈做勻減速運動的加速度大小。

（2）木塊的v-t圖線與時間軸所包圍面積的大小表示木塊位移大小，子彈的v-t圖像與時間軸所包圍面積的大小表示子彈位移的大小。

（3）圖1中△AOC的面積大小表示子彈打入木塊的深度d，圖2中梯形AODC的面積表示木塊的長度l。顯然，子彈的位移最大，木塊的位移最小，子彈和木塊的相對位移介于二者之間。

二、子彈射木塊運動圖像在解題中的妙用

圖3

圖4

1.子彈未射穿木塊

例1 如圖3所示，子彈水平射入放在光滑水平地面上靜止的木塊后不再穿出，此時木塊動能增加了6 J，那么此過程產生的內能可能為（ ）。

A.2 J B.4 J C.6 J D.8 J

解析 根據題意作出v-t圖像，如圖4所示。其中v0為子彈的初速度，v為子彈和木塊的共同速度。

由圖像可知，子彈運動的位移s1的大小等于梯形OACB的面積，木塊運動的位移s2的大小等于△OBC面積，子彈射入木塊的深度d等于△AOC的面積大小。顯然s2＜d。

設子彈與木塊的相互作用力為F，則木塊動能的增加量為Fs2，此過程中產生的內能為Fd，故有Fd＞Fs2=6 J。故選D。

例2 一木塊靜止在光滑水平面上，一顆子彈水平射入木塊后未穿出，當子彈剛好相對于木塊靜止時，木塊發(fā)生的位移為s。設子彈受到木塊的阻力大小恒定，子彈射入木塊中深度為d，則s與d的關系為sd（選填“大于”、“等于”或“小于”）。

常規(guī)解法設木塊質量為M，子彈質量為m，子彈的入射速度為v0，子彈受到的阻力為Ff，子彈相對于木塊靜止時二者的速度為v。

對木塊與子彈組成的系統(tǒng)運用動量守恒定律得mv0=（M+m）v，

圖像解法 從子彈射入木塊到子彈與木塊以相同速度一起運動的過程中，因子彈和木塊所受的力大小恒定，所以子彈做勻減速直線運動，木塊做勻加速直線運動，建立二者的v-t圖像，如圖5所示。

當子彈相對于木塊剛好靜止時，木塊的位移大小等于△OCB的面積S1，子彈的位移大小等于梯形OACB的面積S2，子彈穿入木塊的深度為d=S2-S1，即為子彈對木塊的位移，顯然有d＞s。

圖5

2.子彈射穿木塊

例3 一子彈以較大的初速度水平射穿原來靜止于光滑水平面上的木塊。設木塊對子彈的阻力與子彈的速度大小無關，則木塊得到的動能Ek與子彈初速度v0的關系為（ ）。

A.v0越大，Ek越大 B.v0越小，Ek越大

C.Ek與v0的大小無關 D.條件不足，無法討論

解析 根據題意作出v-t圖像，如圖6所示。其中v0為子彈的初速度，v1、v2分別為子彈射穿木塊后子彈、木塊的末速度。

由圖像可知，△ODB的面積等于木塊位移s2的大小，梯形ODCA的面積等于木塊的長度l。

當v0增大時，其所受阻力不變，故加速度不變，即圖線的斜率不變，此時子彈和木塊的v-t圖線如圖6中的虛線，因為木塊的長度l不變，則形成的梯形OD′C′A的面積一定等于梯形ODCA的面積。

圖6

由圖像可知，當v0變大時，在使子彈穿木塊的前提下，木塊運動的路程減小。據Fs2=Ek-0可知，木塊獲得的動能減小；反之，v0變小時，木塊獲得的動能增大。應選B。

例4 一顆速度較大的子彈，水平穿過一木塊，因此使得原來放在光滑水平桌面上靜止的木塊具有一定的動能。設子彈無論以多大的速度穿過木塊，它都受到相同的阻力，則下列說法中正確的是（ ）。

圖7

A.子彈的速度越大，它穿過木塊后使木塊獲得的動能越大

B.子彈的速度越大，它穿過木塊后使木塊獲得的動能越小

C.子彈穿過木塊過程中，機械能轉化為內能的多少與子彈的速度無關

D.子彈穿過木塊的過程中，子彈損失的機械能與子彈的速度無關

常規(guī)解法設子彈射入木塊時的速度為v0，子彈射出木塊時的速度為v1，此時木塊的速度為v2，子彈與木塊的質量分別為m、M，子彈所受阻力為Ff，木塊長為l。

對子彈與木塊組成的系統(tǒng)運用動量守恒定律，有mv0=mv1+Mv2，

又有s2-s1=l，

聯立以上四式解出v1、v2，可找出v1、v2與v0之間的關系，便可找出正確的選項。（求解過程請同學們自己完成）

列出上述四個方程并不難，但求解這四個方程組成的方程組卻并不容易。

圖8

圖像解法 根據題意可知，子彈穿過木塊的過程中，子彈做勻減速直線運動，木塊做勻加速直線運動，子彈穿出木塊時子彈相對于木塊的位移等于木塊的長度，則無論子彈射入的速度有多大，只要子彈穿出木塊，這個相對位移就是一定的。還有，子彈穿出木塊時的速度必定要大于木塊的速度。根據分析可將子彈、木塊的運動情況用v-t圖像反映出來，如圖8所示。圖中OACD的面積大小等于子彈相對于木塊的位移大小，當子彈的初速度增大時，表示其運動的圖線應沿縱軸方向向上平移。而木塊的運動圖線不變，因子彈對木塊的相對位移不變，所以子彈在木塊中運行的時間會隨著子彈入射速度的增大而減小。

從圖像上不難看出，子彈入射速度越大（v0′＞v0），子彈穿出木塊后，木塊獲得的動能）越小，則選項A錯誤、選項B正確。

因為子彈在穿木塊的過程中要克服摩擦力做功，消耗的機械能一部分轉化為內能，還有一部分轉移為木塊的動能，轉化為內能部分的能量Q內=Ffs相對，Ff、s相對都不變，所以Q內也一定，即機械能轉化為內能的多少與初速度無關。因木塊獲得的動能隨子彈入射速度的增大而減小，所以子彈損失的機械能隨子彈入射速度的增大而逐漸減小。則選項C正確、選項D錯誤。

由上述分析可知，本題應選BC。

3.加速度發(fā)生變化

例5 如圖9所示，質量為m的子彈以速度v0水平射穿放在光滑水平面上的木塊，木塊長度為l，質量為M。木塊對子彈的阻力恒定不變，子彈穿過使木塊獲得的動能為Ek。若木塊或子彈的質量發(fā)生變化，但子彈仍穿過木塊，下列敘述正確的是（ ）。A.若M不變、m變大，則木塊獲得的動能一定變小B.若M不變、m變大，則木塊獲得的動能可能變大C.若m不變、M變大，則木塊獲得的動能一定變小D.若m不變、M變大，則木塊獲得的動能可能變大

圖9

解析 根據題意作出v-t圖像，如圖10所示。其中v0為子彈的初速度，v1、v2分別為子彈擊穿木塊后子彈、木塊的末速度。此時v1＞v2。

由圖像可知，梯形ODCA的面積大小等于木塊的長度l，△ODB的面積大小等于木塊的位移s2。

若M不變、m變大，且F不變，由F=ma可知，木塊加速度不變，子彈加速度變小，即v-t圖像中OD的斜率不變、AC的斜率（絕對值）變小，如圖中虛線所示。

圖10

根據木塊長度不變，即梯形ACDO的面積等于梯形AC′D′O的面積，顯然木塊的位移s2變小。

據Fs2=Ek-0，可知木塊獲得的動能變小，A正確。

同理分析可知，當m不變、M變大時，木塊獲得的動能一定變小，則選項C正確。

綜上分析可知本題應選AC。

通過對以上幾例的分析可知，求解子彈射木塊模型問題，雖然可以利用牛頓運動定律、動量定理、動量守恒定律、動能定理和能量守恒定律，但運算過程將會很復雜，求解過程將會很煩瑣。而利用v-t圖像求解，要簡單、明了、直觀、快捷得多，顯得干凈利索。所以圖像作為解決問題的工具，在解決實際問題時常?？梢云鸬交睘楹?、化難為易的作用，收到事半功倍的效果。因此我們應正確理解v-t圖像的物理意義，不斷拓展解題思路，靈活選用巧妙、簡捷、快速、準確的解題方法，優(yōu)化解題路徑和解題方法，從而不斷地提升解題能力。