浙江省玉環(huán)中學(xué)　(317600)

莊　豐

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探究一類橢圓中三角形面積問題

浙江省玉環(huán)中學(xué)(317600)

莊豐

此題是橢圓中三角形面積的典型例題，其中三角形的一個頂點(diǎn)在原點(diǎn)，另兩個頂點(diǎn)在橢圓上.題目表述簡潔明了，初看非常平淡，實(shí)則內(nèi)涵豐富.通過活用直線、橢圓的各種方程，多角度探究解法、背景、推廣，能得到一些有用的結(jié)論，值得細(xì)思賞玩.

1.解法探究

評注:利用直線x=my+n解題，降低了解題的運(yùn)算量，并且避免了對直線分類討論，得到的面積表達(dá)式比較簡潔，容易求解.

解法2(利用直線的參數(shù)方程)

評注:利用直線參數(shù)方程解題時，關(guān)鍵要靈活運(yùn)用參數(shù)t的幾何意義，將三角形面積轉(zhuǎn)化為與t相關(guān)的式子.

解法3(利用橢圓的參數(shù)方程)

評注:利用橢圓的參數(shù)方程解題，涉及向量的面積公式、三角恒等變換等知識，需要一定的運(yùn)算技巧才能順利完成.此題還可利用橢圓的極坐標(biāo)方程求解.

2.背景揭示

追根溯源，橢圓是由圓經(jīng)過壓縮變換而來的，我們可以將其還原為圓的問題.

3.推廣

運(yùn)用類似方法，我們將問題推廣,得到結(jié)論1和結(jié)論2，并給出結(jié)論2的證明.

②若點(diǎn)P(x0,y0)在橢圓內(nèi)，設(shè)b2x0+a2y0=t，則△OAB的面積的最大值