沈云付，張凱凱，蔣本朋

（上海大學(xué)計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院，上海 200444）

M+B型三值光學(xué)加法器的數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)

沈云付，張凱凱，蔣本朋

（上海大學(xué)計(jì)算機(jī)工程與科學(xué)學(xué)院，上海 200444）

在電子計(jì)算機(jī)中,由于進(jìn)位的存在使得多位數(shù)的加法效率并沒(méi)有顯著地提升,而光學(xué)方法則顯示了其并行性和無(wú)進(jìn)位的優(yōu)勢(shì).在M+B型加法的運(yùn)算法則和C、P、R 3個(gè)三值變換工作的基礎(chǔ)上,對(duì)相關(guān)的數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)進(jìn)行了研究（M表示MSD數(shù),B表示二進(jìn)制數(shù)）.提出了M+B型加法的數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)策略,并用軟件模擬了3個(gè)三值變換以及數(shù)據(jù)的截?cái)嗪推唇?驗(yàn)證了該方法的正確性和可實(shí)現(xiàn)性.

三值光學(xué)計(jì)算機(jī)；MSD；加法器；數(shù)據(jù)剪輯；累加器

加法器是計(jì)算機(jī)系統(tǒng)中最基本的器件之一.雖然科學(xué)家們?cè)诓粩嗟馗倪M(jìn)加法的效率，但是由于進(jìn)位的存在，加法的效率并沒(méi)有明顯的提高.20世紀(jì)60年代以來(lái)，人們對(duì)加法器的實(shí)現(xiàn)算法和電路結(jié)構(gòu)進(jìn)行了大量的研究，并取得了一定成果，如串行進(jìn)位加法器、超前進(jìn)位加法器、并行前綴加法器等［1］.但是對(duì)于多位數(shù)的加法來(lái)說(shuō)，效率和復(fù)雜性是設(shè)計(jì)硬件時(shí)所必須考慮的2個(gè)關(guān)鍵點(diǎn).因此科學(xué)家們尋找其他解決途徑的腳步一直沒(méi)有停止，基于光學(xué)的并行計(jì)算便是一種極具前景的技術(shù).

20世紀(jì)60年代，Avizienis［2］首次提出冗余表示計(jì)數(shù)法，該方法為解決加法進(jìn)位問(wèn)題和快速提高加法效率提供了很好的方案.同時(shí)，光的無(wú)光、水平偏振和垂直偏振3種狀態(tài)與冗余計(jì)數(shù)法的3個(gè)符號(hào)0、1、建立起對(duì)應(yīng)關(guān)系，使光學(xué)中的三態(tài)光信息找到了一種理想的表示形式.早在1986年，Bocker等［3］就將MSD加法運(yùn)算引入了光學(xué)領(lǐng)域.MSD數(shù)加法運(yùn)算的結(jié)果可通過(guò)4個(gè)邏輯變換（T（T2）,W,T0,W0）和并行的3個(gè)步驟得到.在眾多無(wú)進(jìn)位加法算法中，根據(jù)計(jì)算步驟可分為三步式、兩步式和一步式等［5-14］.這些算法均基于MSD冗余表示法、對(duì)稱MSD計(jì)數(shù)法、負(fù)二進(jìn)制或者三元符號(hào)表示法等，而且實(shí)現(xiàn)方法差別很大.當(dāng)然，這些算法均有其優(yōu)缺點(diǎn)，并且在數(shù)據(jù)編解碼、系統(tǒng)控制和光學(xué)實(shí)現(xiàn)等實(shí)際應(yīng)用上還存在著諸多問(wèn)題.

自2000年以來(lái)，金翊等［15-17］提出了三值光學(xué)計(jì)算機(jī)原理和結(jié)構(gòu)、降值設(shè)計(jì)理論以及三值光學(xué)處理器重構(gòu)原理等，奠定了面向應(yīng)用的三值光學(xué)計(jì)算機(jī)系統(tǒng)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ).2009年Bocker等［3］提出了MSD加法器原理和相關(guān)的數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)，該三步式MSD加法器的數(shù)據(jù)剪輯在加法過(guò)程的截?cái)嗯c拼接中需要增加兩位數(shù).彭俊杰等［18］從應(yīng)用角度出發(fā)，提出了MSD光學(xué)加法器的一種結(jié)構(gòu)和實(shí)現(xiàn)方法.沈云付等［19-20］提出了限制輸入的一步式MSD加法器，并實(shí)驗(yàn)證明了其可行性.這種加法器的輸入限制為只包含0、1的MSD數(shù)，但它的結(jié)果是MSD數(shù)，不適用于連加的情況.

現(xiàn)在已有一些將MSD等冗余表示轉(zhuǎn)為二進(jìn)制表示的工作.如Chattopadhyay等［21］利用偏振光轉(zhuǎn)換器和偏振光隔離器設(shè)計(jì)了二進(jìn)制、三進(jìn)制和四進(jìn)制邏輯系統(tǒng)轉(zhuǎn)換電路.Ghosh等［22］也提出了三值邏輯轉(zhuǎn)換為多值邏輯的方案，并用光學(xué)實(shí)現(xiàn)方法詳細(xì)描述了二進(jìn)制和MSD數(shù)之間的轉(zhuǎn)換過(guò)程［23］.

文獻(xiàn)［24］中已經(jīng)獲得了具有連加功能的特殊的MSD數(shù)的加法M+B1+…+Bk，簡(jiǎn)稱為M+B型加法.鑒于數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)能夠明顯地提高加法的效率，本工作主要對(duì)M+B型加法的數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)進(jìn)行研究.

1 M+B型加法及其相關(guān)變換簡(jiǎn)介

式中，i為整數(shù)，ai∈｛0,1,｝，任意一個(gè)MSD數(shù)（除0外）都可以具有多種表達(dá)形式.

把M+B1+…+Bk型的連加成為M-k-B型加法.這部分主要介紹M+B型加法以及M-k-B型連加的一些研究成果.

表1給出了3個(gè)M+B型加法的變換：進(jìn)位變換C、本位變換P和修正位變換R.

表1 具有特殊輸入的MSD加法C變換、P變換和R變換Table 1 C,P,R transform table of one-bit MSD adder with restricted input form

記M=mnmn-1…m1為MSD數(shù)，B=bnbn-1…b1為二進(jìn)制數(shù).M與B的加法可通過(guò)如下2個(gè)步驟實(shí)現(xiàn).

步驟1 將M與B對(duì)應(yīng)的位進(jìn)行C變換，得到結(jié)果記為c，并在c后補(bǔ)一位0，仍記為c；同時(shí)對(duì)M和步驟1 B對(duì)應(yīng)的位進(jìn)行P變換，結(jié)果記為p，并在p前補(bǔ)一位0，仍記為p.

步驟2 將步驟1的c和p的對(duì)應(yīng)位作為R變換的輸入，得到結(jié)果s.

s即為M與B的和，也可看出其位數(shù)為n+1.關(guān)于M+B結(jié)果的正確性已經(jīng)被證明［24］.

圖1為多位數(shù)進(jìn)行M+B型加法的邏輯結(jié)構(gòu)圖，其中輸入M由0、1、組成，B由0、1組成.P變換用于得到本位值p，C變換用于得到進(jìn)位值c，R變換則得到修正位r（或者最終結(jié)果s）.

圖1 M+B型加法邏輯結(jié)構(gòu)圖Fig.1 Logic structure of addition of M and B

n位M-k-B型的加法M+B1+…+Bk的計(jì)算步驟如下.

設(shè)M0=M，i=0.

步驟1 如果i>k，則轉(zhuǎn)到步驟3；否則，將Bi+1高位補(bǔ)i個(gè)0，得到n+i位數(shù)，仍記為Bi+1.

步驟2 對(duì)Mi與Bi+1進(jìn)行n+i位的M-1-B形式的加法，其和記為Mi+1.使i=i+1，轉(zhuǎn)到步驟1.

步驟3 結(jié)束.

最后得到M+B1+…+Bk的結(jié)果位Mk，位數(shù)為n+k.并行方式下只需要2k步即可完成.

需要注意的是B0+B1+…+Bk的結(jié)果是容易實(shí)現(xiàn)的，其結(jié)果是一個(gè)MSD數(shù).之后只需進(jìn)行步驟3將MSD數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)即可計(jì)算出它們的和.

2 M+B型加法的數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)

三值光學(xué)計(jì)算機(jī)有兩個(gè)非常顯著的特點(diǎn)：數(shù)據(jù)位數(shù)眾多和按位可重構(gòu).三值光學(xué)處理器的位數(shù)可以增加到成千上萬(wàn)位，非常適用于數(shù)據(jù)位數(shù)眾多的計(jì)算.對(duì)于連加運(yùn)算，可以為特定的用戶通過(guò)重構(gòu)技術(shù)將w個(gè)基本處理器重構(gòu)成專用的處理器，以用于FFT變換、Wash-Hadamader變換等.在光學(xué)處理模式下，只要運(yùn)算器w足夠多，就可以較低的計(jì)算復(fù)雜性完成這些變換的計(jì)算.即使運(yùn)算器位數(shù)不夠，也可以把一個(gè)大數(shù)據(jù)截?cái)喑蓭讉€(gè)長(zhǎng)度略小于w的數(shù)據(jù)段來(lái)進(jìn)行分步運(yùn)算，最后通過(guò)合并求得結(jié)果.當(dāng)用戶輸入的位數(shù)并不多時(shí)，可將這些數(shù)據(jù)拼接成一個(gè)適用于加法器的數(shù)來(lái)提高加法器的利用率.

2.1 數(shù)據(jù)截?cái)嗉夹g(shù)

記M和B分別為數(shù)據(jù)位數(shù)眾多的MSD數(shù)和二進(jìn)制數(shù)：

利用上述規(guī)則對(duì)M與B進(jìn)行求和得到s.分別對(duì)M和B進(jìn)行C變換和P變換得到c和p，并分別對(duì)c、p進(jìn)行補(bǔ)0操作后有

對(duì)結(jié)果c、p作R變換得到

現(xiàn)在嘗試把M和B從i和j位之間截?cái)喑蓛蓚€(gè)數(shù)據(jù)段：

分別對(duì)M1與B1、M2與B2進(jìn)行C變換和P變換，結(jié)果經(jīng)補(bǔ)0處理后有

再分別對(duì)c1與p1、c2與p2進(jìn)行R變換：

對(duì)比式（2）與（3）可以看到，s2中的sish…s2s1完全一致，s1中的sn+1snsn-1…sk完全一致，但s2中的與s中的sj未必相同，s1中的和s中的sj也未必相同.在把s1和s2拼接成s時(shí)，顯然結(jié)果是不正確的，須修正這個(gè)差異.修正方法如下.

M2和B2的取法保持不變，但對(duì)M1和B1進(jìn)行有重疊的選取，即對(duì)M和B在第i位向右分別多截取1位，得M1和B1.有

分別對(duì)M1與B1、M2與B2進(jìn)行C和P變換，并對(duì)結(jié)果進(jìn)行R變換，依次有

只要剪掉s1尾部的丟棄s2前部的再拼接后得到的結(jié)果就是和s.

2.2 數(shù)據(jù)拼接

式中，M3、M4為MSD數(shù)，B3、B4為二進(jìn)制數(shù).

一方面，分別對(duì)M3、B3與M4、B4進(jìn)行C和P變換，并進(jìn)行補(bǔ)0處理后有

再分別對(duì)c3、p3與c4、p4進(jìn)行R變換后，有

另一方面，將小位數(shù)數(shù)據(jù)拼接成大位數(shù)數(shù)據(jù).在M3、M4之間增加一個(gè)0，對(duì)B3、B4作類似處理，有

對(duì)M、B分別進(jìn)行C和P變換，并進(jìn)行補(bǔ)0處理得

式中，c和p中間的1個(gè)0恰好是根據(jù)C和P變換得到的.現(xiàn)在，c中間的0正好起到給未拼接前的c3尾部補(bǔ)0的作用，p中部的0起到給未拼接前的p4前部補(bǔ)0的作用.對(duì)c、p進(jìn)行R變換后，得

對(duì)比式（5）和（6）可知，只要在式（6）中從左至右剪下長(zhǎng)度為n+1位數(shù)據(jù)，就得到s3，剩余部分就是s4.

從前面的分析與推導(dǎo)看，相比三步式三值光學(xué)計(jì)算機(jī)MSD加法器的數(shù)據(jù)剪輯而言，上述針對(duì)M+B型三值光學(xué)加法器的數(shù)據(jù)剪輯過(guò)程對(duì)數(shù)據(jù)的截?cái)嗯c拼接僅需一位.在數(shù)據(jù)截?cái)鄷r(shí)，在式（4）中只要剪掉s1尾部的丟棄s2前部的再拼接即可得到結(jié)果，同樣在對(duì)短數(shù)據(jù)進(jìn)行數(shù)據(jù)拼接時(shí)二者間只需增加一位.

該加法過(guò)程中的數(shù)據(jù)剪輯工作可由三值光學(xué)計(jì)算機(jī)監(jiān)控系統(tǒng)的一個(gè)模塊完成，經(jīng)數(shù)據(jù)位分配和自動(dòng)剪輯后，數(shù)據(jù)進(jìn)入輸入隊(duì)列.待加法器對(duì)數(shù)據(jù)完成加法后，系統(tǒng)對(duì)計(jì)算結(jié)果進(jìn)行相應(yīng)的反向剪輯處理取得結(jié)果.

3 模擬實(shí)驗(yàn)

軟件模擬實(shí)驗(yàn)的目的是為了驗(yàn)證M-1-B型加法的正確性和數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)的有效性.模擬軟件采用C++程序編寫(xiě).

3.1 三值變換C、P、R的模擬與實(shí)現(xiàn)

基于光學(xué)處理器的M-1-B加法器模擬是通過(guò)C、P、R變換實(shí)現(xiàn)的.用3個(gè)2位數(shù)據(jù)分別表示C、P、R 3個(gè)變換，用3個(gè)函數(shù)CC、PP、RR分別模擬3個(gè)變換的操作過(guò)程.

C、P、R 3個(gè)變換的定義如下：

三值光信號(hào)可以用-1、0或1來(lái)表示.對(duì)于m∈｛-1,0,1｝和b∈｛0,1｝，C變換可表示為c=C［b］［m+1］，同理P和R變換分別為p=P［b］［m+1］，r=R［-p］［c］.

對(duì)于n位光學(xué)信號(hào)m［0,1,…,N-1］和b［0,1,…,N-1］，函數(shù)CC的實(shí)現(xiàn)如下：

類似地，可以定義函數(shù)PP和RR.

3.2 M-1-B加法器的模擬與實(shí)現(xiàn)

w位的M-1-B加法，需要3w+1個(gè)單元，用一個(gè)一維數(shù)組D存放各個(gè)變換的結(jié)果.D［0,1,…, w-1］，D［w,w+1,…,2w-1］，D［2w,2w+1,…,3w］分別表示C、P、R變換的結(jié)果.C和P變換結(jié)果的補(bǔ)0操作在R變換時(shí)進(jìn)行.

此時(shí)，D［0,1,…,3n］的結(jié)果將顯示在液晶屏幕上.

3.3 M-1-B加法器數(shù)據(jù)剪輯的實(shí)現(xiàn)策略

下面模擬一個(gè)w=15位的M-1-B型加法器來(lái)實(shí)現(xiàn)數(shù)據(jù)剪輯技術(shù).將長(zhǎng)度為46的一維數(shù)組D［0，1，…，45］分為15、15、16的3個(gè)長(zhǎng)度來(lái)分別存放變換結(jié)果，每段結(jié)果均右對(duì)齊，保持原來(lái)的順序，位數(shù)不足時(shí)左邊補(bǔ)0.

分3種情況.

（1）輸入數(shù)據(jù)位數(shù)為w，這種情況下一個(gè)M-1-B型加法器便可模擬實(shí)現(xiàn).

（2）位數(shù)較大的截?cái)嗖呗?

根據(jù)上述的數(shù)據(jù)截?cái)嗉夹g(shù)，將m和b截?cái)喑砷L(zhǎng)度合適的數(shù)據(jù)段，分步進(jìn)行計(jì)算.

先處理從0到w-1位的第一段數(shù)據(jù).然后根據(jù)重復(fù)一位原則處理從w-1位到2（w-1）位的第二段數(shù)據(jù).圖2展示了第t次處理從（t-1）（w-1）到t（w-1）的數(shù)據(jù)策略.

圖2 數(shù)據(jù)截?cái)嗍疽鈭DFig.2 Truncation procession of data segments

（3）位數(shù)較少的拼接策略.

當(dāng)用戶輸入的數(shù)據(jù)位數(shù)小于M-1-B型加法器位數(shù)時(shí)，可以將這些數(shù)據(jù)拼接成一個(gè)位數(shù)較多的數(shù)據(jù)，只要拼接后的數(shù)據(jù)位數(shù)小于M-1-B型加法器位數(shù)w，就可以繼續(xù)拼接，相鄰之間拼接時(shí)預(yù)留一位.如果已有數(shù)據(jù)的位數(shù)加上下一個(gè)將要拼接的數(shù)據(jù)位數(shù)之和大于w，就將下一個(gè)數(shù)據(jù)進(jìn)行截?cái)?但考慮到下一個(gè)數(shù)據(jù)的完整性，若當(dāng)前已有的數(shù)據(jù)位數(shù)加上預(yù)留位數(shù)與下一個(gè)數(shù)的數(shù)據(jù)位數(shù)的總和不超過(guò)w，便可將下一個(gè)數(shù)據(jù)拼接起來(lái)（見(jiàn)圖3）.

圖3 數(shù)據(jù)拼接示意圖Fig.3 Data concatenation process

拼接后，通過(guò)對(duì)結(jié)果s進(jìn)行分離處理便可得各個(gè)數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)的和.

3.4 M-1-B加法器數(shù)據(jù)剪輯結(jié)果與分析

使用長(zhǎng)度分別為8、15、3、3、4、18、5的7組數(shù)組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)分析（見(jiàn)表2），其中u表示-1.

表2 實(shí)驗(yàn)用例Table 2 Experimental instances

根據(jù)上述拼接和截?cái)嗖呗裕?組數(shù)據(jù)分6次進(jìn)行運(yùn)算，其中第3、4、5組合并成一組，而第6組分為兩組，各有15和3位，數(shù)據(jù)分組信息如表3所示.但是并沒(méi)有對(duì)第6組分出的3位新組數(shù)據(jù)與第7組數(shù)據(jù)進(jìn)行拼接.

表3 數(shù)據(jù)分組信息Table 3 Information of grouped data

6次運(yùn)算的過(guò)程如表4所示.

表4 6次數(shù)據(jù)計(jì)算過(guò)程Table 4 Calculation process of 6 groups

第1組數(shù)據(jù)M=10u10u01和B=10101011，經(jīng)過(guò)C、P、R變換后，得到

當(dāng)?shù)?組數(shù)據(jù)000000010011011和第2組數(shù)據(jù)0000000000uuuu0分別為經(jīng)過(guò)C、P變換后的結(jié)果，最后16位數(shù)據(jù)000000010010u000為M和B的和，用十進(jìn)制表示為280.

第3次計(jì)算過(guò)程含有3、4、5個(gè)數(shù)的并行計(jì)算：1010+1110=11000，1u0+001=1u0u，u10+100=01u0，結(jié)果為00001u01u0u11000，正確.

第4次和第5次計(jì)算的和分別是s1=1u11u0u10101000u和A=0000000000000010，是原來(lái)第6組數(shù)據(jù)根據(jù)截?cái)嗖呗运玫降?為此應(yīng)去除A的低5位，記為s2=00010.根據(jù)截?cái)嗖呗裕瑢1剪掉最低位，將s2剪掉最高位，得到一個(gè)19位數(shù)據(jù)1u11u0u101010000010，表示為1u11u101u101u0u011+011000011101100111=1u11u0u101010000010，即（111387）10+（100199）10=（211586）10，結(jié)果正確.

4 結(jié)束語(yǔ)

MSD數(shù)M和二進(jìn)制數(shù)B的M+B型加法結(jié)果可以通過(guò)C、P、R 3個(gè)變換和并行的2個(gè)步驟得到.M+B1+…+Bk形式的鏈接也不需要額外的數(shù)據(jù)變換.通過(guò)數(shù)據(jù)剪輯技術(shù)可以大大提高加法器的效率和利用率.本軟件模擬實(shí)驗(yàn)也證明了數(shù)據(jù)剪輯策略的正確性和可實(shí)現(xiàn)性.

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Data editing techniques of ternary optical adder implementing M+B

SHEN Yunfu，ZHANG Kaikai，JIANG Benpeng
（School of Computer Engineering and Science，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Due to carry propagation,efficiency of addition for data with large number of bits has not been significantly improved in the existing computers.Optical approaches have advantages in parallel and carry free addition with a large number of data bits.Based on the computing principle of M+B and the three ternary transforms of C,P and R as proposed in previous works,this paper studies related data editing techniques in which M is an MSD number,B is binary number.A data editing technique for this type of addition is proposed.Simulation is carried out on the three ternary transforms C,P and R for addition,data truncation and data concatenation.The results validate correctness of the proposed data editing technique.

ternary optical computer；MSD；adder；data editing；accumulation

TP 31

A

1007-2861（2016）04-0440-09

10.3969/j.issn.1007-2861.2015.01.001

2014-12-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目（61103054）；上海市教委創(chuàng)新基金資助項(xiàng)目（13YZ005）

沈云付（1960—），男，副教授，博士，研究方向?yàn)檐浻布问交椒?、模型檢查、三值光學(xué)計(jì)算機(jī)可靠性等. E-mail：yfshen@mail.shu.edu.cn