☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)　練兆明

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預(yù)設(shè)探究活動(dòng)，促進(jìn)自主學(xué)習(xí)
——以圓的起始課教學(xué)設(shè)計(jì)為例

☉江蘇省蘇州市高新區(qū)實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)練兆明

一、寫在前面

近讀初中數(shù)學(xué)專業(yè)期刊（如《中學(xué)數(shù)學(xué)》（初中版）、人大復(fù)印資料《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》2016年第5期等），有很多對(duì)單元起始課的課例研究，筆者受益其中，對(duì)單元起始課也有了更多的思考.近期有機(jī)會(huì)執(zhí)教一節(jié)“圓（第1課時(shí)）”教研課，精心構(gòu)思了教學(xué)設(shè)計(jì)，取得了較好的教學(xué)效果.本文梳理該課的教學(xué)流程，并跟進(jìn)闡釋教學(xué)立意，供研討.

二、圓的起始課教學(xué)流程

（一）情境導(dǎo)入

（PPT）展示兩幅圓形校徽，預(yù)設(shè)講解詞：圓是生活中常見的幾何圖形，圓形物體在生活中隨處可見.圓具有獨(dú)特的對(duì)稱性，因此常被用來(lái)設(shè)計(jì)精美的圖案.比如屏幕上呈現(xiàn)的是兩所名校的校徽（圖1，圖2），都被設(shè)計(jì)成圓形圖案.小學(xué)里，我們就已經(jīng)認(rèn)識(shí)了圓，本章，我們將系統(tǒng)研究圓的概念、性質(zhì)，點(diǎn)和圓、直線和圓的位置關(guān)系，正多邊形和圓的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，以及弧長(zhǎng)和扇形的面積等計(jì)算問題.本課，我們一起來(lái)學(xué)習(xí)圓的定義及相關(guān)概念.

圖1

圖2

設(shè)計(jì)意圖：欣賞名校?；?，感知圓的對(duì)稱美，激發(fā)自己積極上進(jìn)努力考上名校的斗志.

（二）理解圓的定義

（1）安排學(xué)生畫圓后提問：畫一個(gè)圓必須具備兩個(gè)要素，即圓心和半徑.

在此基礎(chǔ)上，教師通過(guò)幾何畫板的動(dòng)畫功能再次演示畫圓過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生歸納圓的定義.

定義：在一個(gè)平面內(nèi)，線段OA繞它固定的一個(gè)端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的圖形叫作圓.

預(yù)設(shè)講評(píng)：類比三角形和平行四邊形的表示方法，我們把以點(diǎn)O為圓心的圓，記作⊙O，讀作“圓O”.

（2）觀察圓的變化，我們發(fā)現(xiàn)，半徑確定了圓的大小，圓心確定了圓的位置.

（3）例題講評(píng).

例1如圖3，在圓O上有兩點(diǎn)A、B，連接AB，若AC=BD，試判斷OC與OD的大小關(guān)系.

圖3

預(yù)設(shè)思路1：連接OA、OB，構(gòu)造全等三角形.

預(yù)設(shè)講評(píng)：這種輔助線應(yīng)用了圓的性質(zhì)，今后要形成“作半徑”的輔助線意識(shí).

預(yù)設(shè)思路2：連接OA、OB，作OE⊥AB，利用等腰三角形的三線合一、線段的垂直平分線的判定證明.

（4）從集合角度定義圓.

教學(xué)預(yù)設(shè)：引導(dǎo)學(xué)生回顧線段的垂直平分線的定義：經(jīng)過(guò)線段的中點(diǎn)并且垂直于線段的直線.記得線段的垂直平分線還有一個(gè)定義：它是符合一定要求的點(diǎn)的集合，是和線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的所有點(diǎn)的集合.類似地，圓可以看成到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)的集合.

（5）利用定義，初識(shí)“四點(diǎn)共圓”問題.

例2如圖4，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD交于點(diǎn)O，求證：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在以點(diǎn)O為圓心的同一個(gè)圓上.

圖4

教學(xué)預(yù)設(shè)：通過(guò)解決問題，鞏固了圓上各點(diǎn)到圓心的距離都等于半徑這條性質(zhì)，形成了“作半徑”的解題思維，為下面這道變式習(xí)題形成鋪墊.

例2的變式如圖5，在四邊形ABCD中，∠ABC= ∠ADC=90°.

求證：A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)在同一個(gè)圓上.

圖5

預(yù)設(shè)思路：連接AC，取AC的中點(diǎn)O，連接OB、OD，借助“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明.

預(yù)設(shè)互動(dòng)：追問學(xué)生怎么想到輔助線的，及任意四個(gè)點(diǎn)是否都在同一個(gè)圓上，并提出一個(gè)有挑戰(zhàn)的問題“對(duì)角互補(bǔ)的四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)在同一個(gè)圓上嗎”，供學(xué)生課后深入思考.

（三）理解圓的相關(guān)概念

1.從生活圖片中抽象出圓及相關(guān)概念

PPT呈現(xiàn)的是一扇圓形的木門（圖6），抽象為幾何圖形（圖7）.

圖6

圖7

教學(xué)預(yù)設(shè)：圖中有熟悉的圓心、直徑，還有一些線段，還有一些被圓上的點(diǎn)分成的若干部分，這些都是與圓有關(guān)的量，請(qǐng)閱讀課本，在圖7中找出與圓有關(guān)的概念.

2.學(xué)生展示自學(xué)成果

教學(xué)預(yù)設(shè)：學(xué)生走上講臺(tái)，在PPT上指出圖7中的弦（直徑）、?。ò雸A、優(yōu)弧、劣?。?、等圓、等弧.

預(yù)設(shè)追問：直徑是否是最長(zhǎng)的弦？為什么？

3.鞏固圓的相關(guān)概念

例3如圖8，⊙O中，點(diǎn)D是半圓AB的中點(diǎn)，點(diǎn)C是另一半圓AB上任意一點(diǎn).連接OD、CD.請(qǐng)分析半徑、直徑、弦、弧等概念.

圖8

教學(xué)預(yù)設(shè)：這道練習(xí)題不僅鞏固與圓有關(guān)的概念，還為后續(xù)作業(yè)提供一個(gè)圖形的基礎(chǔ)（見“小結(jié)與作業(yè)”）.

（四）小結(jié)與作業(yè)

（1）本課所學(xué)的圓的相關(guān)概念，與小學(xué)中有什么不同？

（2）如圖8，⊙O的直徑AB為10cm，弦AC為6cm，D為弧AB的中點(diǎn).你能求出圖中所有線段的長(zhǎng)度嗎？你能求出哪些角的度數(shù)？你能求出哪些弧的長(zhǎng)度？

三、教學(xué)立意的進(jìn)一步闡釋

1.辨識(shí)學(xué)段特征，初中圓的學(xué)習(xí)重在推理

我們發(fā)現(xiàn)，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》將課程內(nèi)容分三個(gè)學(xué)段作出具體的要求，前兩個(gè)學(xué)段屬于小學(xué)階段，第三個(gè)學(xué)段是初中階段，細(xì)讀“課標(biāo)（2011年版）”文本，大家都應(yīng)該能體會(huì)出不同學(xué)段對(duì)學(xué)生熟悉的生活現(xiàn)象或數(shù)學(xué)知識(shí)的要求是不一樣的.對(duì)于初中階段圓的學(xué)習(xí)，重點(diǎn)應(yīng)該落在推理，即《幾何原本》上倡導(dǎo)的推理教學(xué).這也是上文教學(xué)設(shè)計(jì)中，我們?cè)诤芏嘟虒W(xué)環(huán)節(jié)加強(qiáng)推理教學(xué)的原因，比如直徑為什么是圓中最長(zhǎng)的弦，矩形的四個(gè)頂點(diǎn)為什么能在同一個(gè)圓上，等等.這些教學(xué)環(huán)節(jié)或追問的背后，都需要備課者基于“理解數(shù)學(xué)”（章建躍博士語(yǔ)）的高度精心預(yù)設(shè).

2.重視幾何套路，促進(jìn)自主探究圓的概念

圓是初三學(xué)習(xí)內(nèi)容，之前初一、初二學(xué)生對(duì)幾何圖形的學(xué)習(xí)已經(jīng)有了一些基本套路，比如一般都是先學(xué)習(xí)圖形的定義、相關(guān)概念，然后研究這種圖形的性質(zhì)和判定.圓的學(xué)習(xí)也不例外，需要先定義圓，而且可以類比線段垂直平分線或角的不同定義方法，從靜態(tài)、動(dòng)態(tài)的角度分別定義圓，加深學(xué)生對(duì)定義的理解.再比如，在圓的相關(guān)概念（弦、弧、直徑等）的教學(xué)時(shí)，我們安排學(xué)生先自學(xué)，再?gòu)纳顖D形中分離出圓，并辨識(shí)有哪些與圓相關(guān)的概念，這種讓學(xué)生帶著任務(wù)自學(xué)的活動(dòng)，收到了較好的教學(xué)效果：教師沒有介紹相關(guān)概念，但學(xué)生邊閱讀教材邊對(duì)照教師給出的問題，內(nèi)化了概念，學(xué)習(xí)自主性也得到了鍛煉.

參考文獻(xiàn)：

1.劉東升.辨別學(xué)段特征：初中幾何教學(xué)的用力點(diǎn)——以“圓（第1課時(shí)）”教學(xué)為例［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考（中），2015（3）.

2.中華人民共和國(guó)教育部制定.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2012.

3.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學(xué)研究［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)，2003（1，2，3）.Z