陳啟智

摘 要： 本文通過(guò)高中數(shù)學(xué)《函數(shù)應(yīng)用》的教學(xué)片段，探討了數(shù)學(xué)應(yīng)用和能力的培養(yǎng)策略，利用課堂教學(xué)活動(dòng)，使學(xué)生能夠了解數(shù)學(xué)是重要的，是有廣泛應(yīng)用的，讓學(xué)生利用學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)他們的實(shí)踐和創(chuàng)造能力。

關(guān)鍵詞： 高中數(shù)學(xué) 《函數(shù)應(yīng)用》 應(yīng)用意識(shí) 應(yīng)用能力

現(xiàn)代信息技術(shù)的飛速發(fā)展，極大地推進(jìn)了應(yīng)用數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)應(yīng)用的發(fā)展，使得數(shù)學(xué)幾乎滲透到了每一個(gè)科學(xué)領(lǐng)域及人們生活的方方面面。例如自然科學(xué)的深入發(fā)展越來(lái)越依賴(lài)于數(shù)學(xué)，而社會(huì)科學(xué)、人文科學(xué)也越來(lái)越多地借助數(shù)學(xué)知識(shí)及其思想方法。比如方程化學(xué)中化學(xué)方程式的計(jì)算應(yīng)用，地理學(xué)中的降水量、溫度問(wèn)題，在物理學(xué)中的運(yùn)動(dòng)問(wèn)題，數(shù)學(xué)知識(shí)不僅解決了這些學(xué)科中的一些問(wèn)題，而且有力地推動(dòng)了這些學(xué)科的發(fā)展。

現(xiàn)在數(shù)學(xué)的最大變化反映在它的應(yīng)用，而數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該把這種變化反映給學(xué)生，使學(xué)生能夠了解數(shù)學(xué)是重要的，是有廣泛應(yīng)用的，讓學(xué)生通過(guò)學(xué)到的知識(shí)解決實(shí)際問(wèn)題，從而增強(qiáng)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)他們的實(shí)踐和創(chuàng)造能力。下面就高中數(shù)學(xué)必修一《函數(shù)應(yīng)用》的教學(xué)片段談?wù)勗趯?shí)際教學(xué)中怎樣體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和培養(yǎng)數(shù)學(xué)應(yīng)用能力。

首先數(shù)學(xué)應(yīng)用包括兩個(gè)方面的應(yīng)用，一是函數(shù)里的應(yīng)用，就是用函數(shù)認(rèn)識(shí)其他數(shù)學(xué)，如方程、不等式、隨機(jī)現(xiàn)象等，函數(shù)是貫穿數(shù)學(xué)的一條主線；二是實(shí)際中的應(yīng)用，就是應(yīng)用學(xué)習(xí)過(guò)的數(shù)學(xué)知識(shí)解決一些簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。

片段一：用二分法求方程的近似解

（一）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)出課題。

教師問(wèn)學(xué)生是否還記得中央臺(tái)曾經(jīng)有個(gè)節(jié)目叫《購(gòu)物街》，然后組織學(xué)生做“猜價(jià)格”游戲。教師給出某件物品的價(jià)格區(qū)間，讓學(xué)生猜價(jià)格，然后教師告訴學(xué)生猜的價(jià)格高了還是低了，學(xué)生再根據(jù)老師的提示繼續(xù)猜。隨著猜的次數(shù)增加，結(jié)果就越逼近正確價(jià)格。今天這節(jié)課就要用類(lèi)似的方法求方程的近似解。然后板書(shū)課題“用二分法求方程的近似解”。這樣引入，不僅貼近生活，而且讓學(xué)生明白二分法來(lái)源于生活，來(lái)源于實(shí)際。符合新課改倡導(dǎo)的理念：數(shù)學(xué)在生活中是有用的。

（二）引導(dǎo)探究，獲得新知。

探討：函數(shù)在區(qū)間（2，3）內(nèi)有零點(diǎn)，那么如何將零點(diǎn)的范圍縮小呢？（書(shū)上例題）共同討論，相互補(bǔ)充，得出結(jié)論。（結(jié)論略）

此環(huán)節(jié)要解決的問(wèn)題是如何找出這個(gè)零點(diǎn)。具體對(duì)策是如果能夠?qū)⒘泓c(diǎn)所在的范圍盡量縮小，那么在一定精確度的要求下，我們便可以得到零點(diǎn)的近似值，這種逐步縮小零點(diǎn)范圍的具體方法就是二分法。我們可以遵循循序漸進(jìn)的原則，從生活中學(xué)生感興趣的問(wèn)題——猜價(jià)格入手，并借助大屏幕演示幾何圖形縮小零點(diǎn)范圍的具體過(guò)程，讓學(xué)生從直觀上感覺(jué)零點(diǎn)被無(wú)限逼近。這樣有助于學(xué)生從幾何直觀轉(zhuǎn)化為代數(shù)關(guān)系得出二分法的定義進(jìn)而再利用定義轉(zhuǎn)化為二分法的操作程序?？梢酝ㄟ^(guò)信息技術(shù)的應(yīng)用使學(xué)生親身經(jīng)歷動(dòng)手操作解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，并從中體驗(yàn)函數(shù)與方程的聯(lián)系，體會(huì)二分法無(wú)限逼近的思想并掌握用二分法求解方程近似解的方法和步驟，培養(yǎng)用函數(shù)思想解決問(wèn)題的意識(shí)。

片段二：函數(shù)模型的應(yīng)用實(shí)例

講解高一數(shù)學(xué)必修一104頁(yè)例題5以后，引入例題：某醫(yī)學(xué)專(zhuān)家提醒：人們?nèi)粘ｏ嬘盟畷r(shí)既不能喝生水，又不能喝過(guò)燙的水。生水含有大量寄生蟲(chóng)，過(guò)燙的水不僅會(huì)損傷牙釉質(zhì)，還會(huì)強(qiáng)烈刺激咽喉、消化道和胃的黏膜，長(zhǎng)期飲用熱水會(huì)導(dǎo)致各種器官起變化。因此推薦：飲用的最佳水溫為18℃～45℃。

問(wèn)題提出：在室溫下，一杯燒開(kāi)的水從初始溫度開(kāi)始，大約經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間可以冷卻到45℃？

采取數(shù)據(jù)：在化學(xué)實(shí)驗(yàn)室，室溫為29.2℃的條件下，利用溫度傳感器采集了1～12分鐘范圍內(nèi)的水溫?cái)?shù)據(jù)，具體過(guò)程見(jiàn)視頻。1～12分鐘之間每隔1分鐘采集一次水的溫度（單位℃），數(shù)據(jù)分別如下：

時(shí)間min 1 2 3 4 5 6？搖？搖 溫度℃ 90.6 89.0 87.3 85.8 84.5 83.2

時(shí)間min 7 8 9 10 11 12？搖？搖 溫度℃ 81.9 80.7 79.6 78.5 77.5 76.5

請(qǐng)根據(jù)以上數(shù)據(jù)預(yù)測(cè)，經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)時(shí)間水溫可以冷卻到45℃？

教學(xué)步驟1：收集數(shù)據(jù)

仔細(xì)觀察這組數(shù)據(jù)，在觀察過(guò)程中你能發(fā)現(xiàn)什么？你又能想到什么？是函數(shù)關(guān)系嗎？為什么？誰(shuí)是誰(shuí)的函數(shù)？每一個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)幾個(gè)溫度？這種關(guān)系，我們?cè)撛趺捶Q(chēng)呼呢？我們能否用確定的函數(shù)模型刻畫(huà)它們的關(guān)系？（為了研究規(guī)律，我們能否用學(xué)過(guò)的函數(shù)模型近似地刻畫(huà)它們之間的關(guān)系呢？這在數(shù)學(xué)上稱(chēng)為函數(shù)的擬合。）

教學(xué)步驟2：畫(huà)散點(diǎn)圖

師生共同利用圖形計(jì)算器畫(huà)出散點(diǎn)圖。觀察散點(diǎn)分布特點(diǎn)，與學(xué)過(guò)的常見(jiàn)函數(shù)圖像對(duì)比，說(shuō)明應(yīng)該選擇怎樣的函數(shù)模型？

教學(xué)步驟3：分別求解可能的函數(shù)模型

師生合作挨個(gè)求解模型并驗(yàn)證。

（1）先從直線開(kāi)始嘗試，思考：如何求出直線方程？

（2）為了減少誤差，我們想選擇一條離點(diǎn)最近的直線，又該如何解決？教師帶著學(xué)生一起用圖形計(jì)算器的擬合功能，求出直線方程。

（3）以4人為一組，組內(nèi)自由分工合作，分別選擇二次型和指數(shù)型擬合。

教學(xué)步驟4：比較各模型擬合的優(yōu)劣，初步確定函數(shù)模型。

每組4位同學(xué)把圖形計(jì)算器擬合出的指數(shù)型和二次型函數(shù)圖形放一起，并與黑板上的直線型比較，看看哪種擬合的效果更好？

結(jié)果：經(jīng)過(guò)比較初步確定選用二次函數(shù)模型y=ax2+bx+c來(lái)擬合，其中a=0.0343906，b=-1.7194555，c=92.2386363

利用圖形計(jì)算器的解方程功能，求y=45時(shí)對(duì)應(yīng)的x值，結(jié)果發(fā)現(xiàn)方程無(wú)實(shí)數(shù)根。

師生共同討論，發(fā)現(xiàn)二次函數(shù)最小值遠(yuǎn)比45大，故不可能有實(shí)數(shù)解。不得不重新選擇，絕大多數(shù)比較后選擇y=aebx進(jìn)行擬合。

提問(wèn)：是否都同意這個(gè)看法？激發(fā)學(xué)生思考。

預(yù)設(shè)1：學(xué)生發(fā)現(xiàn)問(wèn)題，并提出方案。讓其說(shuō)明理由并上臺(tái)演示。

預(yù)設(shè)2：學(xué)生沒(méi)有發(fā)現(xiàn)。教師可通過(guò)問(wèn)題串啟發(fā)：水溫可以降到室溫以下嗎？漸近線可以是x軸嗎？應(yīng)該是什么？應(yīng)該如何改進(jìn)？讓學(xué)生自己提出：y=aebx+c這個(gè)模型。再讓學(xué)生操作。求出了a=62.4374282，b=-0.0，236356，c=29.2。

此環(huán)節(jié)學(xué)生通過(guò)參與這個(gè)過(guò)程，真正體會(huì)到數(shù)學(xué)在實(shí)際生活中的應(yīng)用，要給他一個(gè)思考的空間跟你一起交流互動(dòng)，用哪個(gè)比較好，什么才叫好，我們都給出了一些解釋?zhuān)瑸閷W(xué)生將來(lái)碰到類(lèi)似的問(wèn)題增加一些經(jīng)驗(yàn)。

總之，學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)和能力的培養(yǎng)是高中數(shù)學(xué)教育中的重要課題，這種意識(shí)和能力的培養(yǎng)并非一朝一夕之事，更不是靠講幾節(jié)數(shù)學(xué)函數(shù)應(yīng)用就能解決的。教師要在適當(dāng)?shù)臅r(shí)機(jī)有意識(shí)地通過(guò)各種途徑增強(qiáng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，達(dá)到學(xué)以致用的目的，從而使新課程下的高中數(shù)學(xué)教育目標(biāo)得以實(shí)現(xiàn)。