(作者單位：山東大學(xué)附屬中學(xué)，山東濟(jì)南　250000)

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◎?qū)W科教學(xué)◎

質(zhì)疑式數(shù)學(xué)概念教學(xué)的策略研究

■王道遠(yuǎn)

數(shù)學(xué)概念是揭示現(xiàn)實(shí)世界空間形式與數(shù)量關(guān)系本質(zhì)特征屬性的思維形式，也是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識和基本技能的核心。其根本任務(wù)是準(zhǔn)確地理解數(shù)學(xué)概念的內(nèi)涵和外延，使思考問題、推理證明有所依據(jù)，能有創(chuàng)見地解決問題。因而，數(shù)學(xué)概念課的教學(xué)尤為重要。

一、理論介紹

基于傳統(tǒng)教育學(xué)、心理學(xué)理論，概念教學(xué)主要有概念的形成和內(nèi)化兩種方式。

概念的形成一般是針對由弱抽象形成的概念。如果某些數(shù)學(xué)對象的關(guān)鍵屬性主要是在對大量同類數(shù)學(xué)對象的不同例證進(jìn)行分析、類比、猜測、聯(lián)想、歸納等活動(dòng)的基礎(chǔ)上，獨(dú)立概括出來的，那么這種概念獲得的方式就叫做概念形成。這一過程主要涉及以下相關(guān)因素：①感知、辨別各種刺激模式。②抽象出各刺激模式的共同屬性，并提出假設(shè)。③在特定的情境中修正、檢驗(yàn)假設(shè)，形成概念。④把新概念一般化，并用數(shù)學(xué)的語言符號表達(dá)。

概念的同化一般是針對由強(qiáng)抽象形成的概念。如果學(xué)習(xí)過程是已定義的方式直接向?qū)W生呈現(xiàn)概念的關(guān)鍵特征，實(shí)際上是新的數(shù)學(xué)概念在已有概念的基礎(chǔ)添加其他新的特征性質(zhì)而形成。這時(shí)，學(xué)生利用自己的認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的相關(guān)知識對概念進(jìn)行加工、改造，從而理解新概念的意義。這種獲得概念的方式叫做概念同化。

這兩種方式偏重于概念的邏輯結(jié)構(gòu)教學(xué)忽視數(shù)學(xué)概念本身的涵義，數(shù)學(xué)概念具有“過程”——“對象”的雙重性，概念教學(xué)既是邏輯分析的對象又是具有現(xiàn)實(shí)背景和豐富寓意的教學(xué)過程，近些年新興起了APOS理論，讓學(xué)生從概念的現(xiàn)實(shí)原型、概念的抽象過程、數(shù)學(xué)思想的指導(dǎo)作用、形式表述和符號化的運(yùn)用等多方位理解一個(gè)數(shù)學(xué)概念，使之符合學(xué)生主動(dòng)建構(gòu)的教育原理。關(guān)于APOS理論，杜賓斯基認(rèn)為，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念是要進(jìn)行心理建構(gòu)的這一建構(gòu)過程，要經(jīng)歷以下的4個(gè)階段：第一階段：操作階段，第二階段：過程階段，第三階段：對象階段，第四階段：概型階段。從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度分析，以上4個(gè)學(xué)習(xí)層次分析合理地反映了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念過程中真實(shí)的思維活動(dòng)。其中的“活動(dòng)階段”是學(xué)生理解概念的一個(gè)必要條件，通過活動(dòng)讓學(xué)生親身體驗(yàn)，感受概念的直觀背景和概念間的關(guān)系；“過程階段”是學(xué)生對活動(dòng)進(jìn)行思考，經(jīng)歷思維的內(nèi)化、壓縮過程，學(xué)生在頭腦中對活動(dòng)進(jìn)行描述和反思抽象出概念所特有的性質(zhì)；“對象階段”是通過前面的抽象，認(rèn)識到了概念本質(zhì)，對其賦予形式化的定義及符號，使其達(dá)到精致化，成為一個(gè)具體的對象，在以后的學(xué)習(xí)中以此為對象去進(jìn)行新的活動(dòng)；“概型階段”的形成要經(jīng)過長期的學(xué)習(xí)活動(dòng)來完善，起初的概型包含反映概念的特例、抽象過程、定義及符號，經(jīng)過學(xué)習(xí)建立起與其他概念、規(guī)則、圖形等的聯(lián)系，在頭腦中形成綜合的心理圖式。APOS理論揭示了數(shù)學(xué)概念念學(xué)習(xí)的本質(zhì)是具有學(xué)科特色的學(xué)習(xí)理論。

二、流程設(shè)計(jì)

將APOS理論應(yīng)用于傳統(tǒng)的教育心理學(xué)中有關(guān)概念的原理，結(jié)合山東大學(xué)附屬中學(xué)的實(shí)際學(xué)情、數(shù)學(xué)質(zhì)疑式教學(xué)以及翻轉(zhuǎn)課堂的教學(xué)研究，我們針對不同的概念形成了兩種比較具有代表性的課堂流程：

(一)基于APOS理論的質(zhì)疑式概念形成的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

概念形成的教學(xué)模式需要對具體的，直接的感性材料進(jìn)行觀察、感知、操作等活動(dòng)，比較耗時(shí)，一般適合概念體系中起著基礎(chǔ)和核心作用的少數(shù)抽象概念的學(xué)習(xí)，如函數(shù)、分式的概念。

(二)基于APOS理論的質(zhì)疑式概念同化的教學(xué)環(huán)節(jié)設(shè)計(jì)

概念同化在課堂上直接給出定義，板書到黑板上或者課件上，由師生共同分析概念的內(nèi)涵，把握概念的本質(zhì)屬性，結(jié)合預(yù)習(xí)提出的問題，進(jìn)一步辨別概念的外延，去偽存真，把握概念。適合不易歸納總結(jié)的抽象性比較強(qiáng)的概念，如單項(xiàng)式、多項(xiàng)式、同類項(xiàng)等概念的學(xué)習(xí)。

APOS理論強(qiáng)調(diào)把數(shù)學(xué)概念寓于現(xiàn)實(shí)社會背景中，學(xué)生通過活動(dòng)親身經(jīng)歷、體驗(yàn)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)的聯(lián)系，從中經(jīng)歷完整的學(xué)習(xí)過程，用數(shù)學(xué)的方法組織和建立數(shù)學(xué)概念，這樣建立起來的概念具有豐富的內(nèi)涵，其中包含著概念的現(xiàn)實(shí)原型、概念的抽象過程、數(shù)學(xué)思想方法和概念的形式化對象等，如代數(shù)式、軸對稱現(xiàn)象。通過APOS理論對于傳統(tǒng)教學(xué)的優(yōu)化，更加注重概念的建構(gòu)過程，在學(xué)習(xí)過程中重現(xiàn)了概念探索的完整過程。

三、案例分析

北師大版八年級(上)第四章《函數(shù)》

(一)教學(xué)目標(biāo)

1.知識技能目標(biāo)：(1)學(xué)生通過直觀感知，領(lǐng)悟函數(shù)概念的意義，能列舉生活中的函數(shù)實(shí)例；(2)學(xué)生通過對實(shí)際問題中數(shù)量之間相互依存的關(guān)系的探索，學(xué)會用函數(shù)思想去進(jìn)行描述，初步理解對應(yīng)。

2.過程與方法目標(biāo)：(1)通過實(shí)踐與探索，學(xué)生參與函數(shù)概念的形成過程，領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的應(yīng)用和初步函數(shù)模型，提高分析問題和解決問題的能力；(2)引導(dǎo)學(xué)生體會函數(shù)思想，逐步形成較好的思維品質(zhì)。

3.情感目標(biāo)：(1)學(xué)生經(jīng)歷對實(shí)際問題數(shù)量關(guān)系的分析探究，學(xué)會合作學(xué)習(xí)。

(二)重、難點(diǎn)

1.重點(diǎn)：函數(shù)概念的形成過程。

2.難點(diǎn)：理解函數(shù)概念，突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是通過實(shí)例幫助學(xué)生從函數(shù)的本質(zhì)進(jìn)行引導(dǎo)理解。

(三)教學(xué)過程

第一環(huán)節(jié)：引入。

世界萬物都是在不停地運(yùn)動(dòng)變化的，這些運(yùn)動(dòng)變化都有一定的規(guī)律，如何來研究這些運(yùn)動(dòng)變化并尋找變化規(guī)律呢?數(shù)學(xué)上常常用函數(shù)來刻畫各種運(yùn)動(dòng)變化，從今天開始，我們將通過實(shí)際問題進(jìn)入函數(shù)的世界，一起領(lǐng)略函數(shù)及其圖象的美。

第二環(huán)節(jié)：合作交流，聚焦問題。

給出討論的問題：

1.在三個(gè)實(shí)例中，確定自變量、因變量分別是什么？

2.因變量隨自變量如何變化？

3.對于自變量的每一個(gè)值，有沒有因變量的值和它對應(yīng)，值有幾個(gè)？

4.在三個(gè)實(shí)例中，共同點(diǎn)是什么？

第三環(huán)節(jié)：結(jié)合問題，質(zhì)疑提升。

預(yù)設(shè)學(xué)生的問題：

1.自變量的取值范圍是什么？

2.怎樣算自變量的取值范圍？

3.所有函數(shù)都能用圖像表示出來嗎？

4.函數(shù)有何分類？

5.我們可以直接在圖像中看出是否為函數(shù)嗎？其他形式呢？

6.是函數(shù)式數(shù)嗎？是什么？怎樣表示兩個(gè)變量的函數(shù)關(guān)系？如何快速判斷是否函數(shù)？無規(guī)律的變量變化是函數(shù)嗎？怎么表示？

結(jié)合學(xué)生提出的問題及導(dǎo)學(xué)案中給出的實(shí)例，進(jìn)一步深化學(xué)生對于函數(shù)的理解。經(jīng)過師生的共同討論，總結(jié)出三個(gè)實(shí)例的共同點(diǎn)就是：有一個(gè)變化過程，都有兩個(gè)變量，給定其中某一個(gè)變量的值，相應(yīng)地就確定了兩一個(gè)變量的值，這個(gè)值并且是唯一的。(學(xué)生可能回答不到位，注意引導(dǎo))。

第四環(huán)節(jié)：抽象共性，形成概念。

我們把具有這些共同特征的對應(yīng)關(guān)系稱為函數(shù)。

函數(shù)的概念：一般地，在某個(gè)變化過程中，有兩個(gè)變量x和y，如果對于任意一個(gè)x的值，就相應(yīng)地確定了唯一的y值,就稱y是x的函數(shù)，其中，x是自變量，y是因變量。

概念的內(nèi)涵：函數(shù)概念中的“任意一個(gè)”“唯一”，你是怎么理解的？理解函數(shù)的概念把握三點(diǎn)：一個(gè)變化過程，兩個(gè)變量，對于自變量的每一個(gè)值，因變量都有唯一的值與它相對應(yīng)即一種對應(yīng)關(guān)系。判斷兩個(gè)量是否具有函數(shù)關(guān)系也應(yīng)以這三點(diǎn)為依據(jù)，主要是第三點(diǎn)。

概念的外延：通過分析三個(gè)實(shí)例，可以把握函數(shù)的三種表示方式：圖像、表格、關(guān)系式滲透數(shù)學(xué)史的知識：函數(shù)這個(gè)詞是1895年李善蘭首先翻譯過來的，“函”是隨……而變化的事物，強(qiáng)調(diào)了變化，兩個(gè)變量之間的依存關(guān)系。

顯然，在實(shí)際生活中，自變量的取值必須有意義，符合實(shí)際情況，在純粹數(shù)學(xué)問題中，自變量的取值應(yīng)該是讓數(shù)學(xué)式子有意義。有關(guān)自變量的取值范圍問題，我們將在陸續(xù)的學(xué)習(xí)中學(xué)到。

總之，中學(xué)的數(shù)學(xué)概念教學(xué)在數(shù)學(xué)教學(xué)中處于核心地位。教師要圍繞這核心展開教學(xué)，在概念的理解和數(shù)學(xué)思維方式上給予討論、質(zhì)疑、訓(xùn)練，讓學(xué)生在理解概念(理解其中的數(shù)學(xué)思想和方法)的基礎(chǔ)上對細(xì)節(jié)問題、變化問題深入思考。并且，我們知道一個(gè)數(shù)學(xué)概念由“過程”到“對象”的建立有時(shí)是比較漫長的。如函數(shù)概念“過程”到“對象”的抽象需要經(jīng)過多次反復(fù)，螺旋上升，直到學(xué)生在頭腦中建立起數(shù)學(xué)知識的直觀結(jié)構(gòu)。教師在今后的教學(xué)中要注意學(xué)生對知識的概型建立，即加強(qiáng)知識間的聯(lián)系和應(yīng)用，幫助學(xué)生在頭腦中建立起完整的數(shù)學(xué)概念的心理圖示。

(作者單位：山東大學(xué)附屬中學(xué)，山東濟(jì)南250000)

(責(zé)任編輯：甄鴻啟)