張曉娜　葉　子　薛　成　耿笑寒　謝　穎

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基于最小二乘法離場(chǎng)航跡構(gòu)造方法

張曉娜1葉子2薛成2耿笑寒2謝穎2

1.中國民航大學(xué)理學(xué)院；2.中國民航大學(xué)計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院張曉娜，女，本科，中民民航大學(xué)，研究方向?yàn)橛?jì)算機(jī)圖形學(xué)。

國家級(jí)基金項(xiàng)目：中國民航大學(xué)大學(xué)生創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)訓(xùn)練計(jì)劃項(xiàng)目（201510059012）

行業(yè)曲線

創(chuàng)新點(diǎn) ：本文提出了一種基于最小二乘法離場(chǎng)航跡逆向構(gòu)造方法。此方法與目前的構(gòu)造方法相比較創(chuàng)新點(diǎn)有三點(diǎn)：第一點(diǎn)，采用最小二乘法結(jié)合兩種離場(chǎng)方式特征逆向推出離場(chǎng)航跡最佳匹配函數(shù)，使得離場(chǎng)水平面航跡更加準(zhǔn)確、平滑；第二點(diǎn)，解決了在離場(chǎng)數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃及氣象資料缺失的情況下，無法對(duì)飛機(jī)離場(chǎng)航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題；第三點(diǎn)，構(gòu)造了基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場(chǎng)航跡選擇評(píng)分函數(shù)，從而保證了離場(chǎng)方式的準(zhǔn)確性。

本文提出了一種基于最小二乘法離場(chǎng)航跡逆向構(gòu)造方法。該方法解決在離場(chǎng)數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃及氣象資料缺失的情況下，無法對(duì)飛機(jī)離場(chǎng)航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題。通過構(gòu)造基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場(chǎng)航跡選擇評(píng)分函數(shù)，驗(yàn)證離場(chǎng)方式的選取方法的有效性。實(shí)驗(yàn)表明該方法不僅解決了在飛機(jī)離場(chǎng)信息缺失的情況下離場(chǎng)航跡的構(gòu)造問題，而且確保了飛機(jī)起飛方式的準(zhǔn)確性。

飛機(jī)離場(chǎng)航跡是飛機(jī)起飛過程的形象化體現(xiàn)。目前，飛行航跡的構(gòu)造方法通常采用兩類方式，第一類是在飛行計(jì)劃確定及氣象資料完整的情況下，結(jié)合飛行動(dòng)力學(xué)和運(yùn)動(dòng)學(xué)模型正向推導(dǎo)的方法。飛機(jī)起飛航跡計(jì)算方法研究 提出了對(duì)不同機(jī)型統(tǒng)一的離場(chǎng)航跡構(gòu)造方法，該方法主要針對(duì)離場(chǎng)航跡剖面進(jìn)行了構(gòu)造，缺少對(duì)水平投影面構(gòu)造的方法；基于ANP數(shù)據(jù)庫的飛機(jī)起飛仿真研究是基于詳細(xì)的飛行資料和性能參數(shù)的前提下，提出了飛機(jī)離場(chǎng)剖面航跡構(gòu)造方法；離場(chǎng)航跡降噪優(yōu)化設(shè)計(jì)的多目標(biāo)智能方法是一種利用航段飛行特征約束求解離場(chǎng)航跡的方法。第二類是在擁有較為準(zhǔn)確的雷達(dá)位置信息點(diǎn)的情況下對(duì)雷達(dá)數(shù)據(jù)去噪，擬合出最佳函數(shù)匹配從而得到平滑的航跡。經(jīng)緯儀目標(biāo)交匯測(cè)量及航跡曲線擬合文中提出根據(jù)不同時(shí)刻的坐標(biāo)，用最小二乘法對(duì)目標(biāo)航跡進(jìn)行擬合，從而推測(cè)下一時(shí)刻的位置速度及加速度；三維航跡的B樣條曲線擬合算法利用B樣條曲線的幾何性質(zhì)，解決了飛行器三維航跡擬合中的邊界條件等約束問題。第二類多用于飛機(jī)離場(chǎng)結(jié)束后航跡的擬合。上述提出的兩類方法用于離場(chǎng)航跡的構(gòu)造存在以下三種問題：一是由于飛機(jī)離場(chǎng)屬于低空飛行，雷達(dá)捕捉飛行器在低空飛行的位置信息不準(zhǔn)確，飛機(jī)離場(chǎng)的雷達(dá)點(diǎn)相比于真實(shí)點(diǎn)誤差較大，且飛機(jī)離場(chǎng)的方式不同，導(dǎo)致無法單一的利用擬合離場(chǎng)雷達(dá)數(shù)據(jù)的方法確定離場(chǎng)航跡。二是現(xiàn)有方法多為對(duì)離場(chǎng)剖面航跡進(jìn)行構(gòu)造，忽略由于離場(chǎng)方式的不同導(dǎo)致水平面航跡存在誤差。三是在離場(chǎng)數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃及氣象資料缺失的情況下，無法對(duì)飛機(jī)離場(chǎng)航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題。由此本文為了解決上述問題，采用最小二乘法結(jié)合兩種離場(chǎng)方式特征，提出離場(chǎng)航跡逆向構(gòu)造方法。

相關(guān)工作

飛機(jī)離場(chǎng)過程是指飛機(jī)高于起飛表面450m（1500ft），并完成從起飛到航路形態(tài)的轉(zhuǎn)變，達(dá)到規(guī)定的速度和爬升梯度。飛機(jī)起飛過程包括起飛場(chǎng)道滑跑階段和起飛航道階段。起飛航跡依據(jù)飛機(jī)的構(gòu)型、發(fā)動(dòng)機(jī)的推力狀態(tài)、對(duì)爬升梯度的要求等分為第一爬升階段、第二爬升階段、第三平飛階段、最后爬升階段等四個(gè)階段。本文忽略平飛過程，把此過程與第四階段融合在一起下文統(tǒng)稱第三階段，分別對(duì)第一、二及三階段分別進(jìn)行構(gòu)造。

最小二乘法是通過最小化誤差的平方和求得待定系數(shù)從而尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配。假設(shè)多項(xiàng)式：

得方程組：

該方程組稱為多項(xiàng)式擬合的法方程，令：

貝葉斯推理需要根據(jù)當(dāng)前所觀察到的樣本信息及現(xiàn)有經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)得出結(jié)論，以估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)為基礎(chǔ)發(fā)展出的一種歸納推理方。具體方法為已知一個(gè)事件集其中每一Bi的概率為p（Bi），又知在Bi已發(fā)生的條件下A事件發(fā)生的條件概率p（A/Bi），就可通過以下公式得出在給定A已發(fā)生的條件下任何Bi發(fā)生的條件概率p（Bi/A）即：

基于最小二乘法飛機(jī)離場(chǎng)航跡逆向構(gòu)造方法

飛行高度在350m以上的雷達(dá)監(jiān)測(cè)位置信息點(diǎn)較為準(zhǔn)確，本文把航跡投影到水平面和剖面分別構(gòu)造，并利用準(zhǔn)確數(shù)據(jù)逆推離場(chǎng)航跡。首先根據(jù)兩種離場(chǎng)方式特征判別離場(chǎng)方式，其次利用350m以上的雷達(dá)監(jiān)測(cè)位置信息點(diǎn)分別擬合兩種離場(chǎng)方式的第三階段航跡水平面投影，最后計(jì)算各階段關(guān)鍵參數(shù)確定滑跑航跡及運(yùn)動(dòng)過程。不得不提在離場(chǎng)數(shù)據(jù)、飛行計(jì)劃、氣象資料缺失前提下。起飛過程模擬難度很大，為了確保模擬的航跡準(zhǔn)確性，不可避免需要根據(jù)飛機(jī)的離場(chǎng)規(guī)則，假設(shè)合理數(shù)值。點(diǎn)為已知飛機(jī)在跑道滑跑的加速始點(diǎn)，此點(diǎn)的各方向速度均為V0=0，點(diǎn)為飛機(jī)的離地點(diǎn)，其中z1已知為地平面高度，為直線離場(chǎng)時(shí)高度為z21=122+z0時(shí)的坐標(biāo)點(diǎn) ，轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)時(shí)為轉(zhuǎn)彎點(diǎn)，為已知雷達(dá)數(shù)據(jù)第一個(gè)點(diǎn)。

基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場(chǎng)方式估計(jì)方法

直線離場(chǎng)方式特征：特征一，起始離場(chǎng)航線與跑道中線方向角度相差小于15°；特征二，離場(chǎng)航跡偏于跑道中線一側(cè)而在DER（離場(chǎng)末端）的橫向距離不大于300m。但只要實(shí)際可能，離場(chǎng)航線就應(yīng)與跑道中線延長(zhǎng)線一致。轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)方式特征：離場(chǎng)過程中出現(xiàn)離場(chǎng)角度要求大于15°的轉(zhuǎn)彎，并且規(guī)定在飛機(jī)起飛離場(chǎng)到達(dá)DER標(biāo)高之上才允許轉(zhuǎn)彎，在此之前為直線飛行。

由于已知雷達(dá)數(shù)據(jù)的高度值不同分為以下兩種情況，利用不同的離場(chǎng)特征分別作為判別離場(chǎng)方式的依據(jù)。

圖1　飛機(jī)離場(chǎng)示意圖

（1） 現(xiàn)有雷達(dá)數(shù)據(jù)高度值在450m以上，飛機(jī)可能已經(jīng)結(jié)束離場(chǎng)并立即發(fā)生轉(zhuǎn)彎，由雷達(dá)數(shù)據(jù)得到的航線與跑道中線的夾角大于15°不能說明轉(zhuǎn)彎發(fā)生在離場(chǎng)過程中，因此不能用特征一判斷，利用特征二更加適合。利用特征二區(qū)分時(shí)，計(jì)算雷達(dá)數(shù)據(jù)第一個(gè)點(diǎn)與跑道直線的水平距離如果小于300m則為直線，否則為轉(zhuǎn)彎。

（2）現(xiàn)有雷達(dá)數(shù)據(jù)高度值在450m以下，飛機(jī)還未結(jié)束離場(chǎng)，利用特征一就可以判斷。已知離場(chǎng)結(jié)束后航跡的雷達(dá)數(shù)據(jù)，前幾個(gè)點(diǎn)組成的航跡是順沿離場(chǎng)航跡的方向產(chǎn)生，繼承了離場(chǎng)方向變化趨勢(shì)。利用特征一區(qū)分時(shí)，利用前四個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)進(jìn)行一次的最小二乘法擬合方程，跑道直線方程，由正切公式計(jì)算兩直線夾角，則，當(dāng)時(shí)為轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)，否則為直線離場(chǎng)。

為了檢驗(yàn)上述判斷方法的準(zhǔn)確性構(gòu)建飛機(jī)離場(chǎng)方式選擇評(píng)分函數(shù)。因?yàn)轱w機(jī)離場(chǎng)方式主要分為兩種，一為直線（line）式離場(chǎng)，一為轉(zhuǎn)彎（arc）式離場(chǎng)，兩類飛機(jī)離場(chǎng)模型互相獨(dú)立互為補(bǔ)集。所以根據(jù)以上特征，簡(jiǎn)單化問題，可以化為非此及比的模型。由此就可以根據(jù)概率論的乘法定理及貝葉斯公式求得P（line/w）及P（arc/w）。P（line/w）物理意義為在一定特征事件的基礎(chǔ)上飛機(jī)是直線離場(chǎng)，P（arc/w）物理意義為在一定特征事件的基礎(chǔ)上飛機(jī)是轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)。公式：

綜上，評(píng)分規(guī)則為：滿分為100分。若直線起飛方式分?jǐn)?shù)為P（line/w）×100，轉(zhuǎn)彎起飛方式起飛分?jǐn)?shù)為，

通過分?jǐn)?shù)檢驗(yàn)離場(chǎng)方式區(qū)分方法的準(zhǔn)確性。

爬升階段構(gòu)造方法

其中V0=0得。

轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)方式：利用現(xiàn)有雷達(dá)數(shù)據(jù)點(diǎn)作二次的最小二乘法擬合，擬合出的曲線方程為F2（x）。跑道中線坐標(biāo)已知，任取跑道中線兩點(diǎn)坐標(biāo)計(jì)算跑道直線方程F1（x）。擬合出的二次曲線方程與跑道中線求交點(diǎn)，此交點(diǎn)為轉(zhuǎn)彎點(diǎn)P2。

解得：

機(jī)起飛的方向比對(duì)兩種計(jì)算結(jié)果的大小，決定?的正負(fù)情況，當(dāng)起飛方向X軸上的數(shù)值是增加的則取兩種計(jì)算結(jié)果較大值，反之取較小。

計(jì)算X、Y軸方向的離地速度

并對(duì)其進(jìn)行單位轉(zhuǎn)換。其中θ=arctan（k），k為跑道直線方程斜率。轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)P2點(diǎn)X軸坐標(biāo)已知，但高度未知。轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)的計(jì)算方法與直線不同，轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)，由公式（3），（4），（5）計(jì)算：

計(jì)算轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)點(diǎn)的Z軸方向坐標(biāo)。轉(zhuǎn)彎高度計(jì)算公式：

補(bǔ)充兩個(gè)階段之間每隔四秒的坐標(biāo)。直線離場(chǎng)方式：利用X、Z軸加速度及F1（x）直線方程及坐標(biāo)P1（x1,y1,z1）及P2（x2,y2,z2）計(jì)算。轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)方式：利用X、Z軸加速度及F2（x）計(jì)算。下方公式中j表示第j階段，n表示為j階段第n個(gè)坐標(biāo)值，t等時(shí)間間隔4s，T為j階段的總時(shí)間，

公式為：

起飛場(chǎng)道階段構(gòu)造方法

飛機(jī)在地面加速滑跑時(shí)，其受到的外力包括發(fā)動(dòng)機(jī)推力T、升力L、阻力D、地面的支撐力N、摩擦力F、起飛地面滑跑階段通常認(rèn)為飛機(jī)的迎角、發(fā)動(dòng)機(jī)的安裝角均為小量。實(shí)際上近似計(jì)算飛機(jī)滑跑距離時(shí)，可將地面滑跑階段發(fā)動(dòng)機(jī)的推力取平均值并視為常數(shù)，同樣計(jì)算摩擦系數(shù)也取其平均值并看作常數(shù)，于是可得飛機(jī)地面起飛滑跑階段速度為V0=0加速到離地速度VLOF的滑跑距離為：

便于估算引入“換算摩擦系數(shù)”μ'，其值為：

在實(shí)際計(jì)算起飛滑跑距離時(shí)，可以將地面滑跑期間發(fā)動(dòng)機(jī)的推力取平均值并視為常數(shù)，同樣換算摩擦系數(shù)也取其平均值并看作常數(shù)，飛機(jī)地面滑跑距離的近似估算公式：

距離差已知公式為：

作為地面滑跑時(shí)的平均速度，則有

合加速度單位為m2/s

得X、Y軸加速度為：

利用X、Z軸加速度、速度、F1（x）直線方程及坐標(biāo)P0（x0,y0,z0）補(bǔ)充三個(gè)階段之間每隔四秒的坐標(biāo)。公式為：

綜上飛機(jī)離場(chǎng)航跡由此確定。

圖2　原始數(shù)據(jù)三維散點(diǎn)圖

圖3　航跡構(gòu)造前后對(duì)比結(jié)果

方法驗(yàn)證

本實(shí)驗(yàn)以首都機(jī)場(chǎng)為例，采用首都機(jī)場(chǎng)提供的2013 年4、5月的飛機(jī)飛行數(shù)據(jù)及機(jī)場(chǎng)地理位置信息，隨機(jī)抽取1000條離場(chǎng)航跡進(jìn)行實(shí)驗(yàn)。首先，依據(jù)構(gòu)造方法對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理擬合出離場(chǎng)航跡，利用擬合出的航跡計(jì)算出飛機(jī)離場(chǎng)滑跑距離及轉(zhuǎn)彎高度，查看計(jì)算出的上述參數(shù)是否符合飛機(jī)離場(chǎng)規(guī)定，從而驗(yàn)證方法的有效性。利用基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場(chǎng)方式選擇評(píng)分函數(shù)計(jì)算分?jǐn)?shù)，驗(yàn)證飛機(jī)離場(chǎng)方式選擇方法的準(zhǔn)確性。

為了大致了解離場(chǎng)航跡線的特點(diǎn)，利用雷達(dá)數(shù)據(jù)做出三維散點(diǎn)圖。進(jìn)而根據(jù)航跡線水平面的投影的特征對(duì)航跡線進(jìn)行分類。航跡線水平面投影類型分為兩類，第一類為近似順延跑道延長(zhǎng)線如圖2（a）。第二類為偏離跑道延長(zhǎng)線，在跑道的一側(cè)與跑道延長(zhǎng)線形成較大夾角如圖2（b）。從對(duì)雷達(dá)數(shù)據(jù)初步分析可以看出本文對(duì)離場(chǎng)模型的分類假設(shè)是正確的。

圖3（a）和（b）分別為直線離場(chǎng)實(shí)驗(yàn)前350m以上原始雷達(dá)數(shù)據(jù)三維曲線圖和實(shí)驗(yàn)后效果圖。圖2（c）和（d）分別為轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)實(shí)驗(yàn)前350m以上原始雷達(dá)數(shù)據(jù)三維曲線圖和實(shí)驗(yàn)后效果圖。通過實(shí)驗(yàn)效果前后對(duì)比可以看出利用本文方法構(gòu)造出的離場(chǎng)航跡與實(shí)際情況較為一致。

由表1可以看出轉(zhuǎn)彎高度均允許轉(zhuǎn)彎高度值120m以上。滑跑距離在均合理范圍以內(nèi)。

表1　飛機(jī)離場(chǎng)參數(shù)計(jì)算結(jié)果

表2　離場(chǎng)方式的評(píng)分結(jié)果

由統(tǒng)計(jì)學(xué)辦法得出P（line）及P（arc）。利用飛機(jī)離場(chǎng)方式選擇方法從直線離場(chǎng)航跡中篩選出符合直線起飛特征的航跡及符合轉(zhuǎn)彎起飛特征的航跡，從轉(zhuǎn)彎離場(chǎng)航跡中篩選符合直線起飛特征的航跡及符合轉(zhuǎn)彎起飛特征的航跡，利用統(tǒng)計(jì)學(xué)辦法得出。最后利用評(píng)分方法計(jì)算評(píng)分。評(píng)分結(jié)果均在85分以上表明離場(chǎng)方式選擇方法的準(zhǔn)確度較高。

由圖1和表2可以看出本文對(duì)離場(chǎng)模型的分類假設(shè)是正確的，離場(chǎng)方式選擇方法準(zhǔn)確度較高。由圖2和表1可以看出本文構(gòu)造出的離場(chǎng)航跡與實(shí)際情況一致。由此驗(yàn)證了基于最小二乘法離場(chǎng)航跡構(gòu)造方法的有效性及準(zhǔn)確性。

結(jié)語

本文提出了一種基于最小二乘法離場(chǎng)航跡逆向構(gòu)造方法。新方法的可行性已在多次實(shí)驗(yàn)中得到驗(yàn)證。并利用基于貝葉斯推理的飛機(jī)離場(chǎng)航跡選擇評(píng)分函數(shù)計(jì)算評(píng)分，評(píng)分結(jié)果理想，驗(yàn)證了離場(chǎng)方式的選取方法的有效性。新方法不僅可以利用于解決在飛行計(jì)劃和氣象資料缺失的前提下，無法對(duì)飛機(jī)離場(chǎng)航跡進(jìn)行構(gòu)造的問題，還可以為場(chǎng)間雷達(dá)與空中雷達(dá)連接方案的制定提供有利參考。

DOI：10.3969/j.issn.1001- 8972.2016.13.019