唐潔

【摘 要】分析高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想研究的意義，闡明進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)中常見的問題，闡述高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的途徑。

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué) 數(shù)形結(jié)合 教學(xué)途徑

【中圖分類號(hào)】G 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A

【文章編號(hào)】0450-9889（2016）07B-0145-03

數(shù)學(xué)源于生活，用于生活。自誕生起，數(shù)學(xué)在人們的生活中占據(jù)重要的地位，也是其他學(xué)科如生物學(xué)、化學(xué)、物理學(xué)等學(xué)科的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)思想一直為數(shù)學(xué)研究學(xué)者所重視，從17世紀(jì)的數(shù)學(xué)變換思想到18世紀(jì)的數(shù)學(xué)分析思想，再到19世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想大變革，數(shù)學(xué)思想的研究從未停止過，尤其是20世紀(jì)以后有關(guān)數(shù)學(xué)思想的研究的論文與著作層出不窮。我國(guó)自1978年之后不斷發(fā)展教育事業(yè)，對(duì)數(shù)學(xué)思想的研究也更加重視。據(jù)教育部的統(tǒng)計(jì)，近40年來我國(guó)數(shù)學(xué)思想的研究與應(yīng)用主要集中在高中教學(xué)中。高中生已經(jīng)有了一定的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)，并且處于數(shù)學(xué)思維和思想形成的有利年齡段。

隨著我國(guó)教育事業(yè)近年來的飛速發(fā)展，數(shù)學(xué)教學(xué)的課程改革也在如火如荼地進(jìn)行著，新課標(biāo)要求數(shù)學(xué)教學(xué)過程中要加強(qiáng)數(shù)學(xué)方法的滲透，因?yàn)橹挥杏辛苏_的思想方法，學(xué)生才能夠合理地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)。四大數(shù)學(xué)思想方法為數(shù)形結(jié)合、化歸、函數(shù)與方程以及分類討論，而在高中教學(xué)中最為重要的就是數(shù)形結(jié)合，因?yàn)樵谝欢ǔ潭葋碚f其他三種思想的培養(yǎng)都涉及數(shù)形結(jié)合思想。數(shù)形結(jié)合思想貫穿于所有的數(shù)學(xué)研究與教學(xué)之中，是抽象概念與直觀幾何的有機(jī)結(jié)合。數(shù)形結(jié)合思想在高中教學(xué)中占據(jù)重要的位置，它不僅能簡(jiǎn)化各種數(shù)學(xué)問題的解決方法，而且能培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。目前，我國(guó)高中數(shù)學(xué)教育中很多教學(xué)工作者對(duì)數(shù)形結(jié)合思想的重要性認(rèn)識(shí)不清楚，導(dǎo)致高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)中存在諸多問題，影響著高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作的進(jìn)展，同時(shí)也阻礙了高中生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。對(duì)高中數(shù)學(xué)教學(xué)過程中數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的途徑進(jìn)行探索，有著重要現(xiàn)實(shí)意義。

一、高中數(shù)學(xué)數(shù)形結(jié)合思想研究的意義

（一）有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的過渡和銜接

在高中以前學(xué)生學(xué)習(xí)的都是較為基礎(chǔ)的數(shù)學(xué)知識(shí)，知識(shí)點(diǎn)簡(jiǎn)單直觀，例如初中教程中的不等式、方程以及幾何中的三角形、多邊形和圓等知識(shí)都較為簡(jiǎn)單，學(xué)生只用記住相關(guān)的概念以及公式就能夠很好地解決常見的問題。但是高中的數(shù)學(xué)知識(shí)比較抽象，例如常見的函數(shù)、數(shù)列、圓錐曲線以及空間立體幾何等都不可能與初中直觀的知識(shí)同日而語(yǔ)。在高中數(shù)學(xué)每個(gè)知識(shí)點(diǎn)中基本上都會(huì)涉及數(shù)學(xué)理論與幾何圖形的結(jié)合，也只有這樣才能夠很好地讓學(xué)生掌握所學(xué)內(nèi)容。數(shù)形結(jié)合思想主要是為了學(xué)生能夠合理地將數(shù)學(xué)邏輯理論與學(xué)生所學(xué)的各種幾何圖形相結(jié)合，以有利于數(shù)學(xué)知識(shí)的過渡和銜接。

（二）簡(jiǎn)化解題步驟節(jié)約解題時(shí)間

數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)不僅僅可以幫助學(xué)生快速地理解和掌握高中數(shù)學(xué)各知識(shí)點(diǎn)的概念和含義，而且還可以利用圖形來解決一些函數(shù)求極值、方程求解、不等式求解以及立體幾何與空間幾何中的求值問題，使得這些問題的解決更加簡(jiǎn)單、直觀。

例如，已知（x+2）2+y2=2，求解如果此題采用常規(guī)的數(shù)學(xué)思路來解，一般先求x和y的值，需要用x來表示y，然后再求的最大和最小值。該方法顯然比較麻煩，對(duì)于高中生來說一般很難求出其解或者容易出現(xiàn)錯(cuò)誤。但是如果看出（x+2）2+y2=2是以（-2，0）為圓心，為半徑的圓，且將看成是直線y=kx的斜率，就很容易求出其解。如圖1，直接畫出該函數(shù)所表達(dá)的圓與y=kx所表達(dá)的直線，則可以看出直線與圓相切時(shí)取最大和最小值，分別為1和-1。可見，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合有利于簡(jiǎn)化解題步驟，節(jié)約解題時(shí)間。

（三）培養(yǎng)高中生數(shù)學(xué)興趣和數(shù)學(xué)思維能力

高中數(shù)學(xué)一直是許多高中生的“噩夢(mèng)”，主要原因在于高中數(shù)學(xué)的知識(shí)點(diǎn)多、邏輯關(guān)系復(fù)雜、定義理解及掌握困難，而且在物理學(xué)和化學(xué)中又被廣泛應(yīng)用。許多學(xué)生因此患上了數(shù)學(xué)恐懼癥，但是數(shù)形結(jié)合思想可以使得數(shù)學(xué)與生活實(shí)際結(jié)合起來，使得一些抽象的知識(shí)具體化，從而變得形象生動(dòng)，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)興趣。應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的方法與思想，也可以大大降低一些解題難度，使得數(shù)學(xué)解題看起來更輕松，降低了學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的恐懼，進(jìn)而使得學(xué)生逐漸喜歡上這門課程。數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)可以培養(yǎng)學(xué)生的形象思維、逆向思維以及發(fā)散性思維，對(duì)學(xué)生后期的各科學(xué)習(xí)有著重要的意義。

二、進(jìn)行數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)中常見的問題

（一）數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想培養(yǎng)不重視

不少高中生反映，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)枯燥乏味。這主要原因，歸結(jié)于數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)不重視。據(jù)2014年，陜西省漢中市教育局對(duì)所屬高中進(jìn)行的一場(chǎng)調(diào)研顯示，該市所屬的高中有近80%的學(xué)生反映數(shù)學(xué)老師在教學(xué)過程中未曾提到過數(shù)學(xué)思想這一概念，這些學(xué)生連基本的四大數(shù)學(xué)思想方法都不知道，而其余20%的學(xué)校雖然在教學(xué)過程中有提到利用圖形來解決一些問題的方法，但都是很簡(jiǎn)單地一筆帶過，未給學(xué)生做仔細(xì)的講解分析。教育工作者不重視學(xué)生數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，從某種程度上來說，是對(duì)教學(xué)工作的不負(fù)責(zé)，也是對(duì)學(xué)生的不負(fù)責(zé)。這樣做，不僅不利于學(xué)生知識(shí)的獲取，而且在某種程度上還會(huì)加劇學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生厭惡感。

（二）數(shù)學(xué)教學(xué)中理論知識(shí)與生活實(shí)際結(jié)合不緊密

數(shù)學(xué)本來就是源于生活，最后回歸到生活實(shí)際中去。但是，由于各種各樣的原因，追求高成績(jī)已經(jīng)成為高中教育普遍的一種現(xiàn)象，教育工作者只在乎學(xué)生的成績(jī)，而不注重學(xué)生思想、思維能力以及生活能力的培養(yǎng)。數(shù)學(xué)教學(xué)與實(shí)際生活相脫離，使得數(shù)學(xué)失去了其應(yīng)有的價(jià)值。也就是說，如果在數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)過程中失去了“形”，那么要想培養(yǎng)學(xué)生形成數(shù)形結(jié)合思想就是天方夜譚。與實(shí)際相脫離，會(huì)使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)重要性認(rèn)識(shí)不到位，降低學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，并且會(huì)導(dǎo)致學(xué)生思維更加局限，在某種程度上使得數(shù)學(xué)成為一種概念，而不能運(yùn)用到實(shí)際生活中。數(shù)形結(jié)合思想也就成為空談。

（三）數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視學(xué)生之間數(shù)學(xué)思維的差異性

數(shù)形結(jié)合思想的培養(yǎng)是一個(gè)長(zhǎng)期過程，該思想的培養(yǎng)要求學(xué)生，只有不斷挖掘自己的思維能力，不斷地進(jìn)行相應(yīng)的訓(xùn)練，才能逐漸地形成數(shù)形結(jié)合思想，并用之來解題，形成一種思維習(xí)慣。在學(xué)生剛進(jìn)入高中的時(shí)候，教育工作者就要做好此方面的準(zhǔn)備。雖然說對(duì)待學(xué)生要一視同仁，但是在入校時(shí)候每個(gè)學(xué)生的思維能力都不盡相同，有的學(xué)生接受能力較強(qiáng)，有的學(xué)生接受能力弱，需要一定的時(shí)間來適應(yīng)?？墒?，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中很少有老師會(huì)注意到這一點(diǎn)。教師只按照自己的安排進(jìn)行教學(xué)，忽視了學(xué)生是否已經(jīng)有了數(shù)形結(jié)合的思想。在教學(xué)中也不注意了解學(xué)生的情況，不知道能否合理地應(yīng)用數(shù)形結(jié)合思想來教學(xué)，于是就出現(xiàn)了高中生中常見的成績(jī)好的越來越好，成績(jī)差的無論怎么努力都鮮有提高，使得學(xué)生的數(shù)學(xué)思想教育得不到全面提升。

三、高中數(shù)學(xué)教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合思想的途徑

（一）在教學(xué)過程中高度重視，不斷滲透數(shù)形結(jié)合思想

作為數(shù)學(xué)教學(xué)工作者，在學(xué)生進(jìn)入高中的那一刻起，就要有意識(shí)地對(duì)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)。一方面，高中數(shù)學(xué)教學(xué)工作組要制定相關(guān)的教學(xué)制度，讓每個(gè)數(shù)學(xué)老師制訂各個(gè)年級(jí)教學(xué)過程中有關(guān)數(shù)形結(jié)合思想培養(yǎng)的教學(xué)計(jì)劃，并落實(shí)到實(shí)處。另外一方面，教師要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到初中所學(xué)的理論知識(shí)以及幾何知識(shí)都是為高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打基礎(chǔ)，要讓學(xué)生了解到理論知識(shí)與幾何知識(shí)能夠很好地結(jié)合，在二者的結(jié)合過程中所要用到的就是數(shù)形結(jié)合思想。在高中課程的各個(gè)章節(jié)中，基本上都能用數(shù)形結(jié)合思想來解決其中的問題。教師每教授一個(gè)新知識(shí)點(diǎn)時(shí)，要注意滲透該思想方法，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這種方法的簡(jiǎn)便性、實(shí)用性、準(zhǔn)確性，并能適用于解決哪類問題。如果教師在平時(shí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中能不斷地滲透數(shù)形結(jié)合思想，那么教師和學(xué)生就會(huì)越來越重視這種方法的培養(yǎng)與應(yīng)用。

（二）要求學(xué)生學(xué)會(huì)用數(shù)形結(jié)合方法解題

學(xué)生對(duì)數(shù)形結(jié)合思想方法還不熟悉的時(shí)候，在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題解答時(shí)會(huì)習(xí)慣地用定式思維解題，因此，教師給學(xué)生布置練習(xí)題時(shí)要指定一些題目用數(shù)形結(jié)合的方法來解，這樣可以逐漸地培養(yǎng)學(xué)生形成利用數(shù)形結(jié)合思想來解決問題的思維習(xí)慣。當(dāng)學(xué)生利用數(shù)形結(jié)合方法解題時(shí)，要讓學(xué)生將問題與實(shí)際生活結(jié)合起來。例如在進(jìn)行函數(shù)問題求解時(shí)，注意把它與幾何圖形結(jié)合起來，把函數(shù)與圖形相互融合，最終養(yǎng)成利用數(shù)形結(jié)合解題的習(xí)慣。

（三）重視學(xué)生思維的差異性，進(jìn)行“形”與“數(shù)”之間的轉(zhuǎn)化能力培養(yǎng)

在培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想的過程中，要重視學(xué)生思維的差異性。有的學(xué)生能夠很好地進(jìn)行“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化，但是對(duì)“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化卻把握不準(zhǔn)；有的卻反過來，能較好地進(jìn)行“形”到“數(shù)”的轉(zhuǎn)化，卻不能把握“數(shù)”到“形”的轉(zhuǎn)化；有的學(xué)生卻是二者之間的轉(zhuǎn)換都存在問題。教師在教學(xué)過程中要通過平時(shí)作業(yè)來發(fā)現(xiàn)學(xué)生中思維能力的差異性，根據(jù)學(xué)生的差異制訂相應(yīng)的教學(xué)計(jì)劃，以達(dá)到縮小學(xué)生之間思維差距的目的。

例如，集合A={2，4}，B={1，2，4，6}，問圖2的（a）（b）中哪個(gè)反映出A與B的關(guān)系。之后再給出圖3，讓學(xué)生進(jìn)行C、D、E等集合之間的關(guān)系判斷。這樣有層次性地訓(xùn)練，就能較好地照顧到不同層次學(xué)生之間的差異性，更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

進(jìn)行數(shù)形結(jié)合相互轉(zhuǎn)化的講解時(shí)，不僅要講，而且要練。只有這樣才能更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想。

（四）在數(shù)形結(jié)合教學(xué)過程中讓學(xué)生能夠充分掌握?qǐng)D形工具

數(shù)形結(jié)合思想方法應(yīng)用的基本的工具之一就是圖形。教師在教授過程中要注意對(duì)一些特定的數(shù)學(xué)符號(hào)、公式與圖形間的結(jié)合，例如將絕對(duì)值與數(shù)軸圖形結(jié)合、正余弦與單位元結(jié)合、二次函數(shù)求解待定系數(shù)與二次函數(shù)圖形結(jié)合、求解最小值時(shí)與兩點(diǎn)間直線最短結(jié)合等。

例如，m+n=3（a，b>0），求的最小值。此題可將和分別看作是以m和1為直角邊的三角形的斜邊與以n和3為直角邊的三角形斜邊之和。根據(jù)初中幾何知識(shí)由圖4可得當(dāng)B、C、D在同一直線上時(shí)有最小值5。

數(shù)學(xué)教學(xué)工作者要訓(xùn)練學(xué)生熟練使用各種圖形工具，通過二維圖形和三維立體圖形形象地表達(dá)出各知識(shí)點(diǎn)數(shù)形結(jié)合的動(dòng)態(tài)過程，有意識(shí)地培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)態(tài)思維以及空間想象思維。

能力的提高在于思想的培養(yǎng)。高中數(shù)學(xué)只有抓緊數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，才能從根本上提高數(shù)學(xué)的教學(xué)水平。在教學(xué)過程中，高中數(shù)學(xué)教師要不斷地給學(xué)生灌輸數(shù)形結(jié)合及其他數(shù)學(xué)思想方法，通過指定題目，使數(shù)形結(jié)合的教學(xué)得到落實(shí)。培養(yǎng)學(xué)生“形”與“數(shù)”之間的轉(zhuǎn)化能力，為學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

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（責(zé)編 盧建龍）