■陶為群

借助拉格朗日乘數(shù)法優(yōu)化社會擴大再生產(chǎn)

■陶為群

文章提出一種借助拉格朗日乘數(shù)法優(yōu)化兩大部類社會擴大再生產(chǎn)的方法。運用拉格朗日函數(shù)法，將獲得擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解析解問題，轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)在定義域邊界點上的若干取值比較和判定問題，使問題變得很簡單、明確。進而容易地確定擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解所處的邊界點，獲得最優(yōu)解。借助馬克思《資本論》中的一個舉例，對此方法做了計算驗證。

擴大再生產(chǎn)；優(yōu)化；拉格朗日乘數(shù)法；邊界點；最優(yōu)解

最優(yōu)化是經(jīng)濟學(xué)的基本思想。馬克思的社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化，是指對于馬克思的社會擴大再生產(chǎn)公式獲得最優(yōu)解。研究解決社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題，對于深化馬克思社會再生產(chǎn)理論以及對現(xiàn)實經(jīng)濟宏觀調(diào)控的指導(dǎo)，都具有重要的理論意義。雖然已經(jīng)有研究運用價值系數(shù)法和圖解法解決了馬克思的社會擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題（陶為群、陶川，2013；陶為群，2015），［1-2］但是這些數(shù)學(xué)方法在經(jīng)濟學(xué)當(dāng)中還沒有被比較普遍運用。鑒于此，本文提出借助在經(jīng)濟學(xué)當(dāng)中比較普遍運用的拉格朗日乘數(shù)法，來優(yōu)化馬克思的社會擴大再生產(chǎn)。通過運用拉格朗日函數(shù)法，［3］可

以判定擴大再生產(chǎn)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值只能夠在定義域邊界點上取得，從而將獲得擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解析解問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)在定義域邊界點上的一些取值比較和判定問題，進而較容易地確定擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解所處的邊界點，獲得最優(yōu)解。

一、馬克思的社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的約束條件和目標(biāo)函數(shù)

按照馬克思社會再生產(chǎn)理論，社會生產(chǎn)部門劃分成生產(chǎn)資料、消費資料的兩個部類，分別記為第Ⅰ、Ⅱ部類。第j部類（j=Ⅰ，Ⅱ。下同）在t年初時點的總資本分解成用于購買生產(chǎn)資料的不變資本、購買勞動力的可變資本兩個部分，分別記為都是每年周轉(zhuǎn)一次；當(dāng)年作為中間消耗轉(zhuǎn)移到產(chǎn)品當(dāng)中在產(chǎn)品當(dāng)中新創(chuàng)造出來，并帶來它的剩余價值。第j部類產(chǎn)品當(dāng)中消耗的不變資本對于可變資本的固定不變倍數(shù)hj表示該部類的資本有機構(gòu)成。剩余價值與可變資本之間保持固定不變的比率，以ej表示，是第j部類的剩余價值率。以分別表示第j部類的新創(chuàng)造價值、總產(chǎn)值，對確定了含義的字母前面加符號Δ表示在當(dāng)年再生產(chǎn)過程中所形成的增量，以表示第j部類企業(yè)所有者把本部類的剩余價值中用于個人消費的部分。那么，社會再生產(chǎn)公式中有剩余價值使用的行為方程：

根據(jù)每個部類不變資本與可變資本的比例固定不變，從式（1）可以得到:

根據(jù)式（2）確定社會再生產(chǎn)對于待定變量有約束條件：

和

已經(jīng)有研究用“圖解法”證明了擴大再生產(chǎn)的充分必要條件是：

并且根據(jù)政治經(jīng)濟學(xué)教科書中指出的社會再生產(chǎn)的生產(chǎn)資料、消費資料實現(xiàn)條件，獲得社會再生產(chǎn)的資本積累均衡方程：［4］

擴大再生產(chǎn)的最一般結(jié)果就是有新增的社會產(chǎn)品。由于每個部類所生產(chǎn)的新增的社會產(chǎn)品的價值構(gòu)成是固定不變的，所以本部類新增的社會產(chǎn)品中的任何一個部分，都能夠一般地代表整個新增的社會產(chǎn)品。為了便于和現(xiàn)代經(jīng)濟模型中的產(chǎn)品或者產(chǎn)出概念銜接，這里以第j部類新增的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）一般地代表該部類新增的社會產(chǎn)品也就是產(chǎn)出。那么，下一年相對于本年兩個部類新增的產(chǎn)出總和△Y（t）是：

ΔY（t）能夠最一般地表示擴大再生產(chǎn)的結(jié)果。根據(jù)每個部類的新創(chuàng)造價值與不變資本之間的比例固定不變，有:

把式（8）代入式（7），得到：

新增的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）總和ΔY（t）是待定變量的函數(shù)，它的定義域由式（2）、式

（3）、式（4）、式（6）和式（5）所確定。前面的分析已經(jīng)說明，優(yōu)化社會擴大再生產(chǎn)就是選取兩個部類積累的一個匹配，使新增的新創(chuàng)造價值（產(chǎn)品）總和ΔY（t）取得最大值。那么，可以把式（9）所表示的ΔY（t）取得最大值作為擴大再生產(chǎn)的目標(biāo)函數(shù)。式（2）、式（3）、式（4）、式（6）和式（5）就是待定變量的約束條件。所以擴大再生產(chǎn)的優(yōu)化問題是有約束條件的函數(shù)最大值問題。

二、借助拉格朗日乘數(shù)法轉(zhuǎn)化求函數(shù)的最大值問題

待定變量的約束條件式（3）、式（4）、式（6）和式（5）表明，待定變量的定義域是有界的。根據(jù)有界定義域的函數(shù)的最大值理論，如函數(shù)最大值存在，只能夠在定義域內(nèi)的極大值點或者在定義域的邊界點上取得。而拉格朗日乘數(shù)法是確定函數(shù)有無有極大值點的有效方法。因此，使用目標(biāo)函數(shù)式（9）和等式約束條件式（2）與式（6），構(gòu)造如下拉格朗日函數(shù)λ3）。［3］

目標(biāo)函數(shù)式（9）的極大值點必定是拉格朗日函數(shù)的駐點，也就是對于其中變量的偏導(dǎo)數(shù)函數(shù)數(shù)值為零的點，所以將拉格朗日函數(shù)對于其中的各個變量分別求偏導(dǎo)數(shù)并令其等于零。即：

由式（10）和式（11）得到：

根據(jù)每個部類的新創(chuàng)造價值與不變資本之間的固定比例關(guān)系，第j部類的不變資本產(chǎn)出率是（1+ej）/hj。只要兩個部類的不變資本產(chǎn)出率不相同即（1+eⅠ）/hⅠ≠（1+eⅡ）/hⅡ，式（12）就是一個矛盾方程組，不存在滿足方程組的拉格朗日乘數(shù)λ1。所以拉格朗日函數(shù)沒有駐點，從而目標(biāo)函數(shù)式（9）也就沒有極大值。于是，如果目標(biāo)函數(shù)式（9）有最大值，就只能在定義域的邊界點上取得。至此，就借助拉格朗日乘數(shù)法，把目標(biāo)函數(shù)式（9）的最大值問題，轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)在定義域邊界點上的若干取值的比較和判定問題，變得很簡單、明確。

三、確定擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解所處的邊界點

只要兩個部類的不變資本產(chǎn)出率不相同，就能夠區(qū)別它們不變資本產(chǎn)出率大小比較的兩種不同情形，分別確定在目標(biāo)函數(shù)式（9）在定義域邊界點上取得最大值。

在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高即（1+eⅠ）/ hⅠ＞（1+eⅡ）/hⅡ情形下，根據(jù)約束條件式（6），可以把目標(biāo)函數(shù)式（9）變換成：

根據(jù)式（2）、式（3）、式（4）和式（6），在式（13）中變量取最小值或者最大值就是目標(biāo)函數(shù)

比較式（13）和式（14）容易確定，式（14）確實是式（13）的最大值。所以，目標(biāo)函數(shù)式（9）在邊界點上取得最大值。而根據(jù)約束條件式（3）和式（6），能夠確定：

其中

將式（15）和式（16）代入式（14）以及等式約束條件式（6）和式（2），可以在第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高情形下，區(qū)分狀態(tài)變量數(shù)在約束條件式（5）下處于兩個不同的區(qū)間段時，擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解所處的邊界點和目標(biāo)函數(shù)最大值。

目標(biāo)函數(shù)最大值是:

時，最優(yōu)解所處的邊界點是:

目標(biāo)函數(shù)最大值是:

同樣道理，在第Ⅱ部類的不變資本產(chǎn)出率高即（1+eⅠ）/hⅠ＜（1+eⅡ）/hⅡ情形下，在目標(biāo)函數(shù)式（13）中只有變量取最小值，目標(biāo)函數(shù)可能取得最大值。

目標(biāo)函數(shù)最大值是:

目標(biāo)函數(shù)最大值是：

至此，優(yōu)化擴大再生產(chǎn)問題獲得解決。以上借助拉格朗日乘數(shù)法獲得的社會擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解，與運用“圖解法”獲得的最優(yōu)解完全相同。［2］

四、借助《資本論》中的舉例計算驗證最優(yōu)解

下面引用和借鑒馬克思《資本論》第二卷第二十一章中的第二例驗證社會擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解。該例對應(yīng)的條件是，目標(biāo)函數(shù)中第Ⅰ部類的不變資本產(chǎn)出率高即（1+eⅠ）/hⅠ＞（1+eⅡ）/hⅡ。直接引用該例中的第2年（起始年份的下1年）數(shù)據(jù)，作為一般情形的擴大再生產(chǎn)。［4］此年份狀態(tài)參數(shù)處于的區(qū)間是將此年份的有關(guān)具體數(shù)據(jù)代入式（17）、式（18），就計算出最優(yōu)解所處的邊界點和目標(biāo)函數(shù)最大值數(shù)值。列在表1。

表1 借助《資本論》第二卷第二十一章中第二例的計算驗證最優(yōu)解

綜合本文的全部論析以及算例驗證，說明可以借助朗日函數(shù)法，判定擴大再生產(chǎn)的目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值只能夠在定義域邊界點上取得，從而將獲得擴大再生產(chǎn)的最優(yōu)解析解問題轉(zhuǎn)化成目標(biāo)函數(shù)在定義域邊界點上的一些取值比較和判定問

題，變得很簡單、明確。進而容易地確定擴大再生產(chǎn)的所處的邊界點和目標(biāo)函數(shù)最大值。

［1］陶為群，陶川.兩大部類擴大再生產(chǎn)中的廣義拉格朗日乘子［J］.經(jīng)濟數(shù)學(xué)，2013，30（4）.

［2］陶為群.馬克思的社會擴大再生產(chǎn)優(yōu)化的圖解法［J］.創(chuàng)新，2015（6）.

［3］霍伊，利弗諾，麥克納，等.經(jīng)濟數(shù)學(xué)（第二版）［M］.北京:中國人民大學(xué)出版社，2006：441-449.

［4］馬克思.資本論：第2卷［M］.北京：人民出版社，2014：579-585.

［責(zé)任編輯：楊 彧］

The Optimization of the Social Expanded Reproduction with the Help of Lagrange Multiplier Method

Tao Weiqun

The paper presented a m ethod of optim ization of the tw o-sector social expanded reproduction w ith the help of Lagrange M ultiplier m ethod. B y use of Lagrange M ultiplier m ethod， a problem of getting optim al solution to the expanded reproduction w as converted to a problem of com paring and deciding several values of an objective function only at several frontier points of its definition， so that the problem becom es very sim ple and explicit. A nd then both of the frontier points w here are just the optim al solution to the expanded reproduction and the optim al solutions them selves w ere determ ined. A n exam ple from M arx's "D as kapital" w as draw n upon to verify the m ethod in a calculative w ay.

E xpanded R eproduction； O ptim ization； Lagrange M ultiplier M ethod； Frontier Point；O ptim al Solution

F091.91

A

1673-8616（2016）04-0033-06

2015-12-14

國家社科基金后期資助項目“馬克思社會再生產(chǎn)理論深化與拓展的數(shù)理分析”（15FJL008）

陶為群，中國人民銀行南京分行研究員、安徽財經(jīng)大學(xué)兼職教授（江蘇南京，210004）。