段　偉，閆　利

武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079

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融合圖像的頻率定量分析及其空間分辨率的確定方法

段偉，閆利

武漢大學(xué)測繪學(xué)院，湖北 武漢 430079

摘要：圖像融合是獲取高質(zhì)量圖像的重要步驟之一，本文首先在頻域中進(jìn)行公式推導(dǎo)，根據(jù)高采樣率奈奎斯特頻率、低采樣率奈奎斯特頻率和信號(hào)頻率三者之間的關(guān)系給出了圖像融合前后信號(hào)頻率的變化規(guī)律,然后以此為依據(jù)對(duì)融合圖像的頻率進(jìn)行定量分析并確定圖像空間分辨率,研究認(rèn)為高分辨率圖像中頻率位于高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率之間的頻率信息為高頻信息。最后結(jié)合常用的融合方法和遙感圖像對(duì)本文提出的觀點(diǎn)進(jìn)行驗(yàn)證，試驗(yàn)結(jié)果表明本文得到的結(jié)論與試驗(yàn)中的結(jié)果是符合的。

關(guān)鍵詞：圖像融合；信號(hào)頻率；分辨率；地物頻率；傅里葉變換；奈奎斯特頻率

遙感圖像融合是將不同傳感器對(duì)同一目標(biāo)的圖像經(jīng)過一定的處理方式最終綜合成一幅圖像的技術(shù),同時(shí)也可以看作是一幅圖像在保留自身有用信息的基礎(chǔ)上加入了新的有用信息,其中最典型的應(yīng)用就是遙感影像中全色圖像與多光譜圖像的融合，融合后的圖像能更加準(zhǔn)確和全面地描述所研究的對(duì)象[1]。

圖像融合的方法眾多，不同的融合方法得到的融合效果也各不相同[2-3]。圖像融合方法可以分為像素級(jí)、特征級(jí)和決策級(jí)3種類型，這其中像素級(jí)的融合方法適應(yīng)性最強(qiáng)，也是最常用的融合方法，本文中重點(diǎn)討論像素級(jí)的融合方法。像素級(jí)的融合方法一般都需要將低分辨率圖像進(jìn)行重采樣，使低分辨率圖像與高分辨率圖像有相同的尺寸大小。像素級(jí)的融合方法可以根據(jù)其融合的思路進(jìn)一步分為3類，基于成分替換的融合方法[4-5]、基于模型的融合方法[6-9]和基于多分辨率分析的融合方法[10-11]。不過雖然融合的思路有差異，但最終融合的效果一般都是將高頻信息作為新加入的有用信息采用一定的融合方法與低分辨率圖像融合在一起[12-13]。這其中對(duì)圖像中的地物頻率進(jìn)行分析以及定量的確定高頻信息是能否得到高質(zhì)量融合圖像的重要步驟,同時(shí)圖像信號(hào)頻率與圖像分辨率之間有很重要的聯(lián)系，在用不同分辨率的圖像融合時(shí)，需要定量的確定融合前后圖像中的分辨率從而能夠達(dá)到最好的融合效果。

目前，人們關(guān)注比較多的問題是圖像融合的方法和圖像融合后的圖像質(zhì)量，而對(duì)融合圖像中地物頻率的變化研究較少。本文結(jié)合多種圖像融合的方法首先從水平方向?qū)D像融合前后頻率的變化進(jìn)行了分析和公式推導(dǎo)，然后將其擴(kuò)展到二維，給出了不同分辨率圖像進(jìn)行圖像融合后頻率的變化規(guī)律，最后結(jié)合遙感圖像對(duì)本文中的結(jié)論進(jìn)行了驗(yàn)證。

1信號(hào)頻率分析

本文中首先采用水平方向的圖像信號(hào)作為重點(diǎn)研究的對(duì)象，使用傅里葉變換將圖像信號(hào)從空域轉(zhuǎn)化到頻域，對(duì)圖像融合前后的信號(hào)頻率進(jìn)行分析。在實(shí)際應(yīng)用中，進(jìn)行融合的圖像頻率往往是沒有固定范圍的，而且融合之前要進(jìn)行配準(zhǔn)和重采樣的過程。根據(jù)奈奎斯特定理，需要離散系統(tǒng)的奈奎斯特頻率高于被采樣信號(hào)的最高頻率或帶寬，才能避免混疊現(xiàn)象。本文中根據(jù)高采樣率奈奎斯特頻率、低采樣率奈奎斯特頻率和信號(hào)頻率三者之間的關(guān)系進(jìn)行分類討論。

設(shè)正弦信號(hào)的表達(dá)式為

F(x)=Asin(2πfx+φ)

(1)

式中，A為振幅；f為頻率；φ為相位。圖像融合中使用不同采樣率對(duì)信號(hào)進(jìn)行采樣，設(shè)高采樣率為F1，低采樣率為F2，高采樣率得到的信號(hào)為g1(x)，低采樣率得到的信號(hào)為g2(x)，融合的過程可以看作是兩種不同采樣率得到信號(hào)的疊加，不同的融合方法使用的疊加方法也不同，這里用下式表示融合的過程

(2)

因?yàn)樾盘?hào)頻率的2倍2f、高采樣率F1和低采樣率F2三者之間的關(guān)系對(duì)融合后的頻率有很重要的影響，下面分為2f

當(dāng)2f

g1(x)=Asin(2πfx+φ)

(3)

g2(x)=Asin(2πfx+φ)

(4)

融合后的表達(dá)式為

G=Asin(2πfx+φ)

(5)

當(dāng)F2<2f

g1(x)=Asin(2πfx+φ)

(6)

g2(x)的表達(dá)式為

(7)

式中，x為正整數(shù)，公式(7)可以進(jìn)一步表示為

(8)

(9)

(10)

當(dāng)F1<2f時(shí)，高采樣率和低采樣率均不能準(zhǔn)確獲得信號(hào)頻率，則融合后的表達(dá)式為

(11)

表1　不同采樣率得到的信號(hào)頻率

通過表1可以看到圖像融合對(duì)圖像質(zhì)量的改變主要體現(xiàn)在F2<2f

2地物的頻率分析

將地物作為矩形脈沖看待，以水平方向作為研究對(duì)象，設(shè)非周期矩形脈沖信號(hào)的表達(dá)式為

(12)

由傅里葉變換，可得

(13)

考慮到信號(hào)的頻譜分量主要集中在零頻到第一個(gè)過零點(diǎn)之間，此寬度一般作為有效帶寬，因此對(duì)于遙感圖像寬度為m的地物，其有效帶寬為2π/m，傳感器采樣距離為H時(shí)其對(duì)應(yīng)的采樣頻率為2π/H。同時(shí)由公式(13)可以看到雖然主要地物頻率為2π/m，但矩形波在頻域是無限延伸的，即表1中頻率變化范圍的3種不同情況都會(huì)在融合圖像中出現(xiàn)。因此由之前的分析可知當(dāng)對(duì)高分辨率圖像和低分辨率圖像進(jìn)行融合時(shí)，在融合方法和地物相同的情況下，對(duì)于同一低分辨率圖像，高分辨率圖像和低分辨率圖像的分辨率相差越大，則融合圖像與低分辨率圖像相比圖像質(zhì)量的提升程度也越大。對(duì)于同一高分辨率圖像，當(dāng)高分辨率圖像和低分辨率圖像的分辨率存在兩倍關(guān)系時(shí)，融合圖像與高采樣率圖像相比圖像質(zhì)量最為接近。

3試驗(yàn)

根據(jù)高采樣率奈奎斯特頻率、低采樣率奈奎斯特頻率和信號(hào)頻率的關(guān)系，分為高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率均大于信號(hào)頻率、信號(hào)頻率位于高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率之間，以及高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率均小于信號(hào)頻率3種情況對(duì)水平方向的信號(hào)頻率變化進(jìn)行討論。

3.1高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率均大于信號(hào)頻率

設(shè)試驗(yàn)中圖像信號(hào)的頻率為10 Hz，幅度為1，相位設(shè)為0，信號(hào)長度為固定值，高采樣頻率為256 Hz，低采樣頻率為128 Hz，如圖1所示，上圖為高采樣率圖像，下圖為低采樣率圖像，其對(duì)應(yīng)的幅度-頻率曲線如圖2所示。

圖1　高采樣率圖像與低采樣率圖像Fig.1　High sampling rate image and low sampling rate image

圖2　融合前的幅度-頻率圖Fig.2　The amplitude-frequency diagram before image fusion

圖2中左圖為高采樣率圖像，右圖為低采樣率圖像，從圖中可以看到高采樣率圖像和低采樣率圖像中信號(hào)頻率相同。融合之前要對(duì)低采樣率圖像進(jìn)行重采樣，以達(dá)到與高采樣率相同的采樣率，重采樣后的圖像頻率與重采樣前相同。將高采樣率圖像與重采樣后的圖像進(jìn)行haar小波融合[14]、梯度金字塔融合[15]、拉普拉斯金字塔融合[16]、FSD金字塔融合、PCA方法融合[17]、DBSS小波融合[18]得到圖像的幅度-頻率圖如圖3所示。

圖3　融合后的圖像與幅度-頻率圖Fig.3　The amplitude-frequency diagram after image fusion

圖3(a)為haar小波融合、(b)為梯度金字塔融合、(c)為拉普拉斯金字塔融合、(d)為FSD金字塔融合、(e)為PCA方法融合、(f)為DBSS小波融合。由圖3可以發(fā)現(xiàn)融合后信號(hào)的頻率沒有發(fā)生變化，即高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率均大于信號(hào)頻率的情況下圖像融合的處理不會(huì)影響圖像中的信號(hào)頻率，但不同的融合方法會(huì)使融合后的信號(hào)幅度有所區(qū)別。

3.2信號(hào)頻率位于高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率之間

設(shè)試驗(yàn)中圖像信號(hào)的頻率為100 Hz，幅度為1，信號(hào)長度為固定值，高采樣頻率仍為256 Hz，低采樣頻率仍為128 Hz，對(duì)低采樣率的圖像進(jìn)行重采樣，將高采樣率圖像與重采樣后的低采樣率圖像進(jìn)行haar小波融合、梯度金字塔融合、拉普拉斯金字塔融合、FSD金字塔融合、PCA融合、DBSS小波融合，得到的信號(hào)頻率見表2。

表2信號(hào)頻率位于高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率之間時(shí)的融合結(jié)果

Tab.2The fusion results when signal frequency is greater than Nyquist frequency of low sampling rate and less than Nyquist frequency of high sampling rate

Hz

由表2可以發(fā)現(xiàn)融合后信號(hào)的頻率有兩個(gè)峰值。這是因?yàn)殡m然高采樣率圖像能夠準(zhǔn)確獲取信號(hào)頻率，但是低采樣率的圖像欠采樣導(dǎo)致其不能準(zhǔn)確獲得信號(hào)頻率，使本應(yīng)該在同一頻率下進(jìn)行的圖像融合在不同頻率的信號(hào)之間進(jìn)行，融合后兩種不同的頻率都會(huì)融合進(jìn)圖像中，同時(shí)幅度相較于融合前會(huì)有所降低。

3.3高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率均小于信號(hào)頻率

設(shè)試驗(yàn)中圖像信號(hào)的頻率為200 Hz，幅度為1，信號(hào)長度為固定值，高采樣頻率為256 Hz，低采樣頻率為128 Hz，將高采樣率圖像與重采樣后的圖像進(jìn)行haar小波融合、梯度金字塔融合、拉普拉斯金字塔融合、FSD金字塔融合、PCA方法融合、DBSS小波融合，融合結(jié)果見表3。

表3高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率均小于信號(hào)頻率時(shí)的融合結(jié)果(高采樣率是低采樣率的2倍)

Tab.3The fusion results when the Nyquist frequency of high sampling rate and the Nyquist frequency of low sampling rate are less than the signal frequency(high sampling rate is 2 times higher than the low sampling rate)

Hz

表4高采樣率奈奎斯特頻率和低采樣率奈奎斯特頻率均小于信號(hào)頻率時(shí)的融合結(jié)果(高采樣率與低采樣率無倍數(shù)關(guān)系)

Tab.4The fusion results when the Nyquist frequency of high sampling rate and the Nyquist frequency of low sampling rate are less than the signal frequency(There is no multiple relationship between high sampling rate and low sampling rate)

Hz

由表4可以看到，當(dāng)高采樣率和低采樣率不滿足兩倍關(guān)系時(shí)，融合后的圖像將同時(shí)具有兩種信號(hào)頻率。通過試驗(yàn)可知本文中對(duì)于信號(hào)頻率公式的推導(dǎo)是正確的。

為了進(jìn)一步驗(yàn)證本文中的結(jié)論，使用PCA融合算法對(duì)不同來源和背景的全色圖像和多光譜圖像進(jìn)行融合，使用圖像的來源分別為資源三號(hào)圖像[19]、DigitalGlobe網(wǎng)站公開的影像產(chǎn)品樣例數(shù)據(jù)和ETM+圖像，試驗(yàn)結(jié)果如圖4。

圖4(a)圖為資源三號(hào)全色影像，分辨率為2.1 m；(b)圖為資源三號(hào)多光譜影像，分辨率為5.8 m；(c)圖為PCA融合圖像；(d)和(e)為來自于DigitalGlobe網(wǎng)站公開的影像產(chǎn)品樣例數(shù)據(jù)，(d)為全色影像，分辨率為0.5 m，(e)為多光譜影像，分辨率為1.8 m；(f)為PCA融合圖像；(g)為ETM+全色影像，分辨率為15 m；(h)為ETM+345波段影像，分辨率為30 m；(i)為PCA融合圖像。使用均值、標(biāo)準(zhǔn)差、信息熵、平均梯度[20]對(duì)融合前后的圖像進(jìn)行評(píng)價(jià)，如表5。

其中，圖像均值反映圖像的平均亮度，如果均值適中，則表明視覺效果良好。圖像方差是圖像整體灰度值偏離其均值的程度，是表示圖像對(duì)比度大小的指標(biāo)，也能表示圖像信息量的大小，圖像方差越大，圖像的動(dòng)態(tài)范圍就越大。圖像的信息熵是表達(dá)圖像信息量大小信息豐富程度的一個(gè)主要指標(biāo)，從圖像直方圖的角度看，直方圖分布越平坦均勻，圖像信息熵就越大，當(dāng)圖像所有灰度級(jí)分布概率都相同時(shí)(即每個(gè)灰度級(jí)的像素個(gè)數(shù)都相同時(shí))，即直方圖為平行于灰度軸的一條直線時(shí)，圖像信息熵達(dá)到最大值。融合圖像的信息越大，表明融合圖像的信息量就越大越豐富。平均梯度也稱為清晰度，一般平均梯度越大，圖像層次越豐富，則圖像就越清晰。平均梯度反映影像的清晰度，同時(shí)也表達(dá)圖像中的微小細(xì)節(jié)反差和紋理變化特征。方差、信息熵、平均梯度也是對(duì)圖像中頻率信息的重要體現(xiàn)。

圖4　全色圖像、多光譜圖像和PCA融合圖像Fig.4　The panchromatic images, multi-spectral images and fused images by PCA

圖像均值標(biāo)準(zhǔn)差平均梯度信息熵a136.201565.398716.34873.0641b111.268461.66105.31764.8860c126.357462.068711.97543.9045d181.635259.348128.83651.2615e153.674043.268421.63541.5684f159.302545.654123.36981.4567g136.207427.746111.18534.9941h70.196219.65236.95106.0869i135.689625.00199.98105.1477

由表5可知在都使用PCA融合方法的情況下，(c)圖相比于(b)圖圖像質(zhì)量的提升程度要大于(f)圖相比于(e)圖，這是因?yàn)?b)圖與(a)圖分辨率的差距相較于(e)圖與(d)圖分辨率的差距更近。同時(shí)也可以發(fā)現(xiàn)(i)圖與(g)圖圖像質(zhì)量的差距相較于其他兩組圖像更近，這是因?yàn)榉直媛收檬莾杀蛾P(guān)系的原因。

4結(jié)論

本文從圖像水平方向進(jìn)行研究，對(duì)融合圖像的頻率變化進(jìn)行了公式推導(dǎo)和試驗(yàn)分析，通過試驗(yàn)可以得到以下結(jié)論：

(2) 將地物作為矩形脈沖看待，以水平方向作為研究對(duì)象，對(duì)于遙感圖像寬度為m的地物，其有效帶寬為2π/m，而矩形波在頻域是無限延伸的，2f

(3) 當(dāng)對(duì)高分辨率圖像和低分辨率圖像進(jìn)行融合時(shí)，在融合方法和地物相同的情況下，對(duì)于同一低分辨率圖像，高分辨率圖像和低分辨率圖像的分辨率相差越大，則融合圖像與低分辨率圖像相比圖像質(zhì)量的提升程度也越大。對(duì)于同一高分辨率圖像，當(dāng)高分辨率圖像和低分辨率圖像的分辨率存在兩倍關(guān)系時(shí)，融合圖像與高采樣率圖像相比圖像質(zhì)量最為接近。

在實(shí)際應(yīng)用中，應(yīng)結(jié)合人們對(duì)融合圖像的需要選擇合適分辨率的圖像和融合方法以達(dá)到最佳的融合效果，本文的研究結(jié)論對(duì)如何通過融合得到更高質(zhì)量的圖像有一定的指導(dǎo)意義。

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(責(zé)任編輯：宋啟凡)

修回日期： 2016-04-06

First author： DUAN Wei(1987—),male PhD candidate,majors in remote sensing information processing and analysis.

E-mail： Duanww08@163.com

Quantitative Analysis in Frequency Domain and Determination of Spatial Resolution in Image Fusion

DUAN Wei,YAN Li

School of Geodesy and Geomatics, Wuhan University, Wuhan 430079, China

Abstract：Image fusion is one of the important steps to obtain high quality images.In this paper, the variation of signal frequency in image fusion is given according to the relationship between Nyquist frequency of high sampling rate,Nyquist frequency of low sampling rate and signal frequency.Then the frequency of the fused images is quantifying and the spatial resolution of the image is determined based on the the variation of signal frequency in image fusion.The high frequency information in the high resolution image is the information with the frequency between the Nyquist frequency of high sampling rate and the Nyquist frequency of low sampling rate.Finally, some fusion methods and remote sensing images are used to validate the proposed method. The experimental results show that the results obtained are consistent with the results of the experiment.

Key words：image fusion;signal frequency; resolution;object frequency;Fourier transform; Nyquist frequencyFoundation support： The National Key Technology Research and Development Program of the Ministry of Science and Technology of China(No.2012BAJ23B03)

中圖分類號(hào)：P237

文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A

文章編號(hào)：1001-1595(2016)06-0691-07

基金項(xiàng)目：國家科技支撐計(jì)劃(2012BAJ23B03)

收稿日期：2015-03-19

第一作者簡介：段偉(1987—)，男，博士生，研究方向?yàn)檫b感信息處理與分析。

引文格式：段偉,閆利.融合圖像的頻率定量分析及其空間分辨率的確定方法[J].測繪學(xué)報(bào)，2016,45(6)：691-697. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150146.

DUAN Wei,YAN Li.Quantitative Analysis in Frequency Domain and Determination of Spatial Resolution in Image Fusion[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(6):691-697. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150146.