王永超, 張勝修, 曹立佳, 扈曉翔

(火箭軍工程大學(xué)自動(dòng)控制工程系, 陜西 西安 710025)

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控制方向未知的輸入受限非線性系統(tǒng)自適應(yīng)模糊反步控制

王永超, 張勝修, 曹立佳, 扈曉翔

(火箭軍工程大學(xué)自動(dòng)控制工程系, 陜西 西安 710025)

針對(duì)一類輸入受限控制方向未知的非線性系統(tǒng),提出一種基于Lipschitz條件的自適應(yīng)模糊反步控制器的設(shè)計(jì)方法。在控制器的設(shè)計(jì)過程當(dāng)中,通過變換系統(tǒng)形式和采用Butterworth低通濾波器解決控制方向未知的問題;采用模糊系統(tǒng)對(duì)不確定非線性函數(shù)進(jìn)行在線逼近;利用雙曲正切函數(shù)和Nussbaum函數(shù)對(duì)系統(tǒng)輸入飽和函數(shù)進(jìn)行處理;將動(dòng)態(tài)面法與反步法相結(jié)合解決“計(jì)算膨脹”的問題。運(yùn)用Lyapunov理論分析證明設(shè)計(jì)的控制律能夠使閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局一致有界(semi-globallyuniformlyultimatelybounded,SGUUB)。該方法的有效性在一類通用的高超聲速飛行器的攻角控制仿真中得到了驗(yàn)證。

輸入受限;非線性系統(tǒng);自適應(yīng)模糊;反步法;高超聲速飛行器

0　引　言

輸入受限問題普遍存在于控制系統(tǒng)工作過程中。近年來,引起了廣大學(xué)者的普遍關(guān)注?；谛〔ňW(wǎng)絡(luò),文獻(xiàn)[1]設(shè)計(jì)出了一種抗飽和自適應(yīng)控制器。文獻(xiàn)[2]針對(duì)線性自抗擾控制(linearactivedisturbancerejectioncontrol,LADRC)執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和約束問題,提出了兩種抗飽和補(bǔ)償方案。文獻(xiàn)[3]提出了一種針對(duì)控制受限問題的時(shí)變滑?？刂品桨浮Ｎ墨I(xiàn)[4]提出了一種利用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)在線逼近補(bǔ)償執(zhí)行機(jī)構(gòu)的飽和非線性智能自適應(yīng)滑?？刂品椒āＮ墨I(xiàn)[5-6]利用雙曲正切函數(shù)解決輸入飽和受限問題,引入Nussbaum增益函數(shù)應(yīng)對(duì)未知項(xiàng),基于反步法設(shè)計(jì)出了魯棒控制器。文獻(xiàn)[7-8]利用線性矩陣不等式(linearmatrixinequation,LMI)設(shè)計(jì)出了對(duì)飽和進(jìn)行實(shí)時(shí)補(bǔ)償?shù)目刂破?。文獻(xiàn)[9-10]將系統(tǒng)輸入幅值受限問題轉(zhuǎn)化為預(yù)測(cè)控制框架中待求解目標(biāo)函數(shù)的約束條件。

1991年,由Kokotovic等人首次提出反步法[11]。反步法實(shí)際上是一種由前向后遞推的方法,所以又稱逐步后推法,在解決具有純反饋形式的非線性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)問題上,具有明顯的優(yōu)勢(shì)。但是傳統(tǒng)的反步法,虛擬控制器需要反復(fù)求導(dǎo),計(jì)算量隨著階數(shù)的增加呈指數(shù)增長,這使得控制器難以工程化實(shí)現(xiàn)。為了有效應(yīng)對(duì)這種被Bellman稱為“微分爆炸”的難題,文獻(xiàn)[12]引入了一階濾波器,首先提出了稱之為動(dòng)態(tài)面控制(dynamicalsurfacecontrol,DSC)的方法,避免了虛擬控制量的反復(fù)求導(dǎo)。伴隨著模糊理論的發(fā)展,自適應(yīng)模糊反步法已經(jīng)廣泛應(yīng)用于非線性系統(tǒng)控制器的設(shè)計(jì)[12-13]。這一類的控制算法具備以下所列出的顯著優(yōu)勢(shì):①無需被控系統(tǒng)滿足匹配條件;②無需被控系統(tǒng)的未知非線性函數(shù)能夠參數(shù)線性化。故自適應(yīng)模糊反步法在針對(duì)非線性不確定系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)上應(yīng)用非常普遍。

近年來針對(duì)不滿足匹配條件的非線性系統(tǒng)輸入受限問題,許多學(xué)者將反步法與模糊逼近相結(jié)合進(jìn)行了比較深入的研究[5,14-15]。但這些研究成果在處理控制方向問題上,一般采用假設(shè)已知控制方向的做法?？刂品较蛭粗姆蔷€性系統(tǒng)控制器設(shè)計(jì)有待進(jìn)一步解決。

本文針對(duì)一類輸入受限的單輸入單輸出(singleinputsingleoutput,SISO)系統(tǒng),提出一種基于Lipschitz條件的自適應(yīng)模糊反步控制方法。在設(shè)計(jì)虛擬控制律的過程中,通過變換系統(tǒng)形式和采用Butterworth低通濾波器解決控制增益方向未知的問題,運(yùn)用帶有中心平均解模糊器的模糊系統(tǒng)在線逼近系統(tǒng)中包含不確定參數(shù)的函數(shù)。將雙曲正切函數(shù)和Nussbaum函數(shù)有機(jī)結(jié)合,應(yīng)對(duì)輸入飽和和補(bǔ)償所引起的未知項(xiàng)。系統(tǒng)的閉環(huán)系統(tǒng)穩(wěn)定性能通過Lyapunov經(jīng)典穩(wěn)定理論進(jìn)行詳細(xì)地分析證明。

1　問題描述及模糊邏輯系統(tǒng)建立

1.1問題描述

考慮如式(1)所示的一類SISO非線性系統(tǒng):

(1)

式中,xi(t)=[x1(t),…,xi(t)]T∈Ri是狀態(tài)向量;y∈R是輸出量;fi(·)和gi(·)均為未知的光滑非線性函數(shù);v(t)為系統(tǒng)控制器輸入量;d(t)為系統(tǒng)受到的外界干擾;u(v(t))為具有飽和約束性質(zhì)的輸出控制量,其表達(dá)式為

(2)

式中,uM是系統(tǒng)式(1)中控制器的輸出上界值。

定義雙曲正切函數(shù)h(v(t))(v(t)記為v,其他變量和狀態(tài)作類似處理)為

(3)

則飽和函數(shù)可以表示為

(4)

式中,w(v)=sat(v)-h(v)為有界函數(shù),其界限值表示為

(5)

文中的目的是通過設(shè)計(jì)魯棒控制器使得式(1)中的輸出y能夠穩(wěn)定跟蹤參考指令yr。

根據(jù)控制器設(shè)計(jì)和穩(wěn)定性證明過程中的實(shí)際需求,作出如下合理的假設(shè)、定義和引理。

假設(shè) 1參考信號(hào)yr及其n階導(dǎo)數(shù)已知且有界。

定義 1如果連續(xù)函數(shù)N(s)滿足如下性質(zhì):

則稱N(s)為Nussbaum函數(shù)。

引理 1[15]V(·)和χ(·)均為定義在區(qū)間[0,tf)上的光滑函數(shù),且?t∈[0,tf),V(t)≥0,N(χ)為Nussbaum增益函數(shù)。如果如式(6)所示不等式成立,則函數(shù)V(·)和χ(·)在[0,tf)必有界。

(6)

式中,C,M,γχ>0均為常數(shù);ζ為一正變量。

1.2模糊邏輯系統(tǒng)建立

模糊器、知識(shí)庫、模糊推理機(jī)和解模糊器構(gòu)成模糊邏輯函數(shù)這個(gè)有機(jī)整體。依賴于經(jīng)驗(yàn)知識(shí)建立的知識(shí)庫是模糊系統(tǒng)的核心。知識(shí)庫包含如下所示的IF-THEN模糊規(guī)則:

假設(shè) 2[16]文中建立的一系列IF-THEN模糊規(guī)則中,模糊集Bl為標(biāo)準(zhǔn)模糊集。

根據(jù)假設(shè)2,建立的模糊基函數(shù)表示為

(7)

(8)

引理 2[17]如果F(x)(x∈Rn)是緊集Ω上的一個(gè)連續(xù)函數(shù)。?ε>0,必將存在FLS使得

(9)

定義最優(yōu)估計(jì)參數(shù)集

(10)

假設(shè) 3存在未知有界常數(shù)ε*>0,使得模糊逼近誤差ε(x)=F(x)-θTξ(x),滿足|ε(x)|≤ε*。

2　控制器設(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

根據(jù)式(3),系統(tǒng)等效為

(11)

(12)

式中,HL(s)為Butterworth低通濾波器(lowpassfilter,LPF)。

(13)

式中,‖·‖表示向量的2-norm范數(shù)。

假設(shè) 5[18-20]執(zhí)行器具有低通特性,即使得xi,f=HL(s)·xi≈xi。故存在一常數(shù)βi,0使得不等式|xi-xi,f|≤βi,0成立。

需要說明的是,假設(shè)5中xi,f≈xi,uf≈h(v)是合理的,因?yàn)榇蠖鄶?shù)控制系統(tǒng)的執(zhí)行器具有低通特性[18-20]。

下面將結(jié)合反步法和DSC開展受限控制器的設(shè)計(jì)工作。

步驟 1定義

z1=x1-yr

則z1關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(14)

(15)

式中,τ1為一階濾波器的時(shí)間常數(shù)。

定義

(16)

(17)

根據(jù)式(17),κ1關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(18)

根據(jù)式(14)～式(16),z1關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(19)

選擇Lyapunov函數(shù)為

(20)

(21)

將式(19)代入式(21),得

(22)

引理 3對(duì)于?D>0,|x|-xtanh(x/D)≤0.278 5D=D′成立。

(23)

(24)

(25)

式中,c1>0為常數(shù)。

采用投影法[16],引入?yún)?shù)的自適應(yīng)律為

(26)

式中,M1為設(shè)定的最大值。根據(jù)文獻(xiàn)[16]可知,估計(jì)參數(shù)θ1滿足‖θ1‖≤M1,并且使得

(27)

則根據(jù)式(23)～式(27),式(22)可變換為

(28)

根據(jù)Young’s不等式,假設(shè)4和假設(shè)5可得

(29)

(30)

(31)

則式(28)可變換為

(32)

步驟 i(2≤i≤n-1)定義

(33)

(34)

(35)

(36)

zi關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(37)

同時(shí)對(duì)式(35)求導(dǎo),得

(38)

選擇Lyapunov函數(shù)Vi為

(39)

式中,ri1,ri2>0。則Vi關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(40)

根據(jù)引理3,式(40)可變換為

(41)

選取參數(shù)自適應(yīng)律：

(42)

(43)

(44)

式中,ci>0為常數(shù)。

并根據(jù)上述參數(shù)自適應(yīng)律和Young’s不等式以及假設(shè)4和假設(shè)5,式(41)可變換為

(45)

步驟 n定義

(46)

(47)

(48)

(49)

式(46)和式(48)關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)分別為

(50)

(51)

選擇Lyapunov函數(shù)Vn為

(52)

式中,rn1,rn2>0。則Vn關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(53)

根據(jù)引理3,式(53)可變換為

(54)

選擇參數(shù)自適應(yīng)律:

(55)

(56)

(57)

式中,cn>0為常數(shù)。

并根據(jù)上述參數(shù)自適應(yīng)律和Young’s不等式以及假設(shè)4和假設(shè)5,式(54)可變換為

(58)

步驟 n+1定義

(59)

(60)

(61)

(62)

(63)

選擇Lyapunov函數(shù)

(64)

則Vn+1關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(65)

為了保證閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)的有界性,選取Lyapunov函數(shù)Vsum

(66)

根據(jù)式(32),式(45),式(58)和式(66),函數(shù)Vsum關(guān)于時(shí)間t的導(dǎo)數(shù)為

(67)

式中

對(duì)式(68)積分,得

(68)

依據(jù)引理1和式(69)可以得到Vsum和χ有界的結(jié)論,且跟蹤誤差滿足不等式:

(69)

(70)

從式(72)中不難得到閉環(huán)系統(tǒng)的跟蹤誤差終值有界。

根據(jù)以上Lyapunov穩(wěn)定性理論的推倒證明,得到定理1。

定理 1對(duì)于控制方向未知的非線性系統(tǒng)式(1),依據(jù)反步法和模糊系統(tǒng)理論,設(shè)計(jì)出如式(59)所示的控制器和如式(24)～式(26)、式(42)～式(44)和式(55)～式(57)所示的自適應(yīng)律。則形成的閉環(huán)系統(tǒng)所有信號(hào)半全局最終一致有界(semi-globallyuniformlyultimatelybounded,SGUUB)。

3　仿真分析

本文以一種吸氣式高超聲速飛行器在速度V=4 590.3m/s,高度h=33 528m的飛行條件下攻角的跟蹤控制為對(duì)象,對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行仿真研究。

首先建立縱向特性方程[6,20]:

(71)

式中，α,q分別表示氣動(dòng)攻角和俯仰姿態(tài)角;m,V依次為高超聲速飛行器的質(zhì)量和沿機(jī)體軸向速度;L,T,Myy依次為施加在機(jī)體上的升力,推力和縱向俯仰力矩。式中所涉及的氣動(dòng)力與氣動(dòng)力矩計(jì)算表達(dá)式為

(72)

式(73)中氣動(dòng)參數(shù)的具體表達(dá)形式及參數(shù)的不確定度詳見文獻(xiàn)[21]。

由于舵面的偏轉(zhuǎn)受到幅值限制,同時(shí)機(jī)體還會(huì)受到外界干擾的影響,故可將式(72)轉(zhuǎn)換為

(73)

控制器參數(shù)分別為c1=13,c2=18,c3=7,c=6,γχ=0.008,τ1=0.015,τ2=0.045,χ(0)=0.4。

仿真中給定的攻角參考指令信號(hào)為yr=-22.5°cost+22°,設(shè)定飛行器舵偏角的偏轉(zhuǎn)范圍為±30°[6],取俯仰軸上受到的諧波干擾力矩大小為3×106sin(2t)。

圖1中虛線表示為給定的攻角參考指令信號(hào)曲線,實(shí)線表示的為系統(tǒng)實(shí)際的跟蹤響應(yīng)曲線。從圖中可以看出，在所設(shè)計(jì)的控制器的作用下,系統(tǒng)能夠?qū)o定的指令信號(hào)實(shí)現(xiàn)很好的跟蹤,且跟蹤誤差一直保持在0的一個(gè)很小的鄰域內(nèi)。圖2中舵偏角的輸入信號(hào)用虛線表示,實(shí)線表示控制器舵偏角信號(hào)。圖中顯示不論舵輸入信號(hào)發(fā)生多大的角度變化,舵偏角一直處于幅值范圍內(nèi),并且能夠?qū)崿F(xiàn)對(duì)指令信號(hào)的跟蹤。充分驗(yàn)證了本文設(shè)計(jì)方法在系統(tǒng)存在參數(shù)不確定和較大外界干擾時(shí)具有很強(qiáng)的魯棒性能。

圖1　輸出響應(yīng)曲線Fig.1　Curves of output response

圖2　系統(tǒng)控制信號(hào)Fig.2　Curves of control signals

4　結(jié)　論

文中針對(duì)一類不確定非線性系統(tǒng)設(shè)計(jì)了一種約束反步控制方法。首先通過變換系統(tǒng)形式和采用Butterworth低通濾波器解決了受控系統(tǒng)控制增益方向未知的問題,將反步法與DSC相結(jié)合,不但非常有效地解決了“微分爆炸”的難題,而且使得中間控制變量變得更加簡潔,利于工程化的實(shí)現(xiàn)。引入雙曲正切函數(shù)和Nussbaum增益函數(shù)有效地應(yīng)對(duì)了普遍存在于非線性系統(tǒng)中的幅值約束問題。通過選取Lyapunov函數(shù)分析證明了系統(tǒng)中的所有信號(hào)是SGUUB。最后,依據(jù)本文提出的控制算法在高超聲速飛行器的攻角跟蹤控制回路上進(jìn)行仿真驗(yàn)證,最終的結(jié)果驗(yàn)證了本文方法的有效性。

[1] Sonneveldt L, Chu Q P, Mulder J A. Nonlinear flight control design using constrained adaptive backstepping[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics,2007, 30(2):322-336.

[2] Zhou H, Tan W. Anti-windup schemes for linear active disturbance rejection control[J].ControlTheory&Applications, 2014, 31(11): 1457-1463. (周宏, 譚文. 線性自抗擾控制的抗飽和補(bǔ)償措施[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2014, 31(11): 1457-1463.)

[3] Jin Y Q, Liu X D, Qiu W, et al. Time-varying sliding mode control for a class of uncertain MIMO nonlinear system subject to control input constraint[J].ScienceChina(InformationSciences), 2010, 53(1): 89-100.

[4] Hu Q L, Zhang A H, Jiang C P, et al. Attitude control of satellite in process of orbit transfer with constraint input[J].JournalofHarbinInstitudeofTechnology, 2013, 45(5): 1-6.(胡慶雷, 張愛華, 姜成平, 等. 控制受限的衛(wèi)星軌道轉(zhuǎn)移過程中的姿態(tài)控制[J]. 哈爾濱工業(yè)大學(xué)學(xué)報(bào), 2013, 45(5): 1-6.)

[5] Li Y M, Tong S C, Li T S. Direct adaptive fuzzy backstepping control of uncertain nonlinear systems in the presence of input saturation[J].NeuralComputation&Applications, 2013, 23(5): 1207-1216.

[6] Zhou Y L, Chen M. Robust control of nonlinear systems with input constraint based on disturbance observer[J].JournalofNanjingUniversityofScienceandTechnology, 2014, 38(1): 40-47.(周硯龍, 陳謀. 基于干擾觀測(cè)器的輸入受限非線性系統(tǒng)魯棒控制[J]. 南京理工大學(xué)學(xué)報(bào), 2014, 38(1): 40-47.)

[7] Liu J K, Wang M Z. Anti-windup control based on LMI and vibration suppression for the flexible spacecraft[J].ElectricMachinesandControl, 2014, 18(3):79-84.(劉金錕, 王明釗. 撓性航天器LMI抗飽和控制及模態(tài)振動(dòng)抑制[J]. 電機(jī)與控制學(xué)報(bào), 2014, 18(3):79-84.)

[8] Huang X L, Ge D M. Robust gain-scheduling control of hypersonic vehicle subject to input constraints[J].SystemsEngineeringandElectronics,2011,33(8):1829-1836.(黃顯林,葛東明.輸入受限高超聲速飛行器魯棒變?cè)鲆婵刂芠J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù),2011, 33(8): 1829-1836.)

[9] Kurtz M J, Henson M A. Input-output linerizing control of constrained nonlinear processes[J].JournalofProcessControl, 1997, 7(1): 3-17.

[10] Kong X B, Liu X J. Continuous-time nonlinear model predictive control with input/output linearization[J].ControlTheory&Applications, 2012, 29(2): 217-224.(孔小兵, 劉向杰. 基于輸入輸出線性化的連續(xù)系統(tǒng)非線性模型預(yù)測(cè)控制[J]. 控制理論與應(yīng)用, 2012, 29(2):217-224.)

[11] Kanellakopoulos I, Kokotovic P V, Morse A S. Systematic design of adaptive controller for feedback linearizable systems[J].IEEETrans.onAutomaticControl,1991,36(11):1241-1253.

[12] Swaroop D, Hedrick J K, Yip P P, et al. Dynamic surface control for a class of nonlinear systems[J].IEEETrans.onAutomaticControl, 2000, 45(10): 1893-1899.

[13] Chen B, Tong S C, Liu X P. Fuzzy approximate disturbance decoupling of MIMO nonlinear systems by backstepping approach[J].FuzzySetsandSystems, 2007, 158(10): 1097-1125.

[14] Zhang T P, Wen H, Zhu Q. Adaptive fuzzy control of nonlinear systems in pure feedback form based on input-to-state stability[J].IEEETrans.onFuzzySystems, 2010, 18(1):80-93.

[15] Wen C Y, Zhou J, Liu Z T. Robust adaptive of uncertain nonlinear systems in the presence of input saturation and external disturbance[J].IEEETrans.onAutomaticControl, 2011, 56(7): 1672-1678.

[16] Wang L X. Stable adaptive fuzzy control of nonlinear systems[J].IEEETrans.onFuzzySystems, 1993, 1(2):146-155.

[17] Wang L X.Adaptivefuzzysystemsandcontrol——designandstabilityanalysis[M]. Beijing: National Defence Industry Press, 1995.(王立新. 自適應(yīng)模糊系統(tǒng)與控制——設(shè)計(jì)與穩(wěn)定性分析[M]. 北京:國防工業(yè)出版社, 1995.)

[18] Zou A M, Hou Z G. Adaptive control of a class of nonlinear pure-feedback systems using fuzzy backstepping approach[J].IEEETrans.onFuzzySystems, 2008, 16(4): 886-897.

[19] Kim E, Sungryul L. Output feedback tracking control of MIMO systems using a fuzzy disturbance observer and its application to the speed control of a PM synchronous motor[J].IEEETrans.onFuzzySystems, 2005, 13(6): 725-741.

[20] Tong S C, Li Y M. Observer-based adaptive fuzzy backstepping control of uncertain nonlinear pure-feedback systems[J].ScienceChina(InformationSciences), 2014, 57(1): 1-14.

[21] Xu H J, Mirmirani M D, Ioannou P A. Adaptive sliding mode control design for a hypersonic flight vehicle[J].JournalofGuidance,Control,andDynamics, 2004, 27(5): 829-838.

Adaptivefuzzybacksteppingcontrolfornonlinearsystemwithunknowncontroldirectionandinputsaturation

WANGYong-chao,ZHANGSheng-xiu,CAOLi-jia,HUXiao-xiang

(Department of Automatic Control Engineering,Rocket Force Engineering University, Xi’an 710025, China)

AnadaptivefuzzybacksteppingcontrollerdesignmethodbasedonLipschitzconditionisdeve-lopedtodealwiththenonlinearsystemwithinputsaturationandunknowncontroldirection.Alongthecontrollerdesignprocess,thetransformedstyleandButterworthlowpassfilterareusedtosolvetheproblemoftheunknowncontroldirection.Byusingthefuzzylogicsystemtoidentifytheuncertainnonlinearfunctionsonline.ThehyperbolictangentfunctionandNussbaumareusedtohandletheinputsaturation.Thebacksteppingapproachiscombinedwiththedynamicsurfacecontroltechniquetosolvetheproblemof“explosionofcomplexity”.ItisshownwithLyapunovstabilitytheoremthattheproposedcontrolmethodcanguaranteethatallthesignalsoftheresultingclosed-loopsystemaresemi-globallyuniformlyultimatelybounded(SGUUB)inprobability.Finally,themethodisappliedforthecontroldesignoftheattackangleofthehypersonicvehicle.Simulationresultsshowtheeffectivenessofthepresentedmethod.

inputsaturation;nonlinearsystem;adaptivefuzzy;backsteppingapproach;hypersonicvehicle

2015-02-06；

2015-08-24；網(wǎng)絡(luò)優(yōu)先出版日期：2016-01-14。

國家自然科學(xué)基金(61304001,61304239)資助課題

TP273.2

ADOI:10.3969/j.issn.1001-506X.2016.09.26

王永超(1991-),男,博士研究生,主要研究方向?yàn)橹悄荇敯艨刂啤?/p>

E-mail:wyc031566@163.com

張勝修(1963-),男,教授,博士研究生導(dǎo)師,博士，主要研究方向?yàn)榻M合導(dǎo)航與飛行器制導(dǎo)控制。

E-mail:zsx1963@aliyun.com.cn

曹立佳(1982-),男,講師,博士,主要研究方向?yàn)轱w行器控制、仿真與決策。

E-mail:caolijia82@gmail.com

扈曉翔(1982-),男,講師,博士,主要研究方向?yàn)榉蔷€性系統(tǒng)魯棒控制。

E-mail:hxx820605@163.com

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