南昌三中

張金生

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構(gòu)造“好”函數(shù)，巧證不等式
——對2016年全國1卷(乙卷)理科數(shù)學第21題反思

南昌三中

張金生

函數(shù)、導數(shù)與不等式是中學數(shù)學中最重要的內(nèi)容，近年來函數(shù)導數(shù)不等式題型常作為高考壓軸題，對考生來說如何根據(jù)所要證的不等式構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，借助單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，以期達到證明不等式的目的是一個難點.本文以今年全國 1 卷 (乙卷) 理科數(shù)學第21題和幾道模擬試題為例,說明如何構(gòu)造一個好函數(shù),求導研究函數(shù)的性質(zhì)，利用函數(shù)的單調(diào)性和極值等性質(zhì)去解決問題，希望能拋磚引玉.

一、極值點偏移的問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造“好”函數(shù)

例1(2016 年全國 1 卷 (乙卷) 理科數(shù)學第21題)已知函數(shù)f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.(1)求a的取值范圍；(2)設(shè)x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2<2

分析：該題第 (1) 小題是典型的零點個數(shù)問題，可用分離變量法，建立一個新函數(shù)，求導研究函數(shù)圖象和性質(zhì)，考查了函數(shù)與方程、分類討論與數(shù)形結(jié)合思想；第 (2) 小題是典型的極值點偏移的問題，根據(jù)對稱化構(gòu)造一個函數(shù)即可.

(2)由(1)，不妨設(shè)x1<1

該題并不陌生，目前全國各地的模擬題中頻繁出現(xiàn)極值點偏移的試題，比如下面例題2：

例2(南昌市2015-2016重點中學高三月考21題)

所以2016 年全國 1 卷 (乙卷) 理科數(shù)學第21題對學習能力強知識面廣的考生較有利．

構(gòu)造函數(shù)在解決不等式等問題中之所以顯示出這么大的作用,根源在于函數(shù)思想的巨大威力,正如大數(shù)學家笛卡兒所說:一切問題都可以轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題,一切數(shù)學問題又可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題.而構(gòu)造函數(shù)正是將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題的首要一步,如何學會構(gòu)造恰當?shù)暮瘮?shù),應用函數(shù)的性質(zhì)去解決問題請繼續(xù)看以下例題.

二、引入新變量，構(gòu)造“好”函數(shù)

∴以Q為坐標原點，分別以QA，QB，QP為x,y,z軸建立如圖所示空間直角坐標系o-xyz.

解：(Ⅰ)切線方程y=2x-1．

二、巧設(shè)主元，構(gòu)造“好”函數(shù)

例4已知函數(shù)f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx.(1)求函數(shù)f(x)的最大值；

通過以上典例的分析，可以看出構(gòu)造一個“好”函數(shù)不但是一種解題的好方法，也是掌握函數(shù)與方程思想的一條好途徑.將證明或求解的不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的問題，然后利用求導去研究函數(shù)性質(zhì)證明不等式，關(guān)鍵在于轉(zhuǎn)化為什么樣的函數(shù).這就要求從被證(解)的不等式的形狀，特點入手，發(fā)生聯(lián)想.本著“縱向深入，橫向聯(lián)系”的原則，合理的構(gòu)造函數(shù)模型.達到啟發(fā)學生思維，開拓解題途徑的效果.