沈曉斌，黃東蘭

（1泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362000；2智能計(jì)算與信息處理福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 泉州 362000）

局部有界函數(shù)的Picard算子收斂階的估計(jì)

沈曉斌1，2，黃東蘭1，2

（1泉州師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建 泉州 362000；2智能計(jì)算與信息處理福建省高等學(xué)校重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，福建 泉州 362000）

對(duì)局部有界函數(shù) f的Picard算子在區(qū)間（-∞，+∞）上的收斂階進(jìn)行估計(jì)。在蔡清波等人關(guān)于Picard算子的收斂階研究基礎(chǔ)上，對(duì)其所給的估計(jì)結(jié)果作進(jìn)一步改進(jìn)，得到更精確的系數(shù)估計(jì)。

局部有界函數(shù)；Picard算子；收斂階；Laplace分布

文［1］主要研究了定義在區(qū)間（-∞，+∞）上局部有界可積函數(shù)f的Picard算子收斂于的收斂階，得到其收斂階的估計(jì)。本文在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步討論文［1］關(guān)于Picard算子，注意到其基函數(shù)與Laplace分布的關(guān)系，利用概率性質(zhì)等方法，通過(guò)估計(jì)相關(guān)函數(shù)關(guān)于Laplace分布的數(shù)學(xué)期望，從而給出了更好的估計(jì)式。關(guān)于概率型算子逼近理論的研究可參考文［2-8］。為了便于敘述，本文采用與文［1］相同的符號(hào)。先介紹Picard算子、相關(guān)的函數(shù)類及一些引理。

1　定義和引理

定義1設(shè) f是定義在（-∞，+∞）上的可積函數(shù)，且滿足如下增長(zhǎng)階：，稱

為 Picard算子。當(dāng)核函數(shù) Kn（x，y）定義為t， 則算子Pn（f，x）可以表示為L(zhǎng)ebesgue-Stieltjes的積分形式

定義3局部有界函數(shù)類ΦB定義為ΦB=｛f| f在［0，∞）的每個(gè)有限子區(qū)間是有界的｝。

定義4局部有界變差函數(shù)類BVloc（-∞，+∞）定義為BVloc（-∞，+∞）=｛f|f在（-∞，+∞）的每個(gè)有限子區(qū)間為有界變差｝。

引理1設(shè)隨機(jī)變量ξ服從參數(shù)為（n-1，x）的Laplace分布，則隨機(jī)變量函數(shù)

φ（ξ）=（ξ-x）2exp（）βξ，當(dāng)x∈（-∞，+∞）及n＞2β時(shí)的數(shù)學(xué)期望：

證明

作變量代換t-x=u，則

又

式（5）和式（6）代入式（4），注意到n＞2β則n3＞4nβ2，得

所以由式（6）知

即

引理2當(dāng)n＞3+β（β＞0）時(shí)有

證明 由于式（8）等價(jià)于16n2（n-2β）（n+2β）＜6（n-β）6，即

令α=n-β代入式（9）并整理，

又，由均值不等式，

整理得

2　Picard算子的收斂階

Picard算子關(guān)于局部有界函數(shù)類有如下的收斂階：

定理1［1］設(shè) f是滿足如下條件的函數(shù)，f∈ΦB，?|f（t）|≤Mexp（）βt（M＞0；β≥0；t→∞），若f（x+）和 f（x-）在定點(diǎn) x∈（-∞，+∞）存在，則當(dāng)n＞2β時(shí)，有

其中，［n］表示不超過(guò)n的最大整數(shù)，

收集天津某三級(jí)甲等綜合性大學(xué)醫(yī)院近年來(lái)醫(yī)院接待中心、醫(yī)保辦公室（簡(jiǎn)稱醫(yī)保辦）、便民服務(wù)熱線、醫(yī)患溝通座談會(huì)、意見(jiàn)箱、第三方滿意度調(diào)查中涉及醫(yī)保相關(guān)投訴內(nèi)容作為PDCA循環(huán)管理的依據(jù)。

其中g(shù)x（t）和［n］同前述定義。

由定理1和定理2，我們依次可以得到Picard算子關(guān)于局部有界變差函數(shù)類的收斂階：

推論1［1］設(shè) f是滿足如下條件的函數(shù)，f∈BVloc，?|f（t）|≤Mexp（）βt（M＞0；β≥0；t→∞），若f（x+）和 f（x-）在定點(diǎn) x∈（-∞，+∞）存在，則當(dāng)n＞2β時(shí)，有

3　定理2的證明

設(shè) f∈ΦB，對(duì)所有的t有：

這里，gx（t）如式（13）所定義，

由Pn（1，x）=1，可得

從而

其中，

則

文［1］已經(jīng)給出

則

所以只需對(duì)式（18）的|Δ4，n（gx）|重新估計(jì)，由于

t≥2x?||t-x≥||x。從而

即

由引理1的結(jié)果代人式（21）得

把式（22）代入式（19），定理2得證。

4　結(jié)束語(yǔ)

比較式（12）和式（14）右端的第二項(xiàng)，由引理2的式（8）得當(dāng)n＞3+β（β＞0）時(shí)。兩個(gè)收斂階的估計(jì)式有如下關(guān)系：

更何況

即式（14）的收斂階高于式（12）。相應(yīng)地，推論2優(yōu)于推論1。

從而，本文所得的局部有界函數(shù)Picard算子的收斂階的估計(jì)優(yōu)于文［1］的估計(jì)。但是，本文改進(jìn)的這一項(xiàng)并不是主項(xiàng)，所以最終的估計(jì)對(duì)整體沒(méi)有本質(zhì)的影響，筆者將進(jìn)一步探究對(duì)另一項(xiàng)的改進(jìn)以達(dá)到更有意義的結(jié)果。雖然本文對(duì)結(jié)果的貢獻(xiàn)不顯著，但在于提出運(yùn)用概率論的有關(guān)性質(zhì)來(lái)研究算子逼近論，該方法的運(yùn)用或許將有助于對(duì)于一系列諸如Gamma算子［2］等概率型算子收斂階的進(jìn)一步優(yōu)化。

［1］ 蔡清波.Picard算子對(duì)局部有界函數(shù)的逼近［J］.泉州師范學(xué)院學(xué)報(bào)，2011，29（2）：43-45，64.

［2］ Zeng X M.Approximation properties of Gamma operators［J］.Journal of Mathematical Analysis and Applications，2005，311（2）：389-401.

［3］ Bojanic R，Cheng F H.Rate of convergence of Bernstein polynomials for functions with derivatives of bounded variation［J］.Journal of Mathematical Analysis andApplications，1989，141（1）：136-151.

［4］ 王平華.Szász算子的收斂速度的估計(jì)［J］.阜陽(yáng)師范學(xué)院學(xué)報(bào)（自然科學(xué)版），2001，18（3）：9-10，39.

［5］ 黃坤陽(yáng).ⅠntegraⅠ型Lupas-Bézier算子收斂階的估計(jì)［J］.巢湖學(xué)院學(xué)報(bào)，2015，17（3）：12-15.

［6］ Wang P H.Cai Q B and Li Z W.estimate on rate of convergence of the integral type Lupas-Bézier operators ［J］.Far East Journal of Mathematical Sciences，2008，28（1）：189-196.

［7］ 王平華，沈曉斌.有界變差函數(shù)的Szasz-Bézier算子收斂階的估計(jì)［J］.黃岡師范學(xué)院學(xué)報(bào)：自然科學(xué)，2005，25（6）：1-3，8.

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［9］ 陳爭(zhēng)鳴，王平華.Picard算子對(duì)絕對(duì)連續(xù)函數(shù)的新收斂階［J］.江西科技師范大學(xué)學(xué)報(bào)，2014，13（6）：43-47.

［10］黃東蘭.局部有界函數(shù)的Baskakov-Bézier算子收斂階新的估計(jì)［J］.三明學(xué)院學(xué)報(bào)，2014，32（6）：11-14.

Estimate on rate of convergence of Picard operators for locally bounded functions

SHEN Xiao-Bin1，2，HUANG Dong-lan1，2

（1.School of Mathematics and Computer Science，Quanzhou Nomal University，Quanzhou Fujian 362000，China；2.Fujian Provincial Key Laboratory of Data Intensive Computing，Quanzhou Fujian 362000，China）

Ⅰn this article we estimate the rate of convergence of Picard operators for locally bounded functionfon（-∞，+∞）.Our study is based on the authors Cai and the others′researches about the rate of convergence of Picard operators，and improves the results of estimation，gets more accurate coefficient estimation.

locally bounded functions；Picard operators；rate of convergence；Laplace distribution

O174.41

A

1004-4329（2016）01-018-04

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-018-04

2015-09-15

福建省中青年教師教育科研項(xiàng)目（JA14262）資助。

沈曉斌（1966-），男，本科，副教授，研究方向：算子逼近論。