甘　柳

(1.湖南商學(xué)院財(cái)政金融學(xué)院,湖南 長沙,410205;2.湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長沙 410079)

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常彈性方差下的二級(jí)資本債定價(jià)及銀行資本結(jié)構(gòu)

甘柳1,2

(1.湖南商學(xué)院財(cái)政金融學(xué)院,湖南 長沙,410205;2.湖南大學(xué)金融與統(tǒng)計(jì)學(xué)院,湖南 長沙 410079)

摘要：基于常彈性方差(CEV)模型，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和資產(chǎn)定價(jià)理論，給出了二級(jí)資本債融資下銀行各未定權(quán)益價(jià)值。分析了常彈性方差對(duì)銀行融資策略的影響。數(shù)值結(jié)論表明：高彈性方差銀行的總價(jià)值更低，銀行總價(jià)值隨著現(xiàn)金流的增加而增加，但邊際價(jià)值隨著現(xiàn)金流的增加而遞減。銀行最優(yōu)破產(chǎn)水平和杠桿率隨彈性方差的增加而減少，同時(shí)，高的彈性方差銀行具有較高信用風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。

關(guān)鍵詞：常彈性方差；二級(jí)資本債；資本結(jié)構(gòu)

一、引言

勞埃德銀行集團(tuán)(Lloyds Banking Group)于2009 年 11月首次發(fā)行了或有可轉(zhuǎn)換債券(Contingent Convertible Bonds，CoCos)，之后逐步形成一個(gè)共識(shí)：在銀行資本結(jié)構(gòu)中引入CoCos是避免危機(jī)重演、提高金融機(jī)構(gòu)自我救助（Bail in） 能力的利器。2012年，瑞士將或有資本以法律的形式納入，而《巴塞爾協(xié)議Ⅲ》中將或有資本明確的作為一個(gè)重要概念，并認(rèn)為銀行應(yīng)當(dāng)將或有資本作為重要金融工具進(jìn)行運(yùn)用。最近，一種新型或有可轉(zhuǎn)換債——減記型或有可轉(zhuǎn)換債 （Write-down Contingent Conver-tible Bonds，簡稱 Write-down CoCoBonds，國內(nèi)稱為減記型二級(jí)資本債券）廣受業(yè)界歡迎，在《巴塞爾協(xié)議Ⅲ》中，減記型或有可轉(zhuǎn)換債券被定性為“額外一級(jí)資本”（Additional Tier 1 Capital），是可計(jì)入銀行資本的一級(jí)資本。據(jù)統(tǒng)計(jì)，歐洲有近半已發(fā)行的或有可轉(zhuǎn)換債屬于減記型，在中國，自2013年7月天津?yàn)I海農(nóng)村商業(yè)銀行成功發(fā)行我國第一支總額為15億元的減記型二級(jí)資本債（減記型或有資本）開始，已有39家商業(yè)銀行完成發(fā)行，總額度累計(jì)已超過4000億元。

由于上述原因，自2010年以來，關(guān)于CoCos的設(shè)計(jì)與定價(jià)問題很快成為學(xué)術(shù)界的研究熱點(diǎn)。文獻(xiàn)[1]外生給定轉(zhuǎn)換水平，當(dāng)公司總價(jià)值達(dá)到轉(zhuǎn)換水平時(shí)，CoCos按確定比例轉(zhuǎn)為普通股，定量分析其對(duì)股東風(fēng)險(xiǎn)轉(zhuǎn)移動(dòng)機(jī)和債務(wù)積壓的影響。而文獻(xiàn)[2]研究了當(dāng)公司稅后收益流不能滿足支付其債息時(shí)，CoCos轉(zhuǎn)換為股權(quán)并按預(yù)先確定比例獲得公司凈利潤。文獻(xiàn)[3]考慮由監(jiān)管部門規(guī)定的核心資本比，一旦公司核心資本比不能滿足監(jiān)管最低比例要求，CoCos就按面值進(jìn)行部分轉(zhuǎn)換，直至達(dá)到監(jiān)管要求。文獻(xiàn)[4]假設(shè)宏觀經(jīng)濟(jì)環(huán)境是一個(gè)兩狀態(tài)的馬氏過程，不同狀態(tài)下外生規(guī)定轉(zhuǎn)換觸發(fā)水平不一樣。更多的關(guān)于CoCos研究的文獻(xiàn)，可參看文獻(xiàn)[5]-[8]。

以上研究，采用幾何布朗運(yùn)動(dòng)刻畫企業(yè)收益流，不能較好地刻畫實(shí)際金融市場(chǎng)引申波幅的不對(duì)稱性，而常彈性方差模型（Constant Elasticity of Variance,CEV） 則能彌補(bǔ)這個(gè)缺陷。CEV模型首次是由文獻(xiàn)[9]提出，在這之后CEV模型的研究主要集中于2個(gè)方面，其一，基于CEV模型的最優(yōu)投資組合問題研究，參見文獻(xiàn)[10]～[14]，其二，基于CEV模型的企業(yè)資本結(jié)構(gòu)問題研究，參見文獻(xiàn)[15]。

作為理論擴(kuò)展，本文的主要貢獻(xiàn)在于，在CoCos的研究中引入常彈性方差過程，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃原理和資本資產(chǎn)定價(jià)理論，給出銀行各個(gè)未定權(quán)益價(jià)值，分析常彈性方差對(duì)銀行融資策略的影響。

二、模型框架和基本假設(shè)

假設(shè)銀行現(xiàn)金流服從CEV模型：

其中μ是現(xiàn)金流的期望增長率，且μ（＜r）為常數(shù)，r是無風(fēng)險(xiǎn)利率，是銀行現(xiàn)金流的波動(dòng)率，局部波動(dòng)率與現(xiàn)金流呈負(fù)相關(guān)，這一現(xiàn)象成為“杠桿效應(yīng)”；當(dāng)η＞0，局部波動(dòng)率與現(xiàn)金流呈正相關(guān)，這一現(xiàn)象成為“反杠桿效應(yīng)”。η的經(jīng)濟(jì)意義為局部波動(dòng)率現(xiàn)金流彈性系數(shù)，即

假設(shè)無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，稅率為τ，破產(chǎn)損失率為α，銀行資本包含券息為cs的普通債券（銀行存款）、券息為cc的減記型二級(jí)資本債券以及普通股權(quán)。依據(jù)國內(nèi)發(fā)行的二級(jí)資本債券的減記條款，類似于文獻(xiàn)[2]，本文以銀行收益流少于某一水平作為減記觸發(fā)條件，當(dāng)銀行收益流低于這一水平，所有二級(jí)資本債券的債務(wù)一筆勾銷。

三、銀行證券的定價(jià)

標(biāo)準(zhǔn)的公司證券定價(jià)理論指出：未定權(quán)益的價(jià)值等于其收益流的無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)值在風(fēng)險(xiǎn)中性測(cè)度下的數(shù)學(xué)期望。根據(jù)這一定價(jià)理論，本文為節(jié)省篇幅直接列出公司證券價(jià)格滿足的微分方程、或直接給出價(jià)格表達(dá)式。

1.純股權(quán)融資銀行

為了下文對(duì)比分析需要，本小節(jié)給出純股權(quán)銀行價(jià)值。記Vu(x)為純股權(quán)企業(yè)的稅后價(jià)值，正常運(yùn)營中，純股權(quán)銀行單位時(shí)間(t,t+dt)內(nèi)獲得的收益為(1-τ)Xtdt，其中τ為銀行所得稅率。根據(jù)均衡定價(jià)理論，Vu(x)滿足：

式(2)中Et(g)為在時(shí)刻t的條件期望算子，利用動(dòng)態(tài)規(guī)劃法及伊藤引理得Vu(x)為如下常微分方程的解：

2.杠桿融資銀行

為了對(duì)杠桿銀行證券定價(jià)，需首先明確其收益流情況。由于或有可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換屬性，使得未定權(quán)益的收益需分兩個(gè)階段討論：首先在或有可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)換之前，銀行對(duì)兩種息票支付，原始股權(quán)持有人得到剩余收益；其次在破產(chǎn)之前且轉(zhuǎn)換發(fā)生之后，銀行免去了或有可轉(zhuǎn)換債券的息票支付，股權(quán)持有人得到支付普通債券債息后的剩余收益。

因此，為給出杠桿銀行證券的定價(jià)，本文利用倒向遞推的方法：首先為二級(jí)資本債券減記后的銀行證劵進(jìn)行定價(jià)，然后計(jì)算減記前的價(jià)值。為敘述方便，本文把二級(jí)資本債券減記后的資本價(jià)值用下標(biāo)1標(biāo)示，減記前用下標(biāo)0標(biāo)示。

（1）二級(jí)資本債轉(zhuǎn)換后股東權(quán)益與普通債券的定價(jià)

其中Tb=inf{t:Xt≤Xb}為狀態(tài)變量Xt首次到達(dá)以股權(quán)價(jià)值最大化為目標(biāo)的破產(chǎn)觸發(fā)水平Xb的時(shí)刻。利用式(4)由動(dòng)態(tài)規(guī)劃及伊藤引理得到如下命題。

命題1：若或有可轉(zhuǎn)換債券已經(jīng)發(fā)生了轉(zhuǎn)換但銀行還沒有破產(chǎn)(X≥Xb)，股東權(quán)益價(jià)值滿足如下非線性常微分方程：

三個(gè)邊界條件的經(jīng)濟(jì)含義如下：①表明銀行債務(wù)發(fā)行后，若現(xiàn)金流過度下跌，基于有限責(zé)任，股東將不愿意注入資金以保證債務(wù)利息的支付，而會(huì)根據(jù)自身利益最大化選擇銀行破產(chǎn)，此時(shí)股東權(quán)益價(jià)值為零；②則保證了股東最優(yōu)破產(chǎn)臨界值的選擇；③表明當(dāng)現(xiàn)金流很高時(shí)，銀行持續(xù)運(yùn)營的股權(quán)價(jià)值。

接下來，給出轉(zhuǎn)換后公司普通債務(wù)的定價(jià)。違約前，債權(quán)人持續(xù)得到債息cs，破產(chǎn)時(shí)得到清算價(jià)值，因此債務(wù)價(jià)值由如下命題給出：

命題2：或有可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)換后，如果銀行處于正常運(yùn)營階段，則普通債務(wù)價(jià)值Ds1(x)為如下常微分方程的解：

其邊界條件為1imDs1(x)=cs/r；Ds1(xb)=(1-α)Vu(xb)。

邊界條件的經(jīng)濟(jì)含義如下：1)表示破產(chǎn)時(shí)，債權(quán)人接管公司并獲得清算后的公司剩余價(jià)值；2)表示銀行不存在破產(chǎn)情形下，債權(quán)人獲得永續(xù)的債息收入，此時(shí)債務(wù)價(jià)值為cs/r。

（2） 二級(jí)資本債轉(zhuǎn)換前原始股東權(quán)益與債券的定價(jià)。

假定或有可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換規(guī)則類似于Metaler and Reesor(2011)和 Glasserman and Nouri (2012)，即當(dāng)非杠桿公司價(jià)值的一定比例首次低于債務(wù)面值時(shí)，或有可轉(zhuǎn)換債券必須一次性全部轉(zhuǎn)換成普通股。因此，或有可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換時(shí)間是一個(gè)停時(shí)Ts=inf{t≥0:準(zhǔn)Vu(xc)≤(cs+cc)/r}，從而轉(zhuǎn)換觸發(fā)水平xs滿足：

其中準(zhǔn)∈[0，1]是或有可轉(zhuǎn)換債券合約事先規(guī)定的轉(zhuǎn)換杠桿，事實(shí)上，一旦銀行核心資本比率低于1-準(zhǔn)時(shí)，轉(zhuǎn)換被觸發(fā)。

轉(zhuǎn)換前，對(duì)于原始股東，銀行的正常運(yùn)營使其獲得的息稅后收益動(dòng)態(tài)過程為(1-τ)(x-cc-cs)，轉(zhuǎn)換時(shí)刻Ts則得到合約規(guī)定的公司股權(quán)份額，因此，原始股東的權(quán)益價(jià)值E0(x)滿足：

其中β∈(0,1]為或有可轉(zhuǎn)換債券的轉(zhuǎn)換比率，即轉(zhuǎn)換時(shí)刻債券持有人所擁有的股權(quán)占公司總股權(quán)的比例，刻畫了對(duì)原始股東權(quán)益的稀釋效應(yīng)強(qiáng)度。對(duì)式(5)動(dòng)態(tài)規(guī)劃及伊藤引理,總結(jié)得原始股東權(quán)益價(jià)值滿足如下命題。命題3：或有可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)換前，原始股東權(quán)益價(jià)值E0(x)滿足如下非線性常微分方程：

兩個(gè)邊界條件的經(jīng)濟(jì)含義如下：1)表示若銀行現(xiàn)金流下跌到監(jiān)管部門規(guī)定的轉(zhuǎn)換觸發(fā)水平時(shí)，原始股東獲得合約事先規(guī)定的股權(quán)份額；2)為現(xiàn)金流很高時(shí)的股權(quán)價(jià)值。

對(duì)于或有可轉(zhuǎn)換債券，其價(jià)值Dc(x)包含兩部分：一部分為轉(zhuǎn)換前投資者得到的債息價(jià)值，另一部分為轉(zhuǎn)換時(shí)刻得到合約規(guī)定的公司股權(quán)份額。命題4：轉(zhuǎn)換前，或有可轉(zhuǎn)換債券的價(jià)值Dc(K)為如下常微分方程的解：同時(shí)受限于如下邊界條件

最后，給出轉(zhuǎn)換前公司普通債券的定價(jià)，記其為Ds0(K)。由于普通債權(quán)人仍得到債息cb，因此債務(wù)價(jià)值Ds0(K)。

命題5：或有可轉(zhuǎn)換債券轉(zhuǎn)換前，普通債務(wù)價(jià)值Ds0(K)為如下常微分方程的解：

至此，加總二級(jí)資本債轉(zhuǎn)換前原始股東權(quán)益價(jià)值E0(x)、或有資本價(jià)值Dc(x)和普通債務(wù)價(jià)值Ds0(x)即得公司總價(jià)值V(x)。即

至此，給出了銀行各未定權(quán)益的定價(jià)以及銀行總價(jià)值。

3.最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)

前文已對(duì)股東權(quán)益，或有資本以及普通債券進(jìn)行了定價(jià)，現(xiàn)在轉(zhuǎn)而考慮杠桿融資下銀行的最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題。經(jīng)濟(jì)學(xué)直覺表明銀行在權(quán)衡成本與收益下，會(huì)發(fā)行最優(yōu)債務(wù)融資規(guī)模以最大化公司總價(jià)值。其中，如上分析，收益來自于發(fā)行債務(wù)所帶來的稅收減免以及或有資本轉(zhuǎn)換后無需再支付的部分債息，成本則來自于股權(quán)稀釋與破產(chǎn)損失。本文假定銀行發(fā)行的或有資本量是固定，于是最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)問題在技術(shù)上等價(jià)于求解如下優(yōu)化問題：

四、數(shù)值分析

本小節(jié)給出以上理論結(jié)果的數(shù)值分析。數(shù)值計(jì)算參考經(jīng)典文獻(xiàn)的參數(shù)選取，即無風(fēng)險(xiǎn)利率r=0. 05，資本清算價(jià)格μ=0.01，破產(chǎn)成本α=0.75，銀行所得稅率τ=0.15，銀行初始現(xiàn)金流x0=20，或有可轉(zhuǎn)換債券倍息cs=5，轉(zhuǎn)換率β取已有理論文獻(xiàn)與實(shí)踐中廣泛使用的比率0.4(見文獻(xiàn)[2]，文獻(xiàn)[16]以及文獻(xiàn)[17])，轉(zhuǎn)換杠桿準(zhǔn)=0.95(見文獻(xiàn)[16])。

1.彈性系數(shù)對(duì)銀行價(jià)值的影響

圖1和圖2給出了不同彈性系數(shù)下銀行總價(jià)值V（x)和邊際價(jià)值V'（x)隨現(xiàn)金流x的變化。在不同的彈性系數(shù)下，銀行總價(jià)值隨現(xiàn)金流x單調(diào)遞增，而邊際價(jià)值單調(diào)遞減。CoCos的一個(gè)重要特性是逆周期，這會(huì)起到的“雪中送炭”作用，顯著提升銀行總價(jià)值，CoCos豐富了銀行融資證券，并滿足了不同投資者的投資需要，增加銀行價(jià)值。而從圖1可以看出，隨著彈性系數(shù)的增加，銀行的總價(jià)值是遞減的，因?yàn)殡S著彈性系數(shù)的增加，銀行的局部波動(dòng)率增大，破產(chǎn)概率增大，銀行總價(jià)值減少。圖2表明，彈性系數(shù)越小的銀行，其邊際價(jià)值減少的越快。

圖1　銀行總價(jià)值隨現(xiàn)金流的變化規(guī)律　

圖2　銀行邊際價(jià)值隨現(xiàn)金流的變化規(guī)律

2.彈性系數(shù)對(duì)資本結(jié)構(gòu)的影響

表1給出了不同彈性系數(shù)下的數(shù)值結(jié)果，從第2列可以看到，普通債券的最優(yōu)券息隨著波動(dòng)率彈性系數(shù)的增加，普通債券的最優(yōu)券息是遞減的，彈性系數(shù)會(huì)影響到銀行收益流的波動(dòng)率，彈性系數(shù)的增加會(huì)使得收益流波動(dòng)率更高，故會(huì)降低銀行的最優(yōu)債務(wù)融資，在券息降低的同時(shí)，也可以看到，銀行的杠桿率和普通債的價(jià)值也降低了。券息在給企業(yè)帶來稅盾效應(yīng)的同時(shí)，也提高了破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)，換句話說就是券息與破產(chǎn)水平呈正相關(guān)。

銀行債券收益率差價(jià)(Yield Spread)都是波動(dòng)率的增函數(shù)，原因是隨著波動(dòng)率增加，債權(quán)人需要獲得更高的風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)；其次，含二級(jí)資本債銀行的普通債券收益率差價(jià)比普通公司低，這是因?yàn)橥顿Y含二級(jí)資本債的普通債券投資者面臨損失的概率遠(yuǎn)低于普通公司，自然地投資風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)也低。券息在給企業(yè)帶來稅盾效應(yīng)的同時(shí)，也提高了破產(chǎn)風(fēng)險(xiǎn)。通過表1，可知：最優(yōu)破產(chǎn)水平隨著正波動(dòng)率彈性增加，先遞減后增加。在表1中，當(dāng)時(shí)，股權(quán)價(jià)值；當(dāng)時(shí)，股權(quán)價(jià)值；當(dāng)時(shí)，股權(quán)價(jià)值。正是券息的兩個(gè)效應(yīng)影響股權(quán)價(jià)值。

表1　　不同波動(dòng)率彈性參數(shù)下的企業(yè)最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)

五、結(jié)語

積極預(yù)防金融危機(jī)、維護(hù)銀行等大型金融機(jī)構(gòu)的平穩(wěn)運(yùn)行受到各國政府和監(jiān)管部門的重視。《巴塞爾協(xié)議Ⅲ》規(guī)定,全球各商業(yè)銀行的一級(jí)資本充足率下限將從現(xiàn)行的4％上調(diào)至6％，還要求各銀行增設(shè)“資本防護(hù)緩沖資金”，總額不得低于銀行風(fēng)險(xiǎn)資產(chǎn)的2.5％。為此，國內(nèi)外各大銀行紛紛發(fā)行減記型二級(jí)資本債券。本文在這一重要的前沿研究領(lǐng)域做出了進(jìn)一步的有益探索。

本文在常彈性方差模型下，應(yīng)用均衡定價(jià)理論研究銀行發(fā)行二級(jí)資本債的證券定價(jià)和資本結(jié)構(gòu)問題。在均衡等價(jià)鞅測(cè)度下，市場(chǎng)上所有證券的價(jià)值都等于其收益流以無風(fēng)險(xiǎn)利率貼現(xiàn)的和在等價(jià)鞅測(cè)度下的平均值，并以銀行價(jià)值最大化為目標(biāo)求解其最優(yōu)資本結(jié)構(gòu)。數(shù)值結(jié)果發(fā)現(xiàn)：高彈性方差銀行的總價(jià)值更低，銀行總價(jià)值隨著現(xiàn)金流的增加而增加，但邊際價(jià)值隨著現(xiàn)金流的增加而遞減，銀行最優(yōu)破產(chǎn)水平和杠桿率隨彈性方差的增加先遞減后增加，同時(shí)，高的彈性方差銀行具有較高信用風(fēng)險(xiǎn)溢價(jià)。最后指出，基于常彈性方差模型，考慮隨機(jī)利率或跳風(fēng)險(xiǎn)下的二級(jí)資本債的定價(jià)模型，是進(jìn)一步的研究方向。

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（責(zé)任編輯：羅蕾）

中圖分類號(hào)：F304；F724.72

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1008-2107(2016)01-0008-06

收稿日期：2016－04－25

基金項(xiàng)目：湖南省高?？萍紕?chuàng)新團(tuán)隊(duì)支持計(jì)劃資助。

作者簡介：甘柳（1983—）男，湖南岳陽人，博士生，湖南商學(xué)院財(cái)政金融學(xué)院講師，研究方向：資產(chǎn)定價(jià)與公司金融。

Pricing of Write-down Contingent Capital Bonds and Capital Structure based on Constant Elasticity Process

GAN Liu1,2
(1.School ofFinance,Hunan UniversityofCommerce,Changsha,Hunan 410205; 2.School ofFinance and Statistics,Hunan University,Changsha,Hunan 410079)

Abstract：In this paper we consider bank financing under constant elasticity process.According to the dynamic programming and the capital asset pricing theory,we provide the solution to the values of corporate uncertain claims and Write-down Contingent Capital Bonds.We examine that the impact of constant elasticity on bank optimal capital structure.By numerical analysis,our results show that for bank with high constant elasticity,the total value of bank is high and total value of the bank increases with the cash flow,but marginal value decreases with cash flow.What's more,we find that the optimal default threshold and the leverage ratio decrease with constant elasticity.Bank with high constant elasticity has high credit spread.

Key words：constant elasticity;write-down contingent capital;capital structure