（阜陽師范學(xué)院 a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

孫娓娓a， 張開銀b

基于遺傳算法的嫦娥三號(hào)軟著陸軌道設(shè)計(jì)

（阜陽師范學(xué)院 a.數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院；b.物理與電子工程學(xué)院，安徽 阜陽 236037）

嫦娥三號(hào)是我國航天器首次在地外天體的軟著陸和巡視勘探，而軟著陸又是所有探測(cè)月球活動(dòng)中最為關(guān)鍵的技術(shù)。該文利用飛行器動(dòng)力學(xué)方程和能量守恒定律得出有關(guān)燃料和時(shí)間的方程。然后將遺傳算法應(yīng)用于著陸軌道的優(yōu)化設(shè)計(jì)，通過MATLAB程序?qū)崿F(xiàn)，給出了飛行狀態(tài)和控制變量的仿真結(jié)果，得到了燃料最優(yōu)的軟著陸軌道。仿真結(jié)果表明，遺傳算法可搜索到全局最優(yōu)的著陸軌道。并對(duì)所得的制導(dǎo)軌道進(jìn)行誤差估計(jì)和敏感性分析。

軟著陸；遺傳算法；嫦娥三號(hào)；敏感性

當(dāng)今地球資源日益匱乏，很多國家把目光從地球轉(zhuǎn)向了月球。我國的探月工程起步比較晚，但是在許多方面取得了不小的成就。2013年12 月6日，嫦娥三號(hào)順利進(jìn)入環(huán)月軌道，登月器在月球上的預(yù)定著陸點(diǎn)為虹灣以東地區(qū)19.51W，44.12N，海拔-2 641 m。探月器在高速飛行的狀況下，如果要保證其準(zhǔn)確地在月球預(yù)定區(qū)域內(nèi)實(shí)現(xiàn)軟著陸，著陸軌道是關(guān)鍵問題。本文針對(duì)嫦娥三號(hào)軟著陸問題，通過利用動(dòng)力學(xué)原理和遺傳算法相關(guān)知識(shí)，對(duì)著陸軌道進(jìn)行優(yōu)化控制，并對(duì)其結(jié)果進(jìn)行靈敏度分析。

1　基于遺傳算法的著陸軌道設(shè)計(jì)

嫦娥三號(hào)著陸軌道的基本設(shè)計(jì)要求是：著陸準(zhǔn)備軌道為近月點(diǎn)15 km，遠(yuǎn)月點(diǎn)100 km的橢圓形軌道；著陸軌道為從近月點(diǎn)著陸點(diǎn)，其軟著陸過程共分為6個(gè)階段，在這些階段中要滿足關(guān)鍵點(diǎn)所處的狀態(tài)，同時(shí)還要最大的減少軟著陸過程的燃料消耗。當(dāng)探測(cè)器在其橢圓軌道上運(yùn)行到近月點(diǎn)時(shí)，發(fā)動(dòng)機(jī)再次啟動(dòng)，為的是減少探測(cè)器的速度；在靠近月球表面時(shí)，探測(cè)器為以降低著陸撞擊為目的，直到安全完成軟著陸［1］。

孫娓娓a， 張開銀b

為了確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道，很多文獻(xiàn)都采用了傳統(tǒng)的優(yōu)化算法，優(yōu)化的結(jié)果對(duì)某些參數(shù)的初始值非常敏感。由于遺傳算法［2］具有很強(qiáng)的全局尋優(yōu)能力，因此很多學(xué)者應(yīng)用它來研究太空探測(cè)。本文采用基于浮點(diǎn)數(shù)編碼的遺傳算法［3］設(shè)計(jì)月球軟著陸軌道。

1.1動(dòng)力學(xué)模型

由于月球表面沒有大氣層，而且從15 km的軌道軟著陸所用時(shí)間比較短，所以大氣阻力項(xiàng)、月球引力非球項(xiàng)、日月引力攝動(dòng)等影響因素可忽略不計(jì)。這里采用慣性坐標(biāo)系下的二體模型［4］來建立探測(cè)器的動(dòng)力學(xué)方程［5］，如圖1所示。

圖1　探測(cè)器二體模型示意圖

其中vr、vθ是探測(cè)器的法向速度和切向速度；μ是月球引力常數(shù)；r是月心距；a是推力加速度；β是推力方向角，即推力方向與當(dāng)?shù)厮骄€的夾角；θ是極角。

探測(cè)器著陸滿足的初始條件為：

其中初始切向速度vθ0并不是當(dāng)?shù)氐沫h(huán)繞速度，而是探測(cè)器從遠(yuǎn)月點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到近月點(diǎn)的速度，這一速度大于當(dāng)?shù)丨h(huán)繞速度，Δvk就是這兩個(gè)速度的差；由于飛行器的初始時(shí)刻在近月點(diǎn)，所以初始法向速度vr0=0；初始軌道半徑r0為近月點(diǎn)，aL為月球半徑，h為軌道高度。

探測(cè)器著陸滿足的終止條件為：

即當(dāng)探測(cè)器落到月球表面時(shí)，其速度為0。而對(duì)于整個(gè)軟著陸過程，追求的目標(biāo)是燃料消耗達(dá)到最?。?］，即

其中Isp為發(fā)動(dòng)機(jī)比沖；g為重力加速度；tf為軟著陸完成時(shí)刻。

1.2遺傳算法

上節(jié)中所建立的探測(cè)器的物理模型，在數(shù)學(xué)上本質(zhì)就是一個(gè)帶約束的優(yōu)化問題，其目標(biāo)函數(shù)就是求式（4）所描述的燃料消耗的最小值。需要優(yōu)化的參數(shù)包括（1）式中的4個(gè)狀態(tài)變量vr、vθ、r、θ在初始時(shí)刻和終止時(shí)刻的值、1個(gè)飛行時(shí)間變量t、1個(gè)推力變量T，共10個(gè)參數(shù)；這些參數(shù)應(yīng)滿足以下8個(gè)約束條件，其數(shù)學(xué)模型如下：

針對(duì)上述數(shù)學(xué)優(yōu)化問題利用浮點(diǎn)數(shù)編碼的遺傳算法進(jìn)行求解，步驟如下：

Step1：隨機(jī)產(chǎn)生N個(gè)長度為n（優(yōu)化參數(shù)的個(gè)數(shù)）的浮點(diǎn)數(shù)編碼組成初始種群；

Step2：按（4）式計(jì)算種群中每個(gè)個(gè)體的適應(yīng)度值，采用輪盤賭方式進(jìn)行選擇操作，同時(shí)將最佳個(gè)體直接保留到下一代；

Step3：將個(gè)體隨機(jī)兩兩配對(duì)，按照指定的概率Pc進(jìn)行算術(shù)交叉操作；

Step4：對(duì)選中的父代個(gè)體，按照指定概率Pm進(jìn)行均勻變異操作，得到下一代種群；

Step5：若連續(xù)若干代的最優(yōu)個(gè)體的適應(yīng)值不再提高，則終止算法，并輸出最優(yōu)個(gè)體；否則轉(zhuǎn)Step2。

2　仿真結(jié)果

以2014年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽A題相關(guān)數(shù)據(jù)為例，初始時(shí)刻的探測(cè)器質(zhì)量m0=2.4×103kg，發(fā)動(dòng)機(jī)比沖Isp=2 940m/s，發(fā)動(dòng)機(jī)推力限制在1 500～7 500N。探測(cè)器軌道高度h=15km，初始時(shí)刻切向速度為1.691 8 km/s，法向速度vr0=0；終止時(shí)刻探測(cè)器降落在月球上，rf=aL=1 738km，速度vrf=0，vθ=0。

遺傳算法的相關(guān)參數(shù)為：優(yōu)化參量的數(shù)目n= 10，種群規(guī)模N=20；交叉概率Pc=0.6，變異概率pm=0.05，迭代次數(shù)Titer=1 000。

利用Matlab軟件，計(jì)算出探測(cè)器著陸飛行總時(shí)間為721.67 s，并畫出了軟著陸過程中推力方向角、月心距、極角、徑向速度隨時(shí)間變化的曲線圖，如圖2所示。

圖2　軌道參數(shù)變化曲線

從圖2可以看出，月心距、推力方向角都一直在減?。欢鴱较蛩俣妊刂赶蛟滦姆较?，先增大后減小，其最大值達(dá)到45m/s；極角θf-θo=6.30°。

3　著陸軌道敏感性分析

本文所設(shè)計(jì)的著陸軌道是在理想狀態(tài)下所得到的，即不考慮導(dǎo)航誤差、姿態(tài)控制誤差以及各種系統(tǒng)誤差的情況［7］。但在探測(cè)器發(fā)射過程中，嫦娥三號(hào)運(yùn)行軌道是受很多因素影響制約的，若這些因素產(chǎn)生擾動(dòng)，就不能保證精確到達(dá)預(yù)著陸點(diǎn)。因此，對(duì)著陸軌道進(jìn)行敏感性分析是很有必要的。

3.1初始質(zhì)量估計(jì)誤差

初始質(zhì)量增加5%的誤差，推力方向角、月心距、極角、徑向速度仿真結(jié)果如圖3所示。可以看出，著陸精度不滿足1 km的要求，這是因?yàn)樵黾淤|(zhì)量會(huì)使推力加速度減小，造成最小航程增大，從而引起較大的著陸誤差［8］。由于質(zhì)量誤差帶來的航程偏差是無法量化的，因此可以引入推力開關(guān)函數(shù)來調(diào)整航程，從而到達(dá)著陸區(qū)域。

圖3　初始質(zhì)量引起軌道參數(shù)偏差情況

圖4　推力大小引起軌道參數(shù)偏差情況

3.2推力大小誤差

推力增加3%的誤差，推力方向角、月心距，極角，徑向速度仿真結(jié)果如圖4所示。從仿真結(jié)果上看，除極角外，其他軌道參數(shù)對(duì)推力的大小都很敏感，故推力的偏差對(duì)著陸的影響比較大，因此需要對(duì)發(fā)動(dòng)機(jī)的推力提出更高的精度。

4　結(jié)束語

本文采用遺傳算法來確定嫦娥三號(hào)的著陸軌道，很好的確保了飛行器的安全問題。遺傳算法對(duì)參數(shù)的不依賴性和全局優(yōu)化性大大地提高了結(jié)果的準(zhǔn)確性和可靠性。本文所設(shè)計(jì)的著陸軌跡模型不僅僅適用于航天事業(yè)，也可以運(yùn)用到其他領(lǐng)域，如地質(zhì)探測(cè)等［9］，使用價(jià)值高，實(shí)用性強(qiáng)。

［1］ 蔣瑞，韓兵.嫦娥三號(hào)著陸控制研究與軟件仿真［J］.微型電腦應(yīng)用，2012，28（2）：17-19，34.

［2］ 李琳琳.遺傳算法在控制中的應(yīng)用［D］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)，1998：78-81.

［3］ 張彤，張華，王子才.浮點(diǎn)數(shù)編碼的遺傳算法及其應(yīng)用［J］.哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào)，2000，32（4）：59.

［4］ 劉暾.空間飛行器軌道動(dòng)力學(xué)［M］.哈爾濱：哈爾濱工業(yè)大學(xué)出版社，1991：173-175.

［5］ Pierson BⅠ，Kluever C A.Three-stage approach to optimallow-thrust earth-moon trajectories［J］.Guidance，Control，and Dynamics，1994，17（6）：1275-1282.

［6］ Noton M.現(xiàn)代控制理論［M］.北京：科學(xué)出版社，1979：25-26.

［7］ 王劼，崔乃剛，劉暾，等.定常推力登月飛行器最優(yōu)軟著陸軌道研究［J］.高技術(shù)通訊，2003，13（4）：39-42.

［8］ Ueno S，Yamaguchi Y.3-Dimensional near-minimum fuel guidance law of a lunar landing module［J］.AⅠAA Journal，1999，39（3）：248-253.

［9］ Mcinnes C R.Path shaping guidance for terminal lunar descent［J］.Acta Astronautica，1995，36（7）：367-377.

Soft landing orbit design of Chang'e No.3 based on genetic algorithm

SUN Wei-weia，ZHANG Kai-yinb

（a.School of Mathematics and Statistics；b.School of Physics and Electronic Engineering，F(xiàn)uyang Normal University，F(xiàn)uyang Anhui 236037，China）

Chang'e No.3 is the soft landing and tour exploration to the extraterrestrial objects for the first time.Soft landing is the most important part of all exploration for the moon.This paper gets equation about fuel and time using vehicle dynamics equation and the law of energy conservation.Then genetic algorithm is applied to the optimization design of landing orbit. Through MATLAB implementation，the simulation results of the flight state and control variables are given.The fuel optimal soft landing orbit is obtained.The simulation results show that genetic algorithm can search the global optimal landing orbit.Finally the error estimation and sensitivity analysis of the orbit are made.

soft landing；genetic algorithm；Chang'e No.3；sensitivity

V474.3

A

1004-4329（2016）01-011-05

10.14096/j.cnki.cn34-1069/n/1004-4329（2016）01-011-05

2015-09-30

安徽高校省級(jí)自然科學(xué)研究項(xiàng)目（2015KJ003）；教育部留學(xué)回國人員科研啟動(dòng)基金資助（2012-42）；安徽省質(zhì)量工程項(xiàng)目（2013zy167，2014zy138，2015jxtd121）；阜陽師范學(xué)院質(zhì)量工程項(xiàng)目（2013ZYSD05，2014JXTD01）資助。

孫娓娓（1981-），女，碩士，講師，研究方向：智能計(jì)算。