范　千，張　寧

1. 福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建 福州 350108； 2. 桂林理工大學(xué)廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541004； 3. 精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局重點實驗室，湖北 武漢 430079； 4. 閩江學(xué)院物理學(xué)與電子信息工程系，福建 福州 350108

?

改進的果蠅優(yōu)化與Tikhonov正則化相結(jié)合的病態(tài)問題穩(wěn)健解法

范千1,2,3，張寧4

1. 福州大學(xué)土木工程學(xué)院，福建 福州 350108； 2. 桂林理工大學(xué)廣西空間信息與測繪重點實驗室，廣西 桂林 541004； 3. 精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局重點實驗室，湖北 武漢 430079； 4. 閩江學(xué)院物理學(xué)與電子信息工程系，福建 福州 350108

Foundation support： National Natural Science Foundation of China(No.41404008); Open Foundation of Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatics (No.1103108-21)；Open Foundation of Key Laboratory of Precise Engineering and Industry Surveying of National Administration of Surveying, Mapping and Geoinformation (No.PF2015-12); Open Foundation of Jiangxi Province Key Lab for Digital Land(DLLJ201408)；Science and Technology Development Foundation of Fuzhou University(No.2014-XQ-33)

摘要：在對基本果蠅優(yōu)化算法的優(yōu)化流程進行深入分析的基礎(chǔ)上，通過改變其隨機搜索方向與增加搜索半徑調(diào)整系數(shù)，給出了一種改進的果蠅優(yōu)化算法(IFOA)。并在IFOA算法的目標函數(shù)中引入正則化項，提出了將IFOA算法與Tikhonov正則化方法進行結(jié)合以進行病態(tài)問題解算的方法。通過實例分析表明：該方法的解算精度要優(yōu)于遺傳算法和單一的Tikhonov正則化方法；在觀測值含有粗差時，使用最小二乘法進行求解，其結(jié)果與真值的偏差會迅速增大，而此時本文方法的解算結(jié)果具有一定的穩(wěn)健性。與以遺傳算法為代表的智能搜索方法相比，本文方法具有參數(shù)設(shè)置少、計算速度快、尋優(yōu)過程簡單等特點，在病態(tài)問題解算中更具有實用性。

關(guān)鍵詞：果蠅優(yōu)化算法;隨機搜索方向;Tikhonov正則化方法;病態(tài)問題解算;粗差

病態(tài)問題廣泛存在于GPS快速精密定位、地球物理參數(shù)反演、重力場向下延拓等大地測量數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域。病態(tài)問題的危害性極大，對觀測模型的法方程應(yīng)用最小二乘估計進行求解時，其解很不穩(wěn)定，與實際參數(shù)真值相差較大。另外當觀測值中含有粗差時，此時參數(shù)求解的結(jié)果更加偏離真值，嚴重影響了解算成果的質(zhì)量。為此，需研究既能對病態(tài)問題進行有效處理又能抵御觀測值粗差影響的穩(wěn)健解算方法。

病態(tài)問題之所以求解結(jié)果和真值相差較大，是由于其對應(yīng)模型法方程系數(shù)陣的條件數(shù)比較大，對其求逆時放大了誤差的影響。目前已有多種方法可對其進行有效解算，總結(jié)起來大致可分為兩類：一類是通過對法方程的系數(shù)陣進行相關(guān)處理，以減弱法方程病態(tài)性，其常用方法有截斷奇異值法[1]與Tikhonov正則化方法[2]；一類是不對法方程進行求解，而是直接利用觀測模型構(gòu)造出目標函數(shù)進行智能搜索，即將病態(tài)問題解算轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)優(yōu)化問題，避免了法方程的求逆計算，進而獲得近似最優(yōu)解，當今的主流方法有遺傳算法[3]、粒子群優(yōu)化算法[4]等。但是對于第1類方法中的截斷奇異值法，存在對奇異值截斷位置比較敏感的問題；而Tikhonov正則化方法存在著正則化參數(shù)的選取和正則化矩陣難以確定的缺點。第2類智能搜索方法近些年來研究較多，但在實際應(yīng)用中，其代表性的遺傳算法存在收斂速度慢、易陷入局部最優(yōu)等問題[5]；粒子群優(yōu)化算法存在進化后期收斂速度降低、局部搜索能力差等缺陷[6]。

對于病態(tài)問題中觀測值存在粗差的情形，一些學(xué)者也對此進行了研究，提出了如抗差嶺估計[7]、抗差泛嶺估計[8]、抗差主成分估計[9]等比較有效的方法，但解算精度并不太高。

本文不同于以上解算思路，提出在對一種群體智能算法——果蠅優(yōu)化算法進行有效改進后，將其引入至病態(tài)問題解算中來。又考慮到Tikhonov正則化方法本身具有既能克服病態(tài)性又可以在一定程度上抑制噪聲和誤差影響的特點[10]，將這兩者有機地進行結(jié)合，不僅可以提高病態(tài)問題的解算精度，還可以在一定程度上抵御觀測值粗差對解算結(jié)果的影響。本文以實際算例驗證該方法在進行病態(tài)問題解算中的可行性、有效性與穩(wěn)健性。

1病態(tài)方程解算的數(shù)學(xué)模型

對于觀測方程

(1)

其在最小二乘(LS)準則下對應(yīng)的法方程為

(2)

2Tikhonov正則化方法的基本原理

Tikhonov正則化方法是當前病態(tài)問題解算中應(yīng)用普遍性最高的一種方法。其估計準則為

(3)

根據(jù)Tikhonov估計準則，令R=In，則式(3)的解為

Xreg=(ATA+λ2In)-1ATL

(4)

從式(4)可以看出，Tikhonov正則化解的關(guān)鍵在于確定正則化參數(shù)λ，目前正則化參數(shù)的選取準則主要有嶺跡法[11]、L曲線法[12-13]、廣義交叉檢驗(GCV)法[14]等。而嶺跡法在選擇參數(shù)時具有一定的主觀隨意性，GCV法的缺點在于其GCV函數(shù)的變化有時較為平緩，此時定位其最小值非常困難[15]。相對而言，L曲線法確定正則化參數(shù)的理論非常嚴密，定位也比較準確[15]。為此，本文將L曲線法選用為Tikhonov正則化參數(shù)的確定方法。

3基本果蠅優(yōu)化算法及其改進算法

3.1基本果蠅優(yōu)化算法的原理

文獻[16]提出一種新的群體智能算法——果蠅優(yōu)化算法(fruitflyoptimizationalgorithm，F(xiàn)OA)，這是一種基于果蠅覓食行為而推演出的搜索全局最優(yōu)的方法[16]?；綟OA方法尋優(yōu)的基本步驟如下：

(1) 設(shè)置果蠅種群大小與最大迭代次數(shù)，并隨機初始化果蠅種群的初始位置(Xaxis,Yaxis)。

(2) 賦予果蠅個體利用嗅覺搜尋食物的隨機方向η，其位置為：Xi=Xaxis+η，Yi=Yaxis+η。

(4) 將氣味濃度判定值Si引入氣味濃度判定函數(shù)(即需優(yōu)化問題的目標函數(shù))，求取出該位置的氣味濃度Si,smell=function(Si)。

(5) 找到果蠅種群中氣味濃度最高或最低的果蠅個體(對應(yīng)目標函數(shù)極大或極小值，本文為求極小值)，并記錄其編號：[Sbestsmell,bbestindex]=min(Si,smell)。

(6) 保留最佳的氣味濃度值及該果蠅的位置坐標，此時果蠅群體內(nèi)的各個體利用視覺向該位置飛去：Ssmellbest=Sbestsmell，Xaxis=X(bbestindex)，Yaxis=Y(bbestindex)。

(7) 進入循環(huán)迭代過程，此時已保留的果蠅位置坐標成為新一次迭代尋優(yōu)的果蠅群體初始位置。執(zhí)行步驟(2)到(5)，判斷氣味濃度值Ssmellbest是否小于所記錄最優(yōu)值，若是，則執(zhí)行步驟(6)。否則返回步驟(2)進行下一次迭代。

由上述基本FOA方法的尋優(yōu)過程可以發(fā)現(xiàn)，其參數(shù)設(shè)置非常少(只有種群大小和最大迭代次數(shù)兩個參數(shù))，相應(yīng)的運算速度也較快并易于程序?qū)崿F(xiàn)。

3.2基本FOA算法存在的問題

(1) 已有的文獻表明基本FOA算法可以有效地處理線性優(yōu)化問題，但本文進行病態(tài)問題解算時，其目標函數(shù)都為非線性函數(shù)，因此需要進一步了解基本FOA算法在處理非線性函數(shù)時的性能。

文獻[16]中采用基本FOA算法處理了兩種簡單的非線性優(yōu)化函數(shù)maxY=2-x2與minY=-5+x2，其尋優(yōu)結(jié)果非常理想，得到了非常好的處理效果。但本文作者將目標函數(shù)變?yōu)閙inY=-5+(x+1)2時，卻始終不能準確搜索到該函數(shù)的極小值。為此，本文又處理兩個有代表性的具有非零極值點的非線性測試函數(shù)：Shuber函數(shù)和Branin函數(shù)，經(jīng)過改變種群數(shù)目、迭代次數(shù)等處理手段后，始終無法找到正確的極值位置?；诖?，可以分析得到：基本FOA算法不能處理極值點為非零的非線性函數(shù)，只能對其示例給出的極值點為零的函數(shù)有效。

(2) 對基本FOA算法流程進行深入分析，可以發(fā)現(xiàn)FOA尋優(yōu)過程是將氣味濃度判定值Si作為極值點(即觀測方程中的待估參數(shù)xi)代入目標函數(shù)進行處理的，而Si作為距離的倒數(shù)，始終保持Si>0，這也意味著FOA算法不能處理參數(shù)為負數(shù)的問題[17]。而在大地測量病態(tài)問題中，其觀測方程中待估參數(shù)為負數(shù)是極其常見的情況，因此只有解決了這一問題才能將FOA算法應(yīng)用于本文的病態(tài)問題解算中來。

(3) 在FOA算法的步驟(2)中，隨機方向η的取值范圍是[-1,1]，也就是說其搜索范圍為半徑為1的區(qū)域。這種搜索半徑在循環(huán)迭代過程由于被固定住而并不能隨著迭代的深入而加以變化，這是不合理的。因為隨著迭代的進行，果蠅的位置逐漸會向最優(yōu)值靠近，在搜索早期需要比較大的搜索范圍，而在后期搜索范圍會逐漸縮小。為此，搜索半徑需要加以自適應(yīng)變化調(diào)整[18-19]。

由于上述基本FOA算法存在的諸多問題，可以發(fā)現(xiàn)原FOA方法并不能很好地處理目標函數(shù)的優(yōu)化問題，當然也使其在病態(tài)問題解算中受到極大的限制。

3.3改進FOA算法的算法實現(xiàn)流程

由于基本FOA算法不能處理非零且非負極值點，本文提出一種改進的FOA算法(IFOA)，以對上述問題進行有效處理。其關(guān)鍵技術(shù)有以下兩點：

(1)IFOA方法在隨機搜索方向的選擇上不設(shè)置兩個方向Xi與Yi，而僅僅只對單一的X方向進行搜索處理。為此，IFOA方法將不計算Si=1/Di，即令Si=Xi，此時氣味濃度Si,smell=function(Xi)。設(shè)待估參數(shù)X的搜索區(qū)間為[Lbound,Ubound]，其中Lbound為搜索下界，Ubound為搜索上界。這樣處理的優(yōu)點在于不論Lbound為正或為負，參數(shù)可以在全區(qū)域內(nèi)進行搜索。解決了原FOA算法不能處理極值點為非負和非零的問題。

(2) 設(shè)置搜索半徑調(diào)整系數(shù)γ(一般取值可在0.5到1之間)，使得迭代次數(shù)逐漸增大時，搜索范圍逐漸縮小。這樣處理的優(yōu)點在于算法初期可以有較大的搜索半徑，以保證其初期具有良好的全局搜索能力。而在算法后期又可以有相對較小的搜索半徑，這也保證了在后期有良好的局部搜索能力?？梢哉J為加入的γ平衡了全局搜索與局部搜索之間的關(guān)系。

具體IFOA算法的實現(xiàn)流程如下：

(1) 設(shè)置果蠅種群大小PopSize與最大迭代次數(shù)maxIter，隨機初始化果蠅種群的初始位置Xaxis=Lbound+(Ubound-Lbound)×rand( )，其中rand函數(shù)產(chǎn)生[0,1]區(qū)間的隨機數(shù)。

(2) 賦予果蠅個體利用嗅覺搜尋食物的隨機方向與距離為：Xi=Xaxis+R×(2×rand( )-1)，搜索半徑初始值設(shè)R=1。

(3) 設(shè)置半徑調(diào)整系數(shù)γ，令R=R×γIter,Iter為當前迭代次數(shù)，保證迭代次數(shù)越大，搜索范圍越小。

(4) 令氣味濃度判定值Si=Xi；代入目標函數(shù)求取出該位置的氣味濃度Si,smell=function(Si)。

(5) 找到果蠅種群中氣味濃度最低的果蠅個體，并記錄其編號：[SbestSmell,bbestindex]=min(Si,smell)。

(6) 保留最佳的氣味濃度值及該果蠅的位置坐標：Ssmellbest=SbestSmell，Xaxis=X(bbestindex)。

(7) 進入循環(huán)迭代過程，與基本FOA算法一致。

在IFOA算法結(jié)束后，其尋優(yōu)搜索到的Xaxis即為待求解的參數(shù)。

4改進FOA算法結(jié)合Tikhonov正則化方法用于病態(tài)問題解算

IFOA算法在進行尋優(yōu)過程中，需設(shè)置目標函數(shù)。一般情況是將式(2)改寫為誤差方程的形式

(5)

可以構(gòu)造IFOA算法的目標函數(shù)為

minf(X)=min(AX-L)T(AX-L)

(6)

通過直接對式(6)中的目標函數(shù)進行搜索，可以將病態(tài)問題解算轉(zhuǎn)化為一個非線性函數(shù)優(yōu)化問題。而本文在考慮到Tikhonov正則化方法既能克服病態(tài)性又可以在一定程度上抑制誤差影響的特點，將正則化項引入IFOA算法的目標函數(shù)中來，則此時需優(yōu)化的目標函數(shù)變?yōu)?/p>

minf(X)=min[(AX-L)T(AX-L)+λ2XTX]

(7)

式中，λ為第3節(jié)所介紹的正則化參數(shù)。由此，可以將IFOA算法和Tikhonov正則化方法相結(jié)合以處理病態(tài)問題，下面以實例對該方法的計算過程進行詳細分析。

5實例分析

本實例取自文獻[1]的例6-1，為一個GPS快速動態(tài)定位算例。歷元間隔為2s，觀測了5顆衛(wèi)星，用4個歷元解算整周模糊度。參數(shù)的真值為

式中，δx、δy、δz為坐標參數(shù)；Ni為模糊度參數(shù)。

其誤差方程的系數(shù)陣A和在觀測真值中加入微小誤差后的觀測向量L為

該病態(tài)方程的法方程條件數(shù)為cond(ATA)=3.212 7×1010，屬于嚴重病態(tài)問題。首先利用L曲線法計算出正則化參數(shù)λ，如圖1所示。

圖1　L曲線法確定正則化參數(shù)　　Fig.1　Regularization parameter determined byL-curve method

由圖1可知，正則化參數(shù)λ=0.001 859 6。在此基礎(chǔ)上，設(shè)置IFOA算法的參數(shù)為：果蠅種群規(guī)模PopSize=20，最大迭代次數(shù)maxIter=1000，搜索半徑調(diào)整系數(shù)γ=0.9。待求參數(shù)的搜索區(qū)間設(shè)為：δx、δy、δz，取其真值±0.5m，Ni取其真值±5周。由IFOA算法對目標函數(shù)(7)進行搜索?？紤]到IFOA算法是一種隨機搜索算法，每次計算會有所差異，為此采用運行30次的計算結(jié)果的平均值作為最后的計算最終值。其解算最終結(jié)果為

以第30次搜索計算為例，其優(yōu)化迭代過程如圖2所示。

圖2　IFOA算法的優(yōu)化迭代過程Fig.2　Optimization iterative process of IFOA algorithm

從圖2中可以看出，在經(jīng)過很少的迭代次數(shù)(36次)后，IFOA算法即可找到目標最優(yōu)值，表明其收斂速度非?？?。如果本實例應(yīng)用基本FOA算法，由于其參數(shù)存在非零和負值，其搜索將不能成功。

本文將IFOA算法搜索目標函數(shù)(7)命名為“IFOA+Tikhonov方法”，而IFOA搜索目標函數(shù)(6)命名為“IFOA方法”，以對這兩種方法加以區(qū)分。為了保證這兩種方法在計算結(jié)果上進行對比時的客觀性，本文在程序?qū)崿F(xiàn)時讓其對兩種方法在算法的步驟(1)和(2)中生成的隨機數(shù)相同，即將生成的隨機數(shù)先賦予一變量，再將該變量加入兩種不同的待估參數(shù)Xaxis中去。

表1各種算法的計算結(jié)果對比

Tab.1Comparison for calculation results of several algorithms

真值最小二乘法Tikhonov正則化法遺傳算法IFOA方法IFOA+Tikhonov方法δx4.2 17.6619 1.0156 4.2334 4.1872 4.1912δy-2.1-28.3732-8.5172-2.1086-2.0678-2.0693δz3.52.0605-10.51153.53983.43083.4373N14878.2063-1.781648.384347.708547.7348N252-102.9198-9.947352.174352.109952.1115N331133.878413.977331.311130.760930.7886N455-42.695032.184755.015155.087155.0825‖ΔX‖0214.276585.86980.52720.40960.3731

從表1可以看出，在本實例不含粗差的情況下，本文所提IFOA+Tikhonov方法在所有方法中，其解算結(jié)果精度最優(yōu)，IFOA方法稍微次之；而直接采用最小二乘法解算精度最差，與真值偏離最遠。采用Tikhonov正則化方法進行解算其結(jié)果也不甚理想。另外本文所提的IFOA方法與遺傳算法相對比，不僅解算結(jié)果要更優(yōu)，而且其參數(shù)設(shè)置較少，整個尋優(yōu)過程更利于程序的實現(xiàn)，在實際應(yīng)用中IFOA方法顯得更加有利。

需要說明的是，群體智能算法的參數(shù)設(shè)置對最終求解結(jié)果有直接的影響，在設(shè)定參數(shù)時，種群規(guī)模越大，其獲得最優(yōu)解的可能性也越高，但相應(yīng)的計算時間也會相應(yīng)增大，一般設(shè)置范圍在10～100；最大迭代次數(shù)一般可以設(shè)置在100～5000之間。本文對IFOA算法進行參數(shù)設(shè)置時，綜合考慮了算法計算時間與全局搜索能力之間的平衡，設(shè)置種群規(guī)模為20，最大迭代次數(shù)為1000。而IFOA算法增加的γ系數(shù)在設(shè)置時，考慮到為使得搜索范圍縮小的幅度不至于過快，將其設(shè)置為0.9。

為了評價IFOA+Tikhonov方法在病態(tài)問題解算中的穩(wěn)健性能，本文在觀測值中加入粗差進行試驗?？紤]到粗差在觀測數(shù)據(jù)中存在的概率一般不超過10%的原則[21-22]，本實例中可加入兩個粗差。首先在第2和第5個觀測值中加入原觀測值20%的粗差，即原有的l2=9.25、l5=-4.86變?yōu)閘2=11.1、l5=-5.832，此時正則化參數(shù)由L曲線法可計算得出λ=0.018 017。保持其余參數(shù)的設(shè)置不限，重新使用上述所有算法進行計算，其計算結(jié)果見表2。

表2含有兩個粗差時各種算法的計算結(jié)果對比

Tab.2Comparison for calculation results of several algorithms when two gross errors are contained

真值 最小二乘法Tikhonov正則化法遺傳算法IFOA方法IFOA+Tikhonov方法δx4.2 -381.9505 0.4348 4.1851 4.1544 4.1376δy-2.1-253.1731-8.7998-2.1881-2.1899-2.2848δz3.5-863.5826-11.06953.42623.38483.2349N148-3173.2452-2.321949.017748.706547.7548N252-3027.5529-10.563353.761153.556452.3427N331-1890.142012.212231.085730.867630.4761N455-732.934031.455654.697254.675754.1201‖ΔX‖05013.549287.32192.06141.75151.1552

將加入粗差的位置變?yōu)樵诘?和第11個觀測值中，繼續(xù)加入原觀測值20%的粗差，即原有的l8=12.21、l11=-10.62變?yōu)閘8=14.652、l11=-12.744，計算出正則化參數(shù)λ=0.011 079 7。保持其余參數(shù)的設(shè)置不變，仍然使用上述所有算法進行計算，其計算結(jié)果見表3。

從表2和表3中可以看出，在對原有觀測值增加粗差時，最小二乘估計的解算結(jié)果已經(jīng)嚴重偏離真值；而Tikhonov正則化方法在增加粗差后，解算精度下降并不明顯，說明其有一定的抑制粗差的能力。所有算法中，IFOA+Tikhonov方法的解算結(jié)果仍然最優(yōu)，表明其不僅能有效地搜索全局最優(yōu)解，消除了病態(tài)性的影響，也在很大程度上能夠抵御粗差，具有一定的穩(wěn)健性。

表3含有2個粗差時各種算法的計算結(jié)果對比

Tab.3Comparison for calculation results of several algorithms when two gross errors are contained

真值最小二乘法Tikhonov正則化法遺傳算法IFOA方法IFOA+Tikhonov方法δx4.2 -231.9932 0.4564 4.2621 4.2548 4.2336δy-2.1564.1436-8.7414-2.0950-2.2071-2.2397δz3.5275.0299-10.63073.44693.37013.3402N148446.8422-1.187448.296748.002447.8304N2523770.7620-11.566952.536751.604751.2436N331-1584.492713.412031.560431.615731.5070N4552191.554735.003158.212457.776257.6095‖ΔX‖04648.988786.18103.31912.87642.7773

6結(jié)論

本文提出了一種改進果蠅優(yōu)化算法結(jié)合Tikhonov正則化的病態(tài)問題解算方法，得到如下結(jié)論：

(1) 在IFOA算法的目標函數(shù)中引入正則化項，將IFOA算法與Tikhonov正則化方法有機地結(jié)合，充分發(fā)揮了各自的優(yōu)點，在病態(tài)問題的解算中其解算精度要優(yōu)于普通IFOA算法、遺傳算法和單一的Tikhonov正則化方法。

(2) 在觀測模型的法方程嚴重病態(tài)的情況下，以最小二乘法進行求解，其結(jié)果偏離真值較大。特別是在觀測值含有粗差時，這種偏差會迅速增大，而此時采用IFOA+Tikhonov方法具有一定的穩(wěn)健性，其解算精度與觀測值無粗差的情況相比有一定的下降，但仍在可以接受的范圍。

(3) IFOA算法可以有效搜索全局最優(yōu)解，與遺傳算法相比，具有參數(shù)設(shè)置少、計算速度快、尋優(yōu)過程簡單、易于程序?qū)崿F(xiàn)等特點，在病態(tài)問題解算中更具有實用性。

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(責任編輯：陳品馨)

修回日期： 2016-02-03

E-mail： fanqian1981@163.com

Ill-conditioned Problems Robust Solution of Improved Fruit Fly Optimization Algorithm Combining with Tikhonov Regularization Method

FAN Qian1,2,3，ZHANG Ning4

1. College of Civil Engineering, Fuzhou University, Fuzhou 350108, China; 2. Guangxi Key Laboratory of Spatial Information and Geomatic, Guilin Uninversity of Technology, Guilin 541004, China; 3. Key Laboratory of Precise Engineering and Industry Surveying of National Administration of Surveying, Mapping and Geoinformation, Wuhan 430079, China; 4. Department of Physics & Electronic Information, Minjiang University, Fuzhou 350108,China

Abstract：Based on deeply analysis for optimization process of basic fruit fly optimization algorithm, an improved fruit fly optimization (IFOA) algorithm is proposed via changing random search direction and adding to a tuning coefficient of search radius. Moreover, through introducing the regularization term of objective function in IFOA algorithm, a new method that IFOA algorithm is combined with Tikhonov regularization method is put forward in order to resolving ill-conditioned problems. Analysis results of practical example show that solution accuracy of new method is superior to genetic algorithm and single Tikhonov regularization method. When observation contains gross errors, the deviation between the results and the true value will increase rapidly using least square method to solve ill-conditioned problems. At this time, the new method has strong robustness. Compared with intelligent search method represented by genetic algorithm, new method has the characteristics of less parameter, fast calculation speed, simple optimization process. It is more practical in ill-conditioned problems solution.

Key words：fruit fly optimization; random search direction; Tikhonov regularization method; ill-conditioned problems solution; gross error

中圖分類號：P207

文獻標識碼：A

文章編號：1001-1595(2016)06-0670-07

基金項目：國家自然科學(xué)基金(41404008)；廣西空間信息與測繪重點實驗室開放基金(桂科能1103108-21)；精密工程與工業(yè)測量國家測繪地理信息局重點實驗室開放基金(PF2015-12)；江西數(shù)字國土重點實驗室開放基金(DLLJ201408)；福州大學(xué)科技發(fā)展基金(2014-XQ-33)

收稿日期：2015-12-04

第一作者簡介：范千(1981—)，男，博士，副教授，研究方向為變形監(jiān)測數(shù)據(jù)處理及GNSS定位技術(shù)。First author： FAN Qian(1981—)，male, PhD, associate professor, majors in deformation monitoring data processing and GNSS positioning technology.

引文格式：范千，張寧.改進的果蠅優(yōu)化與Tikhonov正則化相結(jié)合的病態(tài)問題穩(wěn)健解法[J].測繪學(xué)報，2016,45(6)：670-676. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150606.

FAN Qian，Zhang Ning.Ill-conditioned Problems Robust Solution of Improved Fruit Fly Optimization Algorithm Combining with Tikhonov Regularization Method[J]. Acta Geodaetica et Cartographica Sinica,2016,45(6):670-676. DOI:10.11947/j.AGCS.2016.20150606.