劉英

摘 要：微積分教學(xué)是理工類高等數(shù)學(xué)教學(xué)的重要概念之一，其蘊含的數(shù)學(xué)思想對強化學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義。作為重要專業(yè)基礎(chǔ)課，很多學(xué)生能夠運用相關(guān)定理來求導(dǎo)、積分，但對微積分概念的認(rèn)知往往不深刻，存在較大的關(guān)系認(rèn)知模糊?；诖耍疚膹臉?gòu)建微積分概念教學(xué)設(shè)計入手，對常見的概念意向認(rèn)知錯誤進行分析，并通過極限、導(dǎo)數(shù)、定積分的幾何意義進行區(qū)分，從而設(shè)計微積分概念教學(xué)原則，引導(dǎo)學(xué)生從概念間的關(guān)系來闡釋問題，幫助學(xué)生正確地構(gòu)建微積分概念。

關(guān)鍵詞：高等數(shù)學(xué)；微積分概念；問題導(dǎo)向；教學(xué)設(shè)計

中圖分類號：G642.0 文獻標(biāo)識碼：A

高等數(shù)學(xué)在面向“大眾化教育”發(fā)展中，學(xué)生層次越來越不均衡，課程教學(xué)質(zhì)量難以得到有效保證。微積分課程是高等數(shù)學(xué)教育中的重要概念，其教學(xué)導(dǎo)入、教學(xué)方法及教學(xué)效果有待改進。特別是對微積分概念的理解，由于課程教學(xué)目標(biāo)具有差異性，在實踐教學(xué)中被壓縮，而微積分作為數(shù)學(xué)思維的重要概念，長期以來又沒有得到各方的重視，導(dǎo)致學(xué)生僅僅能做基本的運算，而難以深刻理解其思想。[1]為此，應(yīng)加大對高等數(shù)學(xué)微積分概念的教學(xué)設(shè)計，力求從學(xué)科知識銜接上提升廣大學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，從問題導(dǎo)向上重新審視和挖掘微積分概念中的關(guān)系，促進學(xué)生正確理解和構(gòu)建微積分基本概念意向。

一、高等數(shù)學(xué)概念意向研究

高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)有助于提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，斯根普是最早研究數(shù)學(xué)教育心理學(xué)的學(xué)者，他將數(shù)學(xué)理解為工具性和關(guān)系性的綜合，符號所指代的是事物，在語義理解上表示一定的程序性，而關(guān)系是對符號意義及替代物之間結(jié)構(gòu)的認(rèn)知，能夠從符號意義中來理清有效的邏輯關(guān)系。隨后，David Tall、斯特瓦特等人圍繞數(shù)學(xué)基礎(chǔ)概念，從高等數(shù)學(xué)思維視角來分析數(shù)學(xué)概念；如利用微積分來分析極限、探討無窮大等概念的過渡關(guān)系，幫助學(xué)生從數(shù)學(xué)概念來建立概念意向。[2]概念意向是什么？維納和赫綽維茨從幾何概念中提出了“概念意向”，用以區(qū)別概念形式、公眾界定及個人認(rèn)知心理結(jié)構(gòu)。通過對“概念意向”的形式化定義，從數(shù)學(xué)知識與主觀建構(gòu)中形成理解，需要在數(shù)學(xué)運算動態(tài)過程中，將概念與數(shù)學(xué)形式形成有效關(guān)聯(lián)。概念意向的建立，對于學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)思想和培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維具有重要意義。如從函數(shù)的一致收斂性，從形式定義到概念意向的建立，有助于學(xué)生從概念中激發(fā)豐富的概念意向，強化對數(shù)學(xué)邏輯思維的訓(xùn)練。

二、微積分概念的常用教學(xué)方法

微積分概念是高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)性知識，許多數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家都對微積分的概念教學(xué)提出過建議，認(rèn)為只強調(diào)基本的計算，不利于學(xué)生從思維認(rèn)知上理解，更難以從中提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平及數(shù)學(xué)素養(yǎng)。筆者嘗試從問題導(dǎo)向上來審視當(dāng)前微積分概念的常用教學(xué)方法。

1.直觀教學(xué)法

對于“直觀”思想的運用，數(shù)學(xué)教育家M·克萊因在《對高中數(shù)學(xué)課程的建議》中強調(diào)，不要講數(shù)學(xué)說得過于嚴(yán)密，而是要將之描繪得盡可能靠直覺來接受。[3]同時，他在《微積分：直觀和物理的方法》中提出，對于微積分知識，利用直觀的方法來提煉數(shù)學(xué)概念，從其定義、發(fā)展及如何應(yīng)用上，來幫助學(xué)生樹立微積分的概念。對于微積分知識的教學(xué)，高中階段往往是形式化的演繹證明，而對于大學(xué)，就需要從微積分的本質(zhì)上來進行認(rèn)識。David Tall從高等數(shù)學(xué)思維幾何微積分教學(xué)研究中，試圖利用圖式概念來直觀地呈現(xiàn)微積分思想。Daoid Tall指出，微積分的基本思想是變化、變化率、變化率的累積，分別從運算、逆運算中用圖、數(shù)、符號來進行表征。將數(shù)學(xué)的工具性和符號化作為問題情境構(gòu)建的基礎(chǔ)，幫助學(xué)生從形式化證明中回歸到具體化世界。我國有些數(shù)學(xué)家也提倡直觀法教學(xué)，如趙訪雄提出，對于高等數(shù)學(xué)中的概念教學(xué)，要避免照本宣科，更應(yīng)該從形象化、生動的實例中來滲透和講解基本概念。

2.歷史發(fā)生法

歷史發(fā)生法教學(xué)是利用數(shù)學(xué)歷史，將數(shù)學(xué)概念與其歷史發(fā)展相滲透，引導(dǎo)學(xué)生從中來理解。數(shù)學(xué)家托普利茲倡導(dǎo)用歷史的方法研究微積分，并從“發(fā)生的方法”中克服了無窮小微積分的困難。如面對泰勒級數(shù)、中值定理、定積分、收斂性等概念，為什么會這樣？是怎么樣得到的……對這些問題的回溯，都是從數(shù)學(xué)歷史中來展示，從而讓學(xué)生從問題、概念、事實的本原上獲得全面理解。正如G·Kothe所談到的，托普利茲的“發(fā)生的方法”，能夠從數(shù)學(xué)基本原理的發(fā)展過程來進行理解，幫助我們從數(shù)學(xué)觀點中的歷史溯源中來研究數(shù)學(xué)史，激勵學(xué)生更好地認(rèn)知事物。[4]單純從邏輯視角來探討數(shù)學(xué)問題，只能給學(xué)生最終的答案，對于答案本身，是難以理解其形成過程的。我們從托普利茲的“發(fā)生的方法”中，可以從數(shù)學(xué)概念的歷史背景中來建構(gòu)，讓學(xué)生更好地將其消化、吸收和內(nèi)化到數(shù)學(xué)智力結(jié)構(gòu)中。

3.基于概念的學(xué)習(xí)方法

基于概念的學(xué)習(xí)方法是通過概念環(huán)境，從概念的理解、應(yīng)用、遷移等方面來構(gòu)建知識，特別是通過量化和質(zhì)化研究，讓學(xué)生從知識和程序性知識中獲得深刻的理解。概念環(huán)境多表現(xiàn)為課題教學(xué)氛圍，從縝密的公式及基礎(chǔ)計算的關(guān)聯(lián)性上，滲透一部分技巧來強化學(xué)生對基本概念的理解。如我們在建立數(shù)學(xué)、圖形、代數(shù)等相互關(guān)系時，從認(rèn)識定積分之前，可以從被積函數(shù)在指定區(qū)間上的函數(shù)圖形來表示定積分。而對于傳統(tǒng)的教學(xué)環(huán)境來說，多側(cè)重于技巧的運用，忽視了概念本身，使得學(xué)生僅僅獲得計算方法。可見，應(yīng)通過對概念的理解，輔以程序性的技巧應(yīng)用，讓學(xué)生能夠從概念的擴展性上加深對概念多種表征的理解，引導(dǎo)學(xué)生從一題多解中構(gòu)建知識體系，增強數(shù)學(xué)遷移能力。

三、微積分概念教學(xué)設(shè)計方案

1.微積分概念教學(xué)的設(shè)計原則

在微積分概念教學(xué)設(shè)計中，其原則表現(xiàn)在三點：一是通過本原性問題來導(dǎo)入概念，以歷史的發(fā)展觀念來闡釋數(shù)學(xué)概念；二是利用幾何圖形直觀地顯示， 或者從生活中選取直觀的案例來構(gòu)建概念環(huán)境；三是強化概念與關(guān)系的闡釋。為此，遵循上述原則，從實例選取上，側(cè)重將微積分的重要概念，如極限、導(dǎo)數(shù)、積分等進行細(xì)化，從概念理解的難點、重點等方面，對微積分的結(jié)構(gòu)及自身特點進行分析。如在極限的理解上，可以用嚴(yán)格的形式化語言來界定微積分概念，當(dāng)然，學(xué)生在理解ε-N語言遇到難題時，就需要加大形式化語言的理解與運用；在學(xué)習(xí)導(dǎo)數(shù)概念時，從中學(xué)導(dǎo)數(shù)概念的引申，到導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值關(guān)系，再從導(dǎo)數(shù)的概念意象中來探討切線斜率等形式，從導(dǎo)數(shù)的變化率中來認(rèn)識導(dǎo)數(shù)的思想；在學(xué)習(xí)微分概念時，可以從變化率和增量兩個向度來探討，前者在講解時引入導(dǎo)數(shù)概念，后者在講解時引入微分概念，并從微分與微積分的概念關(guān)系上，確立相互之間的聯(lián)系，將微分概念作為設(shè)計重點，突顯微分概念在學(xué)生數(shù)學(xué)思維中的概念圖地位。再如在中值定理教學(xué)中，將中值定理的邏輯推理作為重點，從導(dǎo)數(shù)的運用，再到概念的嚴(yán)格化，并從中值定理的最初形式到分析其形態(tài)、形式的差異性，讓學(xué)生感知定理的演化過程。

2.微積分概念教學(xué)流程分析

構(gòu)建微積分概念教學(xué)，以具體的案例設(shè)計來進行綜合闡述，并從一年級微積分課程教學(xué)對比實驗中，來設(shè)計教學(xué)模式，圍繞問題導(dǎo)向來解決相關(guān)問題。第一階段為準(zhǔn)備和設(shè)計階段，從近年來微積分概念教學(xué)相關(guān)文獻中梳理常見問題，并就微積分概念教學(xué)的重點進行明確，設(shè)計出每個概念的前測、后測試卷；第二階段是教學(xué)實施和問題干預(yù)，通過對概念教學(xué)前的前測，了解學(xué)生對概念的認(rèn)知起點，特別是常見的誤解，來優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，修正教學(xué)流程和側(cè)重點，課后進行總結(jié)教學(xué)反思，對概念教學(xué)的實施效果進行總結(jié)并加以改進；第三階段是回顧和反思，從前測、后測結(jié)果對比中，對微積分概念教學(xué)實效性進行檢驗，了解學(xué)生對概念教學(xué)的認(rèn)知度。

3.微積分概念教學(xué)設(shè)計實施過程

在微積分概念教學(xué)設(shè)計中，選取微分教學(xué)設(shè)計來進行分析。微分作為數(shù)學(xué)中的重要概念，主要涉及兩個問題：

一是變化率；二是增量。從微分概念進行學(xué)習(xí)，對后期理解導(dǎo)數(shù)概念、微分運算等具有重要意義。在理解微分概念上，其問題主要表現(xiàn)在：一是教師在教學(xué)中重視不足，往往與另一個概念“導(dǎo)數(shù)”相混淆，學(xué)生對微分概念的理解出現(xiàn)偏差，多存在模糊性。如有學(xué)生對dx的認(rèn)識是變量還是常數(shù)都存在歧義；對微積分概念微分與積分過程的理解存在疑義。在實際教學(xué)中，對于兩者概念的沖突，—表示為導(dǎo)數(shù)符號，而—表示為偏導(dǎo)數(shù)，兩者在運算中易混淆；還有學(xué)生對極限、導(dǎo)數(shù)、連續(xù)性的理解缺乏全面性，因此在教學(xué)干預(yù)中要圍繞常見問題來改進教學(xué)設(shè)計。在數(shù)學(xué)教學(xué)實踐中，對于概念的認(rèn)知至關(guān)重要，微積分概念的教學(xué)設(shè)計，應(yīng)對微分與積分的差異性進行區(qū)分，微分多研究事物運動的瞬間改變量，而積分多研究事物在某一運動區(qū)間的改變量。如人的頭發(fā)，微分研究的是瞬間生長量，而積分則是研究某一時段下的生長量。在運算方法上，減法產(chǎn)生微分，加法產(chǎn)生積分，微分與積分在運算上的對立與統(tǒng)一，對我們理解客觀事物的運動變化，特別是研究事物瞬間改變量有用，而導(dǎo)數(shù)是研究事物的瞬間變化率，掌握以上方法，學(xué)習(xí)這些概念就容易了。以具體課例來講，對于菲赫金哥爾茨的《微積分學(xué)教程》中的球體積（最大的）相對誤差與量度得來的直徑的（最大的）相對誤差的關(guān)系，我們將之轉(zhuǎn)換為直徑為r0的球，在表面涂油漆，油漆的厚度為Δr，求油漆的體積。當(dāng)然，在該題闡釋上，學(xué)生能夠從一次函數(shù)的增量近似代替三次函數(shù)的增量，從微分概念的理解中來簡化運算。其解題方法為：ΔV=—π[r03+3r02（Δr）+3r0（Δr）2+（Δr）3]-—πr03=AΔr+o（Δr）。同樣道理，對于物理學(xué)中的自由落體運動，S（t）=—gt2，在計算位移的增量時，ΔS=gt0Δt+—gΔt2=AΔt+o（Δr）；可以將之與S=v0t+—gt2進行聯(lián)系，將A與速度v0聯(lián)系，將Δt2與聯(lián)系o（Δr），進而獲得ΔS≈dS=S'（t）Δr。由此得出，對于微分概念的理解，其原意為“差”，而微分在表示函數(shù)增量的近似值，當(dāng)誤差Δx高階無窮小時，則函數(shù)是可微的。

四、結(jié)語

對于微積分概念教學(xué)設(shè)計，要從學(xué)生的常見理解錯誤中進行梳理，特別是對微分的幾何意義進行梳理，它盡管與切線有關(guān)，但無法從中正確理解哪個量可以表示微分，更不能將微分理解為函數(shù)在某點切線的增量；通過對微分概念實例的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生從中構(gòu)建微分概念意向，能為后面所學(xué)的積分、湊微分、微分方程等奠定基礎(chǔ)。

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