付 敏，李閏閏（武漢工程大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

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一種改進(jìn)的非參數(shù)功率譜估計(jì)方法

付 敏，李閏閏
（武漢工程大學(xué) 理學(xué)院，湖北 武漢 430074）

摘 要：針對(duì)功率譜估計(jì)方法中的基于離散傅里葉變換的周期圖法，提出了改進(jìn)的非參數(shù)化方法中的分段平均周期圖法.在信號(hào)處理過(guò)程中給出宏觀功率譜的分析結(jié)果，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測(cè)試，給出測(cè)試情況以及對(duì)測(cè)試結(jié)果的分析.對(duì)比經(jīng)典譜估計(jì)方法中的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)方法和快速傅立葉變化設(shè)計(jì)的功率譜分析，改進(jìn)的非參數(shù)化方法更為合理有效.

關(guān)鍵詞：周期圖法；功率譜估計(jì)

針對(duì)功率譜估計(jì)方法中的基于離散傅里葉變換的周期圖法，提出了改進(jìn)的非參數(shù)化方法中的分段平均周期圖法.在信號(hào)處理過(guò)程中給出宏觀功率譜的分析結(jié)果，并設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)進(jìn)行測(cè)試，給出測(cè)試情況以及對(duì)測(cè)試結(jié)果的分析.對(duì)比經(jīng)典譜估計(jì)方法中的自相關(guān)函數(shù)估計(jì)方法和快速傅立葉變化設(shè)計(jì)的功率譜分析，改進(jìn)的非參數(shù)化方法更為合理有效.

快速傅里葉變換算法在信號(hào)領(lǐng)域中得到了廣泛的應(yīng)用，包括譜分析、線性濾波、相關(guān)計(jì)算等.針對(duì)復(fù)序列進(jìn)行頻譜分析，得到幅值和相位.

在實(shí)際的功率譜的研究中，當(dāng)幅值的改變不大的時(shí)，相位譜的變化卻是十分明顯的，但是相位的改變并未有十分重大的改變，利用快速傅里葉變換將功率譜表示出來(lái)具有實(shí)際的重要作用，可以描繪一個(gè)信號(hào)的實(shí)際幅值與相位譜變化.當(dāng)然在操作過(guò)程中由于采樣頻率的限制會(huì)將直接影響信號(hào)描述圖像的真實(shí)程度，但是還是夠?qū)⑿盘?hào)的變化趨勢(shì)描繪出來(lái).

1 自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法

自相關(guān)函數(shù)估計(jì)法是一種經(jīng)典的功率譜估計(jì)方法，由Blackman和Turkey于1958年提出，故稱(chēng)BT法.

由于x（n）只有N個(gè)觀測(cè)值，因此對(duì)于每一個(gè)固定延遲m,可以利用的數(shù)據(jù)只有（N-|m|-1）個(gè)，且在［0,N-1］范圍內(nèi)，所以實(shí)際計(jì)算?xx（m）為

考慮乘積項(xiàng)的長(zhǎng)度，自相關(guān)序列估計(jì)為

式中，m取絕對(duì)值是因?yàn)?xx（m）=?xx（-m），由于信號(hào)的功率譜與相關(guān)函數(shù)互為傅里葉變換關(guān)系，因此，信號(hào)的功率譜可以先通過(guò)對(duì)自相關(guān)函數(shù)估計(jì)，然后按照公式做傅里葉變化得到功率譜估計(jì)值.

2 周期圖法

周期圖法是直接將離散信號(hào)x（n）進(jìn)行傅里葉變換來(lái)求取功率譜的估計(jì).設(shè)x（n）為有限長(zhǎng)隨機(jī)信號(hào)的序列，其功率譜估計(jì)可表示為

式中,

即XN（w）是有限長(zhǎng)序列x（n）的傅里葉變化.而且XN（w）是成周期性的.直接用XN（w）的模的平方除以N求得功率譜的估計(jì)稱(chēng)為周期圖，用IN（w）表示為

如果x（n）的N個(gè)值為x（0）,x（1）,…x（N-1），則通過(guò)快速傅里葉變換可直接求得XN（ejw）,再求得（w）.這種方法的主要優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算簡(jiǎn)便，它可以直接用FFT算法從x（n）得到XN（ejw），從而得到（w）.

利用FFT算法求信號(hào)x（t）=sin（2πf1t）+cos（2πf2t）+u（t）的功率譜，其中，f1=40Hz,f2=80Hz,u（t）為白噪聲，采樣頻率fs=1kHz,信號(hào)長(zhǎng)度去256和1024.

圖2-1 功率譜分析

周期圖當(dāng)N→∞時(shí)是無(wú)偏的，但周期圖不滿足于一致估計(jì)的條件，因此，周期圖不是對(duì)功率譜最好的估計(jì).對(duì)于無(wú)限能量的隨機(jī)序列，其傅里葉變化是不存在的，因此在N→∞的極限情況下是不可能使用的.所以，也就不能期望當(dāng)N→∞時(shí)，IN（w）會(huì)等于他的真值（w）而滿足一致估計(jì)的條件.

3 改進(jìn)的非參數(shù)化方法

為了使周期圖滿足一致估計(jì)的條件，必須將周期圖進(jìn)行平滑處理.而其主要的平滑方法有兩種方式，一種是先將數(shù)據(jù)進(jìn)行分段，然后再求各段周期圖的平均值.這種方法又稱(chēng)為Bartkett的方法.第二種是要選擇合適的窗函數(shù)作為加權(quán)函數(shù)進(jìn)行加權(quán)平均來(lái)加快收斂的速度.而 Welch和Bartkett的方法進(jìn)行可以改進(jìn)，提出用FFT計(jì)算的具體方法.

圖3-1 改進(jìn)的非參數(shù)方法處理結(jié)果

在實(shí)際中，功率譜的密度的真值是未知的，但功率譜的窗函數(shù)和功率譜密度的一些信息往往是預(yù)先知道的.可以通過(guò)改變M和L以及利用預(yù)先已知的條件，可以更好的選擇分段和窗函數(shù).

對(duì)信號(hào)x（n）進(jìn)行重疊的分段是平均周期圖法.例如按重疊分段，前一段信號(hào)和后一段的信號(hào)相互重疊一半，這樣可以對(duì)每一小段的信號(hào)序列進(jìn)行功率譜估計(jì)，再取平均值作為整個(gè)序列x（n）的功率譜估計(jì)，重疊分段的估計(jì)曲線一般會(huì)更平滑.

4 結(jié)論

先用了快速傅立葉變化設(shè)計(jì)的功率譜的原理進(jìn)行了理論設(shè)計(jì)和結(jié)果預(yù)測(cè)，然后應(yīng)用實(shí)際信號(hào)進(jìn)場(chǎng)處理.周期圖有個(gè)缺點(diǎn)就是頻率的分辨率低，周期圖發(fā)在計(jì)算中，把觀察到的有限長(zhǎng)的N個(gè)數(shù)據(jù)以外的數(shù)據(jù)都認(rèn)為是零.這顯然是與事實(shí)不相符的，從而會(huì)導(dǎo)致結(jié)果的失真.所以必須要對(duì)周期圖進(jìn)行平滑處理，并在改進(jìn)的非參數(shù)頻譜估計(jì)方法中應(yīng)用平均周期圖的方法，試驗(yàn)結(jié)果很理想.

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中圖分類(lèi)號(hào)：TP309.7

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1673-260X（2016）05-0017-02

收稿日期：2016-03-05