王成敏，任九生

（1.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海 200072；

2.上海大學理學院，上海 200444；

3.上海大學上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室，上海 200444）

電活性聚合物圓柱殼的動力學特性分析

王成敏1，任九生2，3

（1.上海大學上海市應用數(shù)學和力學研究所，上海 200072；

2.上海大學理學院，上海 200444；

3.上海大學上海市力學在能源工程中的應用重點實驗室，上海 200444）

基于有限變形動力學理論,研究了電活性聚合物圓柱殼在內(nèi)表面突加內(nèi)壓及電場作用下的運動與破壞問題.首先得到了描述電活性聚合物圓柱殼內(nèi)表面運動的非線性常微分方程,然后對方程進行了數(shù)值計算并進行動力學定性分析.當突加內(nèi)壓小于某個確定的臨界值時,圓柱殼產(chǎn)生非線性周期振動,而當突加內(nèi)壓大于這個臨界值時,圓柱殼將被破壞.通過對振動的振幅、相圖和周期的計算,討論了外加電場、內(nèi)壓及圓柱殼的厚度等參數(shù)對圓柱殼振動情況的影響.

電活性聚合物；突加內(nèi)壓；非線性周期振動；臨界載荷；破壞

電活性聚合物是一類新型智能材料，在電激勵下可以發(fā)生較大應變，具有較高的機電轉(zhuǎn)換效率.19世紀80年代機電響應現(xiàn)象被發(fā)現(xiàn)［1］，這是人類首次研究電活性聚合物.該類材料具有質(zhì)量輕、易于成形、運動靈活、價格便宜和不易疲勞損壞等優(yōu)點［2-4］，在機器人、醫(yī)用、航空、航天等多個領(lǐng)域備受關(guān)注［5-7］.自20世紀90年代以來，眾多國內(nèi)外研究者對電活性聚合物性能、模型和應用開展了實驗研究［8-10］.近10年來，電活性聚合物材料發(fā)展尤為迅速，一系列性能優(yōu)異的電活性聚合物材料相繼被開發(fā)出來，它的應用也日益廣泛［11-12］.

電活性聚合物在靜載下的力學特性在國內(nèi)外得到廣泛研究，但其在動載下的響應問題還有待深入探究.本研究的目的是通過分析電活性聚合物圓柱殼在突加內(nèi)壓作用下的運動及破壞問題，為其在工程中的應用提供一定的理論指導.本研究首先建立了問題的控制方程組，得到了描述電活性聚合物圓柱殼內(nèi)表面運動的二階非線性常微分方程，然后對方程組進行計算和動力學定性分析，求出方程解及振動的相圖、振幅、周期等結(jié)果.通過對振動的振幅、相圖和周期的分析，討論了外加電場、內(nèi)壓及圓柱殼的厚度等因素對圓柱殼振動情況的影響.

1 問題的數(shù)學描述

考慮一個內(nèi)徑為A、外徑為B、長度為L的不可壓電活性聚合物圓柱殼（見圖1），在初始時刻t=0時在內(nèi)表面受到突加內(nèi)壓p（t），并在圓柱殼內(nèi)外表面施加電場.設(shè)圓柱殼變形后其內(nèi)徑為a、外徑為b、長度為l.分別取物質(zhì)坐標系和空間坐標系為（R，Θ，Z）和（r,θ,z），則圓柱殼的運動模式為

式中，r（R,t）為待定函數(shù)；軸向拉伸λz為圓柱殼預加應變限制，是一預先給定的常數(shù).相應的變形梯度張量F為

相應的圓柱殼主伸長

圖1 變形前和變形后的圓柱殼結(jié)構(gòu)Fig.1 Undeformed and deformed configurations of the cylindrical shell

由材料的不可壓條件可得

于是

本研究考慮廣義不可壓Ogden電活性聚合物材料［13］，其應變能函數(shù)為

式中，ε為材料的介電常數(shù)，取ε=2.21×10-11F/m［14］；D為徑向電位移.材料常數(shù)［15-18］

電活性聚合物的應力

式中，P（r,t）為靜水壓力.

對圓柱殼而言，電位移D和電勢φ的關(guān)系為

圓柱殼的運動方程為

圓柱殼受突加內(nèi)壓作用的邊界條件為

滿足無約束自然狀態(tài)的初始條件為

電場的邊界條件為

2 問題的求解

由式（5）可得

將式（7）、（13）代入運動方程（9），并對r積分可得

將式（14）代入（7a），利用式（11a）可得P（a,t）=p（t）.代入式（11b）有

引入變換

令ξ=r/R，于是式（15）可改寫為

其中

若存在x，使得如下函數(shù)

成立，則方程（17）有解.當突加載荷為常值時，即p（t）≡p時，方程（17）的解為

3 結(jié)果與討論

為判定方程（16）是否有解，作出F（x,p）與x的關(guān)系曲線，不同參數(shù)下F（x,p）～x的關(guān)系曲線如圖2～5所示.若方程（16）有解，則不同參數(shù)下不同載荷p對應的x值可根據(jù)

得到，記為xmax，xmax與載荷p的關(guān)系曲線如圖6～8所示.圖9給出了圓柱殼的時程曲線.由方程（17）可得到不同的xmax對應的速度與x的關(guān)系曲線，即運動的相圖（見圖10～13）.

圖2 F（x,p）～x關(guān)系曲線（不同載荷）Fig.2 F（x,p）～x curves（different loads）

圖3 不同壁厚下F（x,p）～x關(guān)系曲線Fig.3 F（x,p）～x curves for shells of different thicknesses

圖4 不同電壓下F（x,p）～x關(guān)系曲線Fig.4 F（x,p）～x curves for different voltages

圖5 不同軸向拉伸下F（x,p）～x關(guān)系曲線Fig.5 F（x,p）～x curves for different axial stretches

從圖1～4可以看出，對某一圓柱殼總是存在一個突加內(nèi)壓的臨界載荷值pcr（當δ=1.04，λz=1.2，Φ=1.0×105V時，pcr約為1.1MPa）.

當p小于pcr時，F(xiàn)（x,p）～x曲線與x軸有（1，0）和（xmax，0）兩個交點.當1＜x＜xmax時，F(xiàn)（x,p）＞0，當x＞xmax時，F(xiàn)（x,p）＜0，表明方程（17）有兩個解x=1和x=xmax，圓柱殼可能會產(chǎn)生周期性運動.觀察時程曲線（見圖9）可見，在p＜pcr時圓柱殼的運動的確是周期性運動，其相圖（見圖10～13）是一條封閉的曲線.

而當p＞pcr時，F(xiàn)（x，p）＞0，F(xiàn)（x，p）～x曲線與x軸僅存在（1，0）一個交點，即方程（17）僅存在唯一解x=1，則圓柱殼的運動不是周期性運動.相圖（見圖10～13）也表明，當p＞pcr時，圓柱殼的相圖不是封閉的曲線，證實了當p＞pcr時，圓柱殼不可能產(chǎn)生周期性運動.此時方程的解，即圓柱殼運動的幅值隨時間的推移無限制地增大，表明隨著時間的推移圓柱殼最終會被破壞.

圖6 不同軸向拉伸下的振幅載荷關(guān)系曲線Fig.6 Amplitude and pressure curves for different axial stretches

圖8 不同電壓下的振幅載荷關(guān)系曲線Fig.8 Amplitude and pressure curves for different voltages

圖9 圓柱殼時程曲線Fig.9 Oscillating response of cylindrical shell

圓柱殼發(fā)生周期振動的振幅就是曲線F（x,p）～x與x軸交點處的橫坐標xmax.由相圖10～13可見，在t=0時，x（0）=1，（0）=0，表明在初始時刻圓柱殼未變形，其初始速度為零.隨著時間的推移，x逐漸增大，速度＞0，先增大然后逐漸減小；當x增大到最大值xmax時，速度減小到零；隨著時間的繼續(xù)推移，x逐漸減小，速度＜0，的絕對值先增大后減小，當x減小到1時，速度變?yōu)榱?，相圖曲線～x閉合，圓柱殼的一個周期振動完成，然后進行周期性循環(huán).

圖6～8表明，圓柱殼周期性振動的振幅xmax隨著內(nèi)壓p的增大而增大.同時圖6也表明，當軸向拉伸增大時，振幅xmax減小，臨界載荷pcr略微增大，可知軸向拉伸抑制圓柱殼周期性振動；圖7表明，當圓柱殼厚度減小時，振幅xmax變大，臨界載荷pcr變小，可知圓柱殼壁厚越薄，越容易發(fā)生破壞；圖8表明，當外加電壓增大時，振幅xmax變大，臨界載荷pcr減小，表明外加電壓促進了圓柱殼周期性振動.

圖10 不同載荷下的相圖Fig.10 Phase diagram for different loads

圖11 不同壁厚圓柱殼的相圖Fig.11 Phase diagram for shells of different thicknesses

圖12 不同軸向拉伸下的相圖Fig.12 Phase diagram for different axial stretches

圖13 不同電壓下的相圖Fig.13 Phase diagram for different voltages

圖10～13表明，當p＜pcr時，圓柱殼的相圖是一條對稱的封閉曲線，表明當p＜pcr時圓柱殼發(fā)生周期性振動；當p＞pcr時，圓柱殼的相圖不是封閉的曲線，表明當p＞pcr時圓柱殼的運動不是周期性運動.由

求得不同的xmax對應的振動周期T.如當δ=1.04，λz=1.2，Φ=1.0×105V時，相應于p=0.40，0.45，0.48，0.50MPa的振動周期分別為6.38，5.60，5.12，4.86 ms.當δ=1.04，λz=1.2，p=0.7 MPa時，相應于Φ=0，1.0×105，1.5×105，2.0×105V的振動周期分別為6.84，6.95，7.13，7.68 ms.結(jié)果表明電活性聚合物圓柱殼發(fā)生周期振動時，振動周期隨著突加內(nèi)壓的增大而減小，隨外加電壓的增大而增大.

4 結(jié)束語

本研究分析了在突加內(nèi)壓和外加電場作用下的不可壓電活性聚合物圓柱殼的動力學特性，得到了描述電活性聚合物圓柱殼內(nèi)表面運動的非線性常微分方程，通過計算和動力學定性分析發(fā)現(xiàn)，突加內(nèi)壓存在一個確定的臨界值.當突加內(nèi)壓小于這個臨界值時，圓柱殼內(nèi)表面發(fā)生周期性的非線性振動；當突加內(nèi)壓大于這個臨界值時，圓柱殼將被破壞.同時研究結(jié)果還表明：減小圓柱殼厚度，突加內(nèi)壓的臨界值減小，周期性振動的振幅增大，即圓柱殼越薄，越容易被破壞；當外加電壓增大時，臨界載荷值也減小，周期性振動的振幅增大，即外加電壓有促進振動的作用；圓柱殼發(fā)生周期性運動時，其振動周期隨內(nèi)壓的增大而減小，隨電壓的增大而增大.

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Dynamic analysis of electro-active polymer cylindrical shells

WANG Chengmin1，REN Jiusheng2,3
（1.Shanghai Institute of Applied Mathematics and Mechanics，Shanghai University，Shanghai 200072，China；
2.College of Sciences，Shanghai University，Shanghai 200444，China；
3.Key Laboratory of Mechanics in Energy Engineering，Shanghai University，Shanghai 200444，China）

Based on the theory of finite elasto-dynamics,motion and destruction of an electro-active polymer cylindrical shell subject to suddenly applied internal pressure and an electric field are studied.A nonlinear differential equation describing the motion of the shell's inner surface is developed.Numerical computation and qualitative dynamic analysis are conducted.It is shown that nonlinear periodic oscillation exists when the internal pressure is less than a critical value.When the pressure exceeds the value,the shell is destroyed.The effects of electric field,internal pressure and thickness of the shell on oscillation are discussed by examining vibration amplitudes,phase diagrams and periods.

electro-active polymer；suddenly applied internal pressure；nonlinear periodic oscillation；critical pressure；destroy

O 343.5

A

1007-2861（2016）04-0486-11

10.3969/j.issn.1007-2861.2014.05.022

2014-11-28

上海市重點學科建設(shè)資助項目（S30106）

任九生（1970—），男，教授，博士，研究方向為固體力學.E-mail：jsren@shu.edu.cn