范　國(guó)　兵

(湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410205)

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一類帶模糊流動(dòng)性約束的證券投資組合模型

范國(guó)兵

(湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，湖南長(zhǎng)沙410205)

[摘要]投資組合選擇是投資者在不確定環(huán)境下的投資決策問(wèn)題?；谀：h(huán)境下的證券投資組合，利用梯形模糊數(shù)描述投資組合的換手率，建立基于投資組合的凈收益率極大化、熵風(fēng)險(xiǎn)最小化，帶模糊流動(dòng)性約束的雙目標(biāo)規(guī)劃模型，并給出模型求解方法。

[關(guān)鍵詞]投資組合；模糊數(shù)；數(shù)學(xué)模型；證券市場(chǎng)

一、引言

1952年，經(jīng)濟(jì)學(xué)家Markowitz在《投資組合的選擇》一文中提出“均值-方差”投資組合選擇模型，奠定了現(xiàn)代金融學(xué)的基礎(chǔ)[1]77-91。此后，投資組合選擇問(wèn)題吸引了國(guó)內(nèi)外眾多學(xué)者的研究，并取得了豐碩成果。傳統(tǒng)的研究均假定資產(chǎn)的收益是隨機(jī)變量，以概率論為工具進(jìn)行建模，然而現(xiàn)實(shí)金融市場(chǎng)中，證券市場(chǎng)存在許多非隨機(jī)因素，投資組合常常不可避免地充滿著模糊隨機(jī)性。一些學(xué)者借助模糊集理論研究模糊不確定情況下投資組合問(wèn)題，如Watada 、Tanaka、Vercher等基于模糊投資環(huán)境下，對(duì)Markowitz均值-方差模型進(jìn)行了各種形式的推廣[2]219[3]115[4]769。但這些研究都假設(shè)投資收益與風(fēng)險(xiǎn)在整個(gè)投資期內(nèi)保持不變的單階段投資組合，對(duì)于多階段模糊投資組合模型，國(guó)內(nèi)學(xué)者張鵬提出了限制交易成本和交易量，以投資組合收益率的隸屬函數(shù)為梯形的多階段均值-半絕對(duì)偏差可能性投資組合模型[5]168；劉勇軍等提出了以資產(chǎn)收益和換手率為模糊變量，以資產(chǎn)組合收益與偏度最大，風(fēng)險(xiǎn)、不確定性以及模糊性最小為目標(biāo)的多準(zhǔn)則投資組合優(yōu)化模型[6]2462。本文利用梯形模糊數(shù)描述投資組合的換手率，建立基于投資組合的凈收益率極大化、熵風(fēng)險(xiǎn)最小化、帶模糊流動(dòng)性約束的雙目標(biāo)規(guī)劃模型，并給出模型求解的方法。

(一) 有關(guān)區(qū)間數(shù)的符號(hào)和定義

定義 1：概率分布(p1,p2,…,pn)的熵定義為：

(1)

定義2：模糊數(shù)A具有隸屬函數(shù)：

(2)

稱A為梯形模型數(shù)，其中α、β分別為左右寬度，[a,b]為容許區(qū)間。

定義3：設(shè)A為梯形模型數(shù)，A的λ截集定義為：

[A]λ=[a-(1-λ)α,b+(1-λ)β]

(3)

此時(shí)，A的可能性均值定義為：

(4)

定義4：設(shè)A,B為兩個(gè)梯形模糊數(shù)，定義A≤B當(dāng)且僅當(dāng)E(A)≤E(B)。

二、模型建立

假設(shè)投資者(或資產(chǎn)管理者)在n只股票中選出若干只進(jìn)行組合投資，根據(jù)股票的歷史收益資料分析，推斷其未來(lái)的收益趨勢(shì)，不妨收集過(guò)去的收益資料l天，記第i只股票在這l天中的收益率序列為ri1,ri2,…ril(i=1,2,…n),設(shè)：

將區(qū)間[a,b]分成m個(gè)小區(qū)間，[r0,r1],[r1,r2],…,[rm-1,rm]，

(5)

(6)

引入如下記號(hào)：

xi：將投資在風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)i(i=1,2,…,n)或無(wú)風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)(i=n+1)上的投資比例；

ki：證券市場(chǎng)資產(chǎn)i(i=1,2,…,n+1)的交易費(fèi)比率；

mi：證券市場(chǎng)資產(chǎn)i(i=1,2,…,n+1)的投資比例上界。

假定投資組合調(diào)整過(guò)程中沒(méi)有注入新的資金，采用V型交易數(shù)函數(shù)，考慮與交易數(shù)量成正比的交易費(fèi)用，投資組合x(chóng)=(x1,x2,…,xn)的總交易費(fèi)用為：

(7)

(8)

(9)

(10)

(11)

建立基于投資組合的凈收益極大化、熵風(fēng)險(xiǎn)最小化的規(guī)劃模型：

(M1)

從而M1等價(jià)于：

(M2)

三、模型求解

模型M2為雙目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為如下單目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：

(M3)

(M4)

從而模型M4可以轉(zhuǎn)化成如下標(biāo)準(zhǔn)的線性規(guī)劃問(wèn)題：

(M5)

對(duì)于標(biāo)準(zhǔn)線性規(guī)劃問(wèn)題M5，利用軟件包LINGO和LINDO即可求解。

四、 結(jié)語(yǔ)

本文利用梯形模糊數(shù)來(lái)描述投資組合的換手率，以投資組合的凈收益率極大化、熵風(fēng)險(xiǎn)最小化，建立了帶模糊流動(dòng)性約束的證券投資組合雙目標(biāo)規(guī)劃模型，并將該模型轉(zhuǎn)化成線性規(guī)劃模型，從而可以利用成熟的軟件包來(lái)求解，該模型對(duì)證券投資選擇具有一定的使用價(jià)值和指導(dǎo)意義。證券市場(chǎng)中，投資收益、風(fēng)險(xiǎn)和流動(dòng)性都具有模糊不確定性，針對(duì)證券投資組合選擇問(wèn)題，怎樣運(yùn)用模糊數(shù)學(xué)理論和最優(yōu)化方法等工具進(jìn)行系統(tǒng)、深入研究，構(gòu)建具有實(shí)踐價(jià)值的投資組合選擇模型，為投資決策建立分析框架，始終具有較大的理論意義和實(shí)踐意義。

[參考文獻(xiàn)]

[1]Markowitz H M.Portfolio selection[J]. Journal of Finance, 1952，(7).

[2]Watada J.Fuzzy portfolio selection and its applications to decision making[J].Tatra Mountains Mathematical Publication, 1997，(13).

[3]Tanaka H, Guo P. Portfolio selection based on upper and lower exponential possibility distributions[J]. EuropeanJournal of Operational research , 1999，(114).

[4]Vercher E, Bermudez J, Segura J. Fuzzy portfolio optimization under downside risk measures[J].Fuzzy Sets and Systems,2007，(158).

[5]張鵬.多階段均值-半絕對(duì)偏差模糊投資組合優(yōu)化研究模[J].糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué). 2013,27(2).

[6]劉勇軍,等,考慮現(xiàn)實(shí)約束的模糊多準(zhǔn)則投資組合優(yōu)化模型[J].系統(tǒng)工程理論與實(shí)踐,2013, 33 (10).

(責(zé)任編輯魯守博)

[收稿日期]2016-03-23

[基金項(xiàng)目]湖南省社科基金資助項(xiàng)目“基于過(guò)程能力指數(shù)的貝葉斯統(tǒng)計(jì)分析及其應(yīng)用研究”(YBA2015065)。

[作者簡(jiǎn)介]范國(guó)兵,男，湖南長(zhǎng)沙人，湖南財(cái)政經(jīng)濟(jì)學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院副教授。

[中圖分類號(hào)]F830.91

[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼]A

[文章編號(hào)]1672-0040(2016)04-0011-03