張　冕， 劉慶豐

（阜陽師范學(xué)院 a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.附屬中學(xué)，安徽 阜陽 236037）

多元函數(shù)中值定理推論的一個(gè)簡化證明

張冕a， 劉慶豐b

（阜陽師范學(xué)院 a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.附屬中學(xué)，安徽 阜陽 236037）

利用方向?qū)?shù)的性質(zhì)，對相關(guān)問題嘗試進(jìn)行綜合分析，給出二元函數(shù)中值定理推論的一個(gè)簡化的證明方法，并將其推廣到多元函數(shù)的情形，同時(shí)提出教學(xué)建議。

方向?qū)?shù)；中值定理；推論；常值函數(shù)

函數(shù)中值定理是函數(shù)微分學(xué)中重要的內(nèi)容之一。利用一元函數(shù)的中值定理的結(jié)論，我們可以得到一個(gè)重要的推論，即若 f'（x）=0，x∈I，則 f（x）在I上為常值函數(shù)。同樣，在二元函數(shù)微分學(xué)中，也有類似的結(jié)論。即：

若函數(shù) f（x，y）在區(qū)域D?R2上的偏導(dǎo)數(shù)恒為零，那么它在D上必是常值函數(shù)。

目前，在一些數(shù)學(xué)分析教材中，都給出了關(guān)于此命題的證明，但這些證明除了運(yùn)用二元函數(shù)的中值定理的結(jié)論之外，還需要用到有限覆蓋定理的知識(shí)，證明過程相對復(fù)雜，學(xué)生也不易理解和接受。筆者在進(jìn)行這一部分內(nèi)容的教學(xué)中，對教材中基本定理，包括課后習(xí)題的相關(guān)問題進(jìn)行綜合分析，提出了一個(gè)與傳統(tǒng)證明方法完全不同的簡單證明方法，優(yōu)化了相關(guān)課程內(nèi)容的教學(xué)，提高了教學(xué)效率，同時(shí)讓學(xué)生從中感受到數(shù)學(xué)創(chuàng)新的樂趣，從而提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力。

1　中值定理推論的簡化證明及教學(xué)研究

1.1兩個(gè)引理

為了使學(xué)生更加清晰的理解和掌握定理的證明，我們首先證明如下兩個(gè)引理。

引理1設(shè)函數(shù) f（x，y）可微，l是R2上一個(gè)確定的向量。若處處有 fl（x，y）≡0，則函數(shù) f在任一平行于l的直線上恒為常數(shù)。

證明 設(shè)l=（cos α，cos β），（x0，y0）為任一固定點(diǎn)?？疾旌瘮?shù)

g（t）=f（x0+tcos α，y0+tcos β），t∈R，

則g（t）可微，且

可知g（t）恒為常數(shù)，即

f（x0+tcos α，y0+tcos β）=f（x0，y0），

從而函數(shù) f在任一平行于l的直線上恒為常數(shù)。

（證畢）

引理2設(shè)函數(shù) f（x，y）可微，l1與l2是R2上一組線性無關(guān)向量.若fli（x，y）≡0（i=1，2），則f（x，y）≡常數(shù)。

證明 不妨設(shè)l1與l2為單位向量，則由條件知fli=grad f·li≡0，i=1，2。

且因l1與l2線性無關(guān)，故對任意單位向量l∈R2，存在不全為零的常數(shù)bi，i=1，2，使得

l=b1l1+b2l2，

從而，對任意單位向量l，有

由引理1知，f（x，y）在任意直線上都是常數(shù)，所以對任意P1，P2∈R2，函數(shù) f（x，y）在直線P1P2上的值處處相等，即 f（P1）=f（P2），亦即

f（x，y）=常數(shù)，（x，y）∈R2。（證畢）

從幾何意義上看，若函數(shù)表示的圖形在坐標(biāo)平面R2上沿兩條相互垂直的直線上的變化率為零，則此函數(shù)圖形為平行于坐標(biāo)平面R2的一個(gè)平面。在教學(xué)過程中指明這一點(diǎn)，對學(xué)生理解和掌握定理及其證明，是十分有益的。

事實(shí)上，這兩個(gè)引理是華東師大版《數(shù)學(xué)分析》教材上的兩個(gè)習(xí)題。由上述證明過程可知，顯然這兩個(gè)引理推廣到n元函數(shù)也是成立的。

引理2的結(jié)論指出，要證明多元函數(shù)為常值函數(shù)，只需找到相應(yīng)空間的一組線性無關(guān)的向量，并且函數(shù)沿每個(gè)向量方向的方向?qū)?shù)為零即可。

1.2定理及其證明

定理1若函數(shù) f（x，y）在區(qū)域D?R2上的偏導(dǎo)數(shù)恒為零，那么它在D上必是常值函數(shù)。

分析 本定理揭示了二元函數(shù)為常值函數(shù)和偏導(dǎo)數(shù)為零之間的關(guān)系。而由上述引理2，如果函數(shù)沿兩個(gè)線性無關(guān)的方向?qū)?shù)為零，則該函數(shù)必為常值函數(shù)。因此，此定理的證明幾乎是顯然的。

證明 由 fx=fy≡0知 f（x，y）的偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域D上連續(xù)，從而 f（x，y）在D上可微。

在區(qū)域D中沿x軸與y軸方向分別取向量

l1=（1，0），l2=（0，1），顯然l1與l2線性無關(guān)，且

由引理2知，函數(shù) f（x，y）在區(qū)域D上恒為常數(shù)。（證畢）

上述證明過程應(yīng)該是比較簡潔的，學(xué)生也是較容易理解和掌握的。由此，類比上述引理的推廣，學(xué)生很自然的就可把定理推廣到n維空間形式。即

定理 2設(shè)多元函數(shù) f（x1，x2，…，xn）在區(qū)域D?Rn上對各個(gè)變量的偏導(dǎo)數(shù)皆為 0，則f（x1，x2，…，xn）為一常值函數(shù)。

2　結(jié)語

通過以上所述，我們可以認(rèn)識(shí)到，對于數(shù)學(xué)分析課程的教學(xué)，應(yīng)該從總體上進(jìn)行把握，使學(xué)生理解整個(gè)學(xué)科的理論思想體系，從而引導(dǎo)學(xué)生利用已有的知識(shí)，把新問題轉(zhuǎn)化為已知的簡單問題。在這里，教師加強(qiáng)對前后知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系和相關(guān)學(xué)科知識(shí)的連接串通的引導(dǎo)是十分重要的。如在上述引理和定理的證明中，我們就把數(shù)學(xué)分析的知識(shí)和高等代數(shù)中有關(guān)線性相關(guān)的知識(shí)進(jìn)行了關(guān)聯(lián)，這對培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用所學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析問題和解決問題的能力，無疑是十分重要的。特別值得指出的是，將習(xí)題和教學(xué)內(nèi)容進(jìn)行適當(dāng)?shù)恼希瑢τ诩由顚ο嚓P(guān)學(xué)習(xí)內(nèi)容的理解，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力，以及培養(yǎng)學(xué)生的初步研究創(chuàng)新能力，更是十分有益的。

［1］ 華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析下冊［M］.4版.北京：高等教育出版社，2001：136-143.

［2］ 陳紀(jì)修，於崇華，金路.數(shù)學(xué)分析下冊［M］.2版.北京：高等教育出版社，2004：165-166.

［3］ 肖箭，劉紅琴，宋國強(qiáng).關(guān)于高維中值定理的自然特征［J］.合肥學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2014，24（2）：1-4.

A simplified proof of multivariate function's inference

ZHANG Miana，LⅠU Qing-fengb

（a.School of Mathematics and Statistics；b.Affiliated Middle School，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

This paper study mean value theorem of dual function through the directional derivatives and give the simplified proof of its inference，then we spread it to the situation of multivariate function.Finally，some teaching suggestions are proposed.

directional derivative；mean value theorem；inference；constant function

G642

A

1004-4329（2016）01-111-02

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-111-02

2015-3-11

安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目（2015jxtd121，2013zy167，2014zy138，2015jxtd023）；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目（2015JYXM23，2014JXTD01，2013ZYSD05）資助。

張冕（1978-），女，博士，教授，研究方向：隨機(jī)過程、排隊(duì)論。