李向麗，夏靜，陳維

（常熟理工學(xué)院電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江蘇常熟215500）

受滑動(dòng)平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的辨識(shí)算法研究

李向麗，夏靜，陳維

（常熟理工學(xué)院電氣與自動(dòng)化工程學(xué)院，江蘇常熟215500）

研究受滑動(dòng)平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)算法.針對(duì)系統(tǒng)中存在不可測(cè)中間變量的問(wèn)題，利用輔助模型對(duì)其進(jìn)行估計(jì)，進(jìn)一步提出遞推增廣最小二乘算法對(duì)系統(tǒng)參數(shù)進(jìn)行辨識(shí).并通過(guò)計(jì)算機(jī)MATLAB仿真驗(yàn)證了算法的有效性.

非線性系統(tǒng)；非均勻采樣；輔助模型；滑動(dòng)平均

1　引言

精確的數(shù)學(xué)模型對(duì)于實(shí)際工程系統(tǒng)的分析和控制至關(guān)重要，如果能夠建立較為精確的數(shù)學(xué)模型，控制設(shè)計(jì)問(wèn)題也能夠迎刃而解［1］.傳統(tǒng)的機(jī)理模型不能適應(yīng)環(huán)境的變化和影響，建模精度偏低，而且現(xiàn)有的機(jī)理模型也存在著形式復(fù)雜、計(jì)算實(shí)時(shí)性不能保證等問(wèn)題.因此，近年來(lái)對(duì)工業(yè)過(guò)程建模的研究主要集中在測(cè)試法建模（黑箱建模）上，而辨識(shí)技術(shù)則一直是測(cè)試法建模的研究熱點(diǎn).在現(xiàn)代工業(yè)中由于對(duì)經(jīng)濟(jì)效益、產(chǎn)品質(zhì)量以及環(huán)境保護(hù)的要求越來(lái)越高，使得相應(yīng)的工業(yè)過(guò)程越來(lái)越復(fù)雜，對(duì)模型的描述能力也提出了更高的要求.傳統(tǒng)的線性模型已不能滿足工業(yè)實(shí)際的需要，因此建立描述非線性現(xiàn)象的非線性系統(tǒng)，并深入研究非線性系統(tǒng)的辨識(shí)方法是十分必要的［2］.

目前，常見(jiàn)的非線性系統(tǒng)模型有：Volterra級(jí)數(shù)、塊結(jié)構(gòu)化非線性模型等［3］.基于模塊化結(jié)構(gòu)的非線性模型由一個(gè)動(dòng)態(tài)的線性子模型和一個(gè)靜態(tài)非線性子模型級(jí)聯(lián)而成，具有能較好地反應(yīng)非線性特性、計(jì)算量少、易辨識(shí)等特點(diǎn)，是近年來(lái)非線性動(dòng)態(tài)建模和辨識(shí)研究的熱點(diǎn)［2］.在20世紀(jì)60年代Narendra和Gallman提出了Hammerstein模型［4，5］，它由一個(gè)靜態(tài)非線性子模型和一個(gè)動(dòng)態(tài)線性子模型串聯(lián)構(gòu)成，可表征大部分非線性系統(tǒng).關(guān)于Hammerstein模型的辨識(shí)，很多研究假設(shè)非線性子模型是不連續(xù)非線性［6］，或是一個(gè)兩階段或多階段折線非線性［7，8］，還有一些方法假設(shè)非線性子模型是已知非線性基的線性組合［9］.在辨識(shí)方法上，Ding等提出了這類(lèi)非線性系統(tǒng)的牛頓迭代辨識(shí)方法和牛頓遞推辨識(shí)方法［10］；Vanbeylen和Pintelon等提出了極大似然盲辨識(shí)方法［11］；Wang等討論了多新息增廣最小二乘算法［12］和廣義遞推最小二乘算法［13］；Bai等推導(dǎo)了盲辨識(shí)法［14］；Goethals提出子空間辨識(shí)方法［15］；李秀英等把神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法等應(yīng)用到非線性系統(tǒng)辨識(shí)中［16］；王峰等利用改進(jìn)的粒子群優(yōu)化算法對(duì)Hammerstein模型進(jìn)行參數(shù)辨識(shí)［17］.

在實(shí)際工業(yè)過(guò)程中，由于信息傳輸過(guò)程中存儲(chǔ)數(shù)據(jù)硬件的損壞、數(shù)據(jù)的丟失、工作人員的變動(dòng)、采樣地點(diǎn)的改變、氣候環(huán)境對(duì)采樣數(shù)據(jù)的影響等都會(huì)導(dǎo)致數(shù)據(jù)采樣的非均勻性，所以絕對(duì)的均勻采樣非線性系統(tǒng)是不存在的，相對(duì)的非均勻采樣非線性系統(tǒng)卻是廣泛存在的.當(dāng)非線性系統(tǒng)的輸入或者輸出以非均勻間隔刷新，得到非均勻采樣系統(tǒng).Yamamoto等研究了雙采樣率線性系統(tǒng)的頻域模型［18］；Lu和Fisher利用最小二乘算法和投影算法辨識(shí)雙采樣率模型的參數(shù)［19］；文獻(xiàn)［20］利用提升技術(shù)處理非均勻采樣數(shù)據(jù)，得到狀態(tài)空間模型；Liu等采用遞階辨識(shí)的思想，將非均勻采樣系統(tǒng)分解為多個(gè)辨識(shí)子系統(tǒng)，運(yùn)用遞推最小二乘算法辨識(shí)系統(tǒng)參數(shù)［21］.

本文研究受有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的參數(shù)辨識(shí)算法.當(dāng)被控對(duì)象的干擾是有色噪聲時(shí)，其信息矩陣中包含不可測(cè)噪聲變量，首先通過(guò)建立輔助模型，利用輸入輸出數(shù)據(jù)估計(jì)這些未知變量的估計(jì)值，能夠得到可估計(jì)的信息矩陣.然后提出遞推增廣最小二乘算法，得到系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì).最后利用仿真實(shí)例分析算法的性能和有效性.

2　非均勻采樣非線性系統(tǒng)描述

下面是受滑動(dòng)平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)的描述.

首先利用周期為τ的零階保持器Hr處理多采樣率輸入離散信號(hào)u（kT+t1）得到u（t）；u（t）作為非線性系統(tǒng)的輸入，非線性系統(tǒng)由非線性子模型f（·）和線性子模型Pc級(jí)聯(lián)形成，則分別得到非線性子模型的輸出u-（t）和系統(tǒng)的真實(shí)輸出y（t），但y（t）值不可測(cè)量；系統(tǒng)的真實(shí)輸出y（t）經(jīng)過(guò)周期為T(mén)的輸出采樣器ST，產(chǎn)生離散信號(hào)y（kT）；y（kT）是系統(tǒng)的輸出采樣，受噪聲ω（kT）干擾后得到系統(tǒng)的可測(cè)輸出ym（kT）.假設(shè)輸入u（t）具有非均勻采樣間隔，則經(jīng)過(guò)零階保持器后，輸入u（t）可表示為：

這里框架周期T:=τ1+τ2+…+τr.假設(shè)非線性子模型的輸出u-（t）為非線性基函數(shù)f:=（f1，f2…fn）的線性組合，

式中x（t）∈?nr是狀態(tài)向量，u-（t）和y（t）是輸入變量和輸出變量，Ac、Bc、C、D是維數(shù)適當(dāng)?shù)木仃?用框架周期T離散化（3）得到，

在采樣時(shí)刻t=kT時(shí)，輸出可表示為：

有色噪聲輸出ω（kT）被表示為ω（kT）=H（z）ν（kT），其中，

由系統(tǒng)圖可知，

進(jìn)一步，由式（4）和式（5），得到

根據(jù)上述參數(shù)的定義，等式（8）可改寫(xiě)為

將式（9）代入式（7），則系統(tǒng)輸出ym（kT）可表示為

式（10）可等價(jià)的表示為

如果將非線性子模型代入式（11）就會(huì)產(chǎn)生一個(gè)包含參數(shù)乘積的表達(dá)式，雖然可以用過(guò)參數(shù)的方法進(jìn)行化簡(jiǎn)［10］，但過(guò)參數(shù)化處理后會(huì)使待辨識(shí)參數(shù)增加，增加了算法的復(fù)雜性.關(guān)鍵項(xiàng)分離技術(shù)（key termseparation technique）［5］由V?r?s教授首先提出，能夠解決模型耦合的難題.把作為關(guān)鍵項(xiàng)，令β10=1，則可以把非線性系統(tǒng)的參數(shù)從線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)中分解出來(lái).得到如下滑動(dòng)平均噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)辨識(shí)模型：

3　遞推增廣最小二乘參數(shù)估計(jì)方法

針對(duì)受滑動(dòng)平均有色噪聲干擾的非均勻采樣非線性系統(tǒng)，應(yīng)用基于輔助模型的遞推增廣最小二乘算法估計(jì)模型參數(shù)，基本思想是借助一個(gè)參考模型（也稱(chēng)為輔助模型），用參考模型的輸出估計(jì)代替系統(tǒng)不可測(cè)的變量，使得參考模型的輸出逼近這些不可測(cè)的輸出，從而獲得系統(tǒng)參數(shù)的一致估計(jì).再利用輔助模型的輸出代替系統(tǒng)的不可測(cè)變量，進(jìn)一步利用遞推增廣最小二乘算法得到系統(tǒng)的參數(shù)估計(jì).

定義信息向量φ（kT）和參數(shù)向量θ如下：

式（12）可以寫(xiě)成向量形式：

式ω（KT）=H（Z）v（KT）也可以寫(xiě)成如下的向量形式：

定義二次準(zhǔn)則函數(shù)，

注意到在式（16）和（17）中的信息向量φ（KT）包含未知內(nèi)部變量，同時(shí)噪聲也是未知的，因此參數(shù)向量θ通過(guò)最小二乘算法很難被估計(jì).基于輔助變量思想，用估計(jì)

代替φ（KT）中的不可測(cè)變量y（KT）；用估計(jì)y（KT）代替式（2）中的γi進(jìn)一步計(jì)算得到的估計(jì)

根據(jù)式（13）得到噪聲的估計(jì)

進(jìn)一步根據(jù)式（14）可以得到滑動(dòng)平均噪聲的估計(jì)

定義φ（KT）的估計(jì)

4　仿真實(shí)例

下面通過(guò)一個(gè)數(shù)值仿真實(shí)例驗(yàn)證算法的收斂性能.設(shè)系統(tǒng)的線性動(dòng)態(tài)子模型Pc有如下的狀態(tài)空間表達(dá)式：

令r=2，τ1=1s，τ2=2s，即t1=τ1=1s，t2=t1+τ2=3s，有色噪聲模型為：ω（kT）=H（z）ν（kT），其中，H（z）=1+0.2z-1.用框架周期T離散化這個(gè)系統(tǒng)得到相應(yīng)的輸入輸出表達(dá)式：

在仿真中，輸入｛u（kT）｝和｛u（kT+t1）｝，取零均值單位方差的持續(xù)激勵(lì)信號(hào)序列，｛v（kT）｝是零均值單位方差的白噪聲.應(yīng)用提出的算法估計(jì)未知參數(shù)，θ隨迭代次數(shù)k變化的參數(shù)估計(jì)誤差δ如圖1所示.

圖1　參數(shù)估計(jì)誤差隨迭代次數(shù)k的變化曲線

從圖1可得到如下結(jié)論：算法的參數(shù)估計(jì)誤差隨k的增加而減小，證明了算法的有效性.同時(shí)該算法具有原理簡(jiǎn)單、計(jì)算精度高、且可以用于在線辨識(shí)等特點(diǎn).但是，由于多采樣率非線性系統(tǒng)待辨識(shí)參數(shù)多，協(xié)方差矩陣P是一個(gè)維數(shù)較大的矩陣，增加了算法的計(jì)算負(fù)擔(dān).研究提出計(jì)算量小、精度高的多采樣率非線性系統(tǒng)辨識(shí)算法將是下一步的研究方向.

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Identification Algorithm Research on the Multiratesampling Nonlinearsystem with Moving Average Colored Noise

LI Xiangli，XIA Jing，CHEN Wei（School of Electric and Automatic Engineering，Changshu Institute of Technology，Changshu 215500，China）

Based on the auxiliary model method，the leastsquare recursive algorithm is derived for the nonlinear output error moving averagesystem.Insummary，this paperstudies and derives the identification algorithms for nonlinearsystem with multiratesampling，and the effectiveness of the algorithms is illustrated by Matlabsimulations.

nonlinearsystem；multiratesampling；auxiliary model；moving averagesystem

TP274

A

1008-2794（2015）04-0058-06

2016-05-30

江蘇省高校自然科學(xué)基金“生物發(fā)酵過(guò)程的非線性軟測(cè)量建模及優(yōu)化”（15KJB120001）；常熟理工學(xué)院校級(jí)科研項(xiàng)目“精餾過(guò)程中多采樣率非線性系統(tǒng)建模及目標(biāo)優(yōu)化方法研究”（XZ1504）

李向麗，講師，工學(xué)博士，研究方向：非線性建模、參數(shù)辨識(shí)，E-mail：Lixiangli@cslg.cn.