廣東省惠州市第一中學(xué)　(516007 )

方志平

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例析由遞推數(shù)列求通項(xiàng)的幾種巧妙方法

廣東省惠州市第一中學(xué)(516007 )

方志平

由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式是解決數(shù)列難題的瓶頸，也是自主招生考試及高中各類數(shù)學(xué)競賽的熱點(diǎn)之一，該內(nèi)容具有良好的選拔功能.由于遞推數(shù)列形式多變、復(fù)雜，解法靈活，技巧性高，從而導(dǎo)致這一內(nèi)容成為學(xué)生學(xué)習(xí)的一個難點(diǎn).本文總結(jié)出由遞推數(shù)列求通項(xiàng)公式的幾種巧妙方法，希望能夠幫助廣大高中生突破這一難點(diǎn).

1.巧用待定系數(shù)法

例1a1=1,an=5an-1+(3n-7)·2n-1+4n-9(n≥2)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng).

解：由a1=1,an=5an-1+(3n-7)·2n-1+4n-9(n≥2)，令an+(An+B)2n+Cn+D=5{an-1+[A(n-1)+B]2n-1+C(n-1)+D},an=5an-1+(3An+3B-5A)×2n-1+4Cn+4D-5C，由待定系數(shù)法得:

例2已知an+1=5an-6an-1+2n+1(n≥2),且a1=1,a2=-2.求數(shù)列{an}的通項(xiàng).

點(diǎn)評：用待定系數(shù)法求解遞推數(shù)列的通項(xiàng)公式，關(guān)鍵是觀察遞推關(guān)系式的特征，將遞推關(guān)系式合理變形、組合轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列，如上述兩例都轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列.

2.利用公式變形法

點(diǎn)評：這種方法類似于換元法,其實(shí)質(zhì)是將遞推關(guān)系式整體變形，構(gòu)造一個新數(shù)列.

3.妙用引入?yún)?shù)法

點(diǎn)評：這里引入?yún)?shù)法解題，源于“利用特征方程法求解遞推數(shù)列通項(xiàng)”的思想.其解法新穎、獨(dú)特，可激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，培養(yǎng)他們的創(chuàng)新能力！

4.使用代入消元法

例8若數(shù)列{an}及{bn}滿足

點(diǎn)評：消元法就是利用方程的思想，將二元線性遞推式中消去一個元，將二元線性遞推數(shù)列化為一階或二階線性遞推數(shù)列.本題也可仿例5“引入?yún)?shù)法”求解，讀者可嘗試.

綜上幾種方法是把一些較難處理的由遞推數(shù)列求通項(xiàng)問題，巧妙轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的特殊數(shù)列問題，從而使問題迎刃而解.另外，使用上述這些巧妙方法能降低思維強(qiáng)度，簡化推理和運(yùn)算過程，避免了復(fù)雜的運(yùn)算，提高了解題效率.